Банк задач по математике

Задача 80

(a)(b)

Урна содержит 7 белых шаров, пронумерованных $1, 2, \ldots , 7$ , и 3 чёрных шара, пронумерованных $8, 9, 10$ . Наугад выбираются пять шаров,

?

(a)

с возвращением;

(b)

без возвращения.

Для каждого из случаев (а) и (б) найдите распределение:

числа белых шаров в выборке;
минимального номера в выборке;
максимального номера в выборке;
минимального числа шаров, необходимых для выбора белого шара.

Задача 81

(Продолжение задачи 80.) Урна содержит 7 белых шаров, пронумерованных $1, 2, \ldots , 7$ , и 3 чёрных шара, теперь пронумерованных $1, 2$ и $3$ (вместо $8, 9, 10$ , как в задаче 80). Наугад выбираются пять шаров, (а) с возвращением, (б) без возвращения. Как и в задаче 80, найдите для каждого из случаев (а) и (б) распределение:

числа белых шаров в выборке;
минимального номера в выборке;
максимального номера в выборке;
минимального числа шаров, необходимых для выбора белого шара.

?

Задача 82

Станок в нормальном режиме производит изделия, из которых $4\%$ бракованные. Каждый час производитель берёт выборку размера 10 для контроля. Если выборка не содержит бракованных изделий, он не останавливает станок. Какова вероятность того, что станок не будет остановлен, когда он начнёт производить изделия, из которых бракованными являются $10\%$ .

?

Задача 83

Одна тысячная населения подвержена определённым видам несчастных случаев ежегодно. Известно, что страховая компания застраховала 5000 человек из этого населения; найдите вероятность того, что не более 2 человек попадут в такой несчастный случай.

?

Задача 84

Некоторая авиакомпания, заметив, что $5\%$ лиц, забронировавших место на рейс, не являются на посадку, продаёт 100 мест на самолёт, имеющий 95 мест. Какова вероятность того, что места хватит для каждого, кто явится на рейс?

?

Задача 85

Рабочие на фабрике попадают в несчастные случаи со скоростью два несчастных случая в неделю. Вычислите вероятность того, что произойдёт не более двух несчастных случаев,

за 1 неделю,
за 2 недели,
в каждой из 2 недель.

?

Задача 86

Предположим, что уровень самоубийств в некотором штате составляет четыре самоубийства на миллион жителей в месяц. Найдите вероятность того, что в некотором городе с населением 500 000 человек произойдёт не более четырёх самоубийств за месяц. Показалось бы вам удивительным, если бы в течение 1 года было по меньшей мере 2 месяца, в которых произошло более четырёх самоубийств?

?

Задача 87

Монета бросается 30 раз. Для $n = 1, 2, \ldots , 20$ найдите условную вероятность того, что выпадет ровно $10+n$ гербов, при условии, что первые 10 бросков дали гербы. Покажите, что условная вероятность того, что $10+n$ бросков дадут гербы, при условии, что герб выпал не менее десяти раз, равна

\frac{\displaystyle \binom {30}{10+n}\frac{1}{2^{n}}}{\displaystyle \sum _{k=0}^{20} \binom {30}{10+k}\frac{1}{2^{k}}}.

?

Задача 88

Сколько детей должно быть в семье, чтобы с вероятностью 0.95 в ней был хотя бы один мальчик и хотя бы одна девочка.

?

Задача 89

Покажите, что вероятности Пуассона $p(k \mid \lambda )$ удовлетворяют рекуррентному соотношению

p(k \mid \lambda ) = \frac{\lambda }{k}p(k-1 \mid \lambda ),

и, отсюда, определите значения $k$ , при которых члены $p(k \mid \lambda )$ достигают максимума (при заданном $\lambda$ ).

?

Задача 90

(a)(b)(c)(d)

Проверьте, что каждая из следующих функций $f$ является плотностью распределения вероятностей, и постройте её график.

?

(a)

$\displaystyle f(x) = 1-\left|1-x\right| \qquad \text{при } 0 < x < 2$

(b)

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{\pi }\frac{\beta }{\beta^{2}+(x-a)^{2}} \qquad \text{при } -\infty < x < \infty ,$

(c)

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{2\sigma }e^{-(\left|x-\mu \right|)/\sigma } \qquad \text{при } -\infty < x < \infty ,$

(d)

$\displaystyle f(x) = \tfrac {1}{4}xe^{-x/2} \qquad \text{при } 0 < x < \infty .$

Задача 91

Количество хлеба (в сотнях килограммов), которое пекарня продаёт за день, является случайной величиной с плотностью

f(x) = \begin{cases} cx & \text{при } 0 \leq x < 3, \\ c(6-x) & \text{при } 3 \leq x < 6, \\ 0 & \text{в противном случае.} \end{cases}

Найдите значение $c$ , при котором $f$ является плотностью распределения вероятностей.
Какова вероятность того, что количество килограммов хлеба, проданного за день, составит (а) более 300 килограммов? (б) от 150 до 450 килограммов?
Обозначьте через $A$ и $B$ события из (а) и (б) соответственно. Независимы ли события $A$ и $B$ ?

?

Задача 92

(a)(b)(c)(d)

Предположим, что продолжительность (в минутах) междугородных телефонных разговоров подчиняется показательному закону плотности;

f(x) = \tfrac {1}{5}e^{-x/5} \qquad \text{при } x > 0.

Найдите вероятность того, что продолжительность разговора:

?

(a)

превысит 5 минут;

(b)

составит от 5 до 6 минут;

(c)

будет менее 3 минут;

(d)

будет менее 6 минут, при условии, что она была больше 3 минут.

Задача 93

(a)(b)(c)

Число наугад выбирается из интервала $(0, 1)$ . Какова вероятность того, что:

?

(a)

его первая десятичная цифра будет 1;

(b)

его вторая десятичная цифра будет 5;

(c)

первая десятичная цифра его квадратного корня будет 3?

Задача 94

Рост мужчин распределён нормально со средним $\mu = 167$ см и стандартным отклонением $\sigma = 3$ см.

Какова доля мужского населения, имеющего рост,
1. больше 167 см,
2. больше 170 см,
3. от 161 см до 173 см?
В случайной выборке из четырёх мужчин какова вероятность того, что:
1. все будут иметь рост больше 170 см;
2. двое будут иметь рост меньше среднего (а двое — больше среднего)?

?

Задача 95

(a)(b)

Станок производит болты, длина которых (в сантиметрах) подчиняется нормальному закону со средним 5 и стандартным отклонением $\sigma = 0.2$ . Болт считается бракованным, если его длина выходит за пределы интервала $(4.8, 5.2)$ .

?

(a)

Какова доля бракованных болтов, производимых этим станком?

(b)

Какова вероятность того, что среди десяти болтов ни один не окажется бракованным?

Задача 96

(a)(b)(c)

Рассмотрим магазин, в который покупатели прибывают случайным образом со скоростью двадцать человек в час. Какова вероятность того, что интервалы времени между последовательными прибытиями будут:

?

(a)

короче 3 минут;

(b)

длиннее 4 минут.

(c)

Предположим, что $10\%$ покупателей покупают определённый товар. Найдите распределение числа покупателей, которые покупают товар за час.

Задача 97

Если $X$ — непрерывная случайная величина с функцией распределения $F$ и плотностью $f$ , покажите, что случайная величина $Y = X^{2}$ также непрерывна, и выразите её функцию распределения и плотность через $F$ и $f$ .

?

Задача 98

(a)(b)(c)

(Продолжение задачи 97.) Найдите плотность $Y = X^{2}$ , когда $X$ имеет:

?

(a)

нормальное распределение $N(\mu , \sigma^{2})$ ;

(b)

распределение Лапласа (см. (2.9));

(c)

распределение Коши (см. (2.12)).

Задача 99

(a)(b)(c)

Как в упражнениях 97 и 98, с $Y = \left|X\right|$ .

?

(a)

(b)

(c)

Задача 100

Если $\log X$ распределён нормально, то говорят, что $X$ имеет логнормальное распределение. Найдите его плотность.

?

Распределения. Случайные величины