Основные вероятности. Дискретные пространства

Пусть $\Omega$ обозначает совокупность студентов Афинского университета, а $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$ — множества первокурсников, второкурсников, третьекурсников и четверокурсников соответственно. Кроме того, пусть $F$ обозначает множество студенток, а $C$ — множество студентов-киприотов. Выразите словами каждое из следующих множеств:

Дайте упрощённые формы множеств:

Выразите каждое из следующих событий через события $A$, $B$ и $C$ и операции дополнения, объединения и пересечения:

Пусть $\Omega$ обозначает пространство элементарных исходов случайного эксперимента, состоящего в трёхкратном подбрасывании монеты. Пусть $A$ — событие, состоящее в том, что орёл выпадает ровно два раза, $B$ — событие, состоящее в том, что орёл выпадает не менее двух раз, а $C$ — событие, состоящее в том, что орёл выпадает после того, как хотя бы раз выпала решка.

В каждом из упражнений 5--8 укажите число точек в пространстве элементарных исходов $\Omega$ и точки определённых в них событий.

В семье 4 ребёнка. Пусть даны события: $A$: мальчики и девочки чередуются, $B$: первый и четвёртый ребёнок — мальчики, $C$: мальчиков столько же, сколько девочек, $D$: три подряд идущих ребёнка одного пола.

Торговый агент составляет расписание посещений каждого из трёх городов $a$, $b$, $c$, посещая каждый по два раза. $A$: первый и последний визит приходятся на город $a$.

Некоторые заболевания вызывают нарушения клеток, которые можно разделить на четыре категории. У каждого из 4 пациентов проводятся анализы крови, и в каждом случае отмечается категория. Пусть $A$: все пациенты относятся к одной и той же категории, $B$: два пациента относятся к одной и той же категории.

Лифт везёт двух человек и останавливается на трёх этажах. Пусть $A$: они выходят на разных этажах, $B$: один выходит на первом этаже.

Сколькими способами может одеться дама, имеющая 10 платьев, 5 пар туфель и 2 шляпы?

Сколькими способами можно расставить на книжной полке два произведения по три тома каждое и два произведения по четыре тома каждое так, чтобы тома одного и того же произведения не были разделены?

Сколькими способами можно распределить $r$ предметов между $n$ людьми, если нет ограничений на число предметов, которое может получить человек?

Сколькими способами можно рассадить 5 мальчиков и 5 девочек за круглым столом так, чтобы никакие два мальчика не сидели рядом?

На окружности выбрано восемь точек. Сколько хорд можно провести, соединяя эти точки всеми возможными способами? Если рассматривать 8 точек как вершины многоугольника, сколько можно образовать треугольников и сколько шестиугольников?

Сколькими способами можно рассадить $n$ человек за круглым столом, если 2 расположения считаются одинаковыми, когда у каждого человека одни и те же соседи справа и слева? На обеде, где $n$ человек рассаживаются случайным образом, какова вероятность того, что определённый муж окажется рядом со своей женой?

Сколькими способами можно распределить 20 новобранцев на 4 группы, каждая из которых состоит из 5 новобранцев? Сколькими способами их можно распределить по 4 лагерям, если каждый лагерь получает по 5 новобранцев?

Используя 7 согласных и 5 гласных букв, сколько слов, состоящих из 4 согласных и 3 гласных, можно составить?

Покажите, что для любого $x$ и любого положительного целого $n$:

1. $\binom {x}{n-1} + \binom {x}{n} = \binom {x+1}{n}$;

2. $\binom {x}{n} = \binom {x-1}{n-1} + \binom {x-2}{n-1} + \cdots + \binom {n-1}{n-1}$.

Если $n$, $m$, $r$ — положительные целые числа, докажите, что

Для каждого целого $n \geq 2$ покажите следующее:

1. $1 - \binom {n}{1} + \binom {n}{2} + \cdots + (-1)^{n}\binom {n}{n} = 0$;

2. $\binom {n}{1} + 2\binom {n}{2} + 3\binom {n}{3} + \cdots = n2^{n-1}$;

3. $2 \cdot 1 \cdot \binom {n}{2} + 3 \cdot 2 \cdot \binom {n}{3} + 4 \cdot 3 \cdot \binom {n}{4} + \cdots = n(n-1)2^{n-2}$.

Используя треугольник Паскаля, покажите, что для любого $a$ и положительных целых $r$, $n$:

1. $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \binom {a-k}{r} = \binom {a+1}{r+1} - \binom {a-n}{r+1}$;

2. $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k}\binom {a}{k} = (-1)^{n}\binom {a-1}{n}$.

Используя результат упражнения 18, покажите, что

Используя результат упражнения 21, докажите, что

Используя биномиальную теорему, покажите методом индукции, что

Как и в упражнении 23, покажите, что для положительных целых $r$ и $n$

Покажите, что это частный случай задачи 20(ii).

В разложении $(1+x)^{n}$, где $x > 0$, а $n$ — положительное целое число, пусть $a_{k}$ — член, содержащий $x^{k}$. Найдите значения $k$, при которых $a_{k}$ достигает максимума. Каков максимальный член разложения $(1+e)^{100}$?

Даны $\mathbb {P}\left(A\right) = 1/3$, $\mathbb {P}\left(B\right) = 1/4$, $\mathbb {P}\left(AB\right) = 1/6$, найдите следующие вероятности:

Даны $\mathbb {P}\left(A\right) = 3/4$ и $\mathbb {P}\left(B\right) = 3/8$, покажите, что:

Для любых двух событий $A$ и $B$ покажите, что:

Методом индукции покажите, что для произвольных событий $A_{1}, A_{2}, \ldots , A_{n}$ выполняется следующее неравенство (принадлежащее Бонферрони):

Для любых трёх событий $A$, $B$ и $C$ покажите, что (ср. формулу (1.1), теорему Пуанкаре для $n$ событий $A_{1}, \ldots , A_{n}$: $\mathbb {P}\left(A_{1} \cup A_{2} \cup \cdots \cup A_{n}\right) = S_{1} - S_{2} + \cdots + (-1)^{n-1}S_{n}$, где для каждого $k = 1, 2, \ldots , n$, $S_{k} = \sum_{i_{1} < i_{2} < \cdots < i_{k}} \mathbb {P}\left(A_{i_{1}}A_{i_{2}} \cdots A_{i_{k}}\right)$, суммирование ведётся по всем сочетаниям из $n$ событий по $k$)

Применение: Проценты студентов, сдавших курсы $A$, $B$ и $C$, таковы: $A$: 50, $B$: 40, $C$: 30, $A$ и $B$: 35, $B$ и $C$: 20, и 15 сдали все три курса. Какой процент студентов преуспел хотя бы в одном из трёх курсов?

Ящик содержит шары, пронумерованные $1, 2, \ldots , n$. Шар вынимается случайно:

Через $\mathbb {P}\left(A\right)$, $\mathbb {P}\left(B\right)$, $\mathbb {P}\left(C\right)$, $\mathbb {P}\left(AB\right)$, $\mathbb {P}\left(AC\right)$, $\mathbb {P}\left(BC\right)$ и $\mathbb {P}\left(ABC\right)$ выразите, для $k = 0, 1, 2, 3$, вероятности того, что:

1. произойдёт ровно $k$ из событий $A$, $B$ и $C$;

2. произойдёт хотя бы $k$ из событий $A$, $B$, $C$.

Методом индукции докажите теорему Пуанкаре, т.е. формулу (1.1).

Если $d(A,B) = \mathbb {P}\left(A \triangle B\right)$, покажите, что $d$ обладает всеми свойствами функции расстояния; симметрическая разность $A \triangle B$ между двумя множествами $A$ и $B$ определяется как $A \triangle B = AB' \cup A'B$.

Из урны со 100 билетами вынимают три выигрышных билета. Какова вероятность выигрыша для человека, купившего: (а) 4 билета? (б) только один билет?

Пекарня выпекает 80 буханок хлеба ежедневно. Десять из них — недовес. Инспектор случайно взвешивает 5 буханок. Какова вероятность того, что недовешенная буханка будет обнаружена?

Найдите вероятность того, что среди семи человек:

Группа из $2N$ мальчиков и $2N$ девочек случайно делится на две равные группы. Какова вероятность того, что в каждой группе будет одинаковое число мальчиков и девочек?

Коэффициенты $a$, $b$, $c$ квадратного уравнения $ax^{2} + bx + c = 0$ определяются трёхкратным бросанием игральной кости. Найдите вероятности того, что: (а) корни действительны; (б) корни комплексны.

В игре покер «рука карт» означает 5 карт, случайно выбранных (без возвращения) из колоды в 52 карты. Какова вероятность того, что рука карт:

В бридже «рука карт» состоит из 13 карт, случайно вынутых (без возвращения) из колоды в 52 карты (52 карты равномерно распределяются между четырьмя игроками). Найдите вероятности того, что «рука карт» будет содержать:

1. $v_{1}$ треф, $v_{2}$ пик и $v_{3}$ бубен;

2. $v$ тузов $(v = 0, 1, \ldots , 4)$;

3. $v_{1}$ тузов и $v_{2}$ королей. В игре в бридж найдите вероятности того, что:

Шесть девочек должны войти в танец с 10 мальчиками, чтобы образовать круг так, чтобы каждая девочка оказалась между двумя мальчиками:

Пять букв выбираются случайно одна за другой из 26 букв английского алфавита; (а) с возвращением, (б) без возвращения. Найдите для каждого из случаев (а) и (б) вероятности того, что образованное слово: (i) содержит букву «a», (ii) состоит из гласных, (iii) является словом «woman».

Докажите, что число способов, которыми $r$ неразличимых шаров можно разместить по $n$ ячейкам (или, эквивалентно, число различных решений уравнения $x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n} = r$, где $x_{i} \geq 0$ $(i = 1, 2, \ldots , n)$ — целые числа), равно

Рассмотрим $r$ неразличимых шаров, случайно распределённых по $n$ ячейкам (статистика Бозе--Эйнштейна). Какова вероятность того, что ровно $m$ ячеек останутся пустыми?

Из обычной колоды в 52 карты карты вынимаются последовательно, пока не появится туз. Какова вероятность того, что первый туз появится: (а) на $n$-м вытягивании? (б) после $n$-й карты?

В классе $v$ учеников.

$N$ писем случайно раскладываются по $N$ конвертам. Покажите, что вероятность того, что каждое письмо будет вложено не в свой конверт, равна $\displaystyle \sum_{k=2}^{N} (-1)^{k} \left(\frac{1}{k!}\right)$.

Урна содержит $nr$ шаров, пронумерованных $1, 2, \ldots , n$, так что $r$ шаров несут один и тот же номер $i$ для каждого $i = 1, 2, \ldots , n$. Случайно, без возвращения, вынимается $N$ шаров. Найдите вероятность того, что

(Продолжение задачи 49.) Шары вынимаются до тех пор, пока каждый из номеров $1, 2, \ldots , n$ не появится хотя бы один раз. Какова вероятность того, что потребуется $m$ шаров?

$N$ мужчин выбегают из мужского клуба после пожара, и каждый берёт пальто и шляпу. Докажите, что:

Предположим, что каждая упаковка стирального порошка TIDE содержит купон с одной из букв слова TIDE. Покупательница, собравшая все буквы этого слова, получает бесплатную упаковку. Все буквы имеют одинаковую вероятность появления в упаковке. Найдите вероятность того, что домохозяйка, купившая 8 упаковок, получит:

1. одну бесплатную упаковку,

2. две бесплатные упаковки.

Урна содержит $N_{1}$ белых и $N_{2}$ чёрных шаров. При случайном извлечении двух шаров вероятность того, что оба белые, равна $1/2$.

Если события $A$, $B$ независимы, покажите, что пары $(A, B')$, $(A', B)$, $(A', B')$ также состоят из независимых событий.

Если события $A$, $B$ и $C$ взаимно независимы, то пары $(A, BC)$, $(B, AC)$, $(C, AB)$ также состоят из независимых событий.

Пусть для независимых событий $A$, $B$ и $C$ имеем $\mathbb {P}\left(A\right) = a$, $\mathbb {P}\left(A \cup B \cup C\right) = 1 - b$, $\mathbb {P}\left(ABC\right) = 1 - c$ и $\mathbb {P}\left(A'B'C\right) = x$. Докажите, что вероятность $x$ удовлетворяет уравнению

Отсюда заключите, что

Кроме того, покажите, что

Пусть события $A_{1}, A_{2}, \ldots , A_{n}$ независимы и $\mathbb {P}\left(A_{i}\right) = p$ ($i = 1, 2, \ldots , n$). Какова вероятность того, что:

Игральная кость бросается до тех пор, пока не выпадет единица или 6. Известно, что при первых двух бросках единица не выпала. Какова вероятность того, что потребуется по меньшей мере три броска?

Родительская частица может разделиться на 0, 1 или 2 частицы с вероятностями $1/4$, $1/2$, $1/4$ соответственно. После деления она исчезает. Начиная с одной частицы, прародительницы, обозначим через $X_{i}$ число частиц в $i$-м поколении. Найдите,

Урна содержит $n$ шаров, пронумерованных $1, 2, \ldots , n$. Мы наугад выбираем $r$ шаров,

Две спортивные команды $A$ и $B$ играют серию независимых игр до тех пор, пока одна из них не выиграет 4 игры. Вероятность выигрыша каждой команды в каждой игре равна $1/2$. Найдите вероятность того, что серия закончится,

Подозревают, что пациент болен одной из болезней $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$. Предположим, что доли населения, страдающего этими заболеваниями, относятся как $2:1:1$. Пациенту делают тест, который оказывается положительным в $25\%$ случаев болезни $A_{1}$, в $50\%$ случаев $A_{2}$ и в $90\%$ случаев $A_{3}$. Известно, что из трёх тестов, пройденных пациентом, два оказались положительными; найдите вероятность каждого из трёх заболеваний.

Население Никосии (Кипр) на $75\%$ состоит из греков и на $25\%$ из турок. $20\%$ греков и $10\%$ турок говорят по-английски. Приезжий встречает человека, говорящего по-английски. Какова вероятность того, что это грек? Дайте интерпретацию своего ответа в терминах населения города.

Два рассеянных соседа по комнате, математики, тем или иным образом забывают свои зонты. $A$ всегда берёт зонт, когда выходит из дома, тогда как $B$ забывает взять зонт с вероятностью $1/2$. Каждый из них забывает зонт в магазине с вероятностью $1/4$. Посетив три магазина, они возвращаются домой. Найдите вероятность того, что:

Рассмотрим семьи с $n$ детьми и пусть $A$ — событие, состоящее в том, что в семье есть дети обоих полов, и пусть $B$ — событие, состоящее в том, что в семье не более одной девочки. Покажите, что единственное значение $n$, при котором события $A$ и $B$ независимы, есть $n = 3$, предполагая, что каждый ребёнок с вероятностью $1/2$ является мальчиком.

При вступительном экзамене в колледж каждый абитуриент принимается или отклоняется в зависимости от того, прошёл он тест или нет. Из действительно способных абитуриентов тест проходят $80\%$; а из неспособных тест проходят $25\%$. Известно, что $40\%$ абитуриентов действительно способны; найдите долю способных студентов колледжа.

$A$ и $B$ бросают по очереди пару игральных костей в указанном порядке. $A$ выигрывает, если он наберёт 6 очков раньше, чем $B$ наберёт 7 очков, в противном случае выигрывает $B$. Если первым начинает $A$, какова его вероятность выигрыша?

Три игрока $P_{1}$, $P_{2}$ и $P_{3}$ бросают кость в указанном порядке, и, по правилам игры, победителем будет тот, кто первым выбросит единицу. Найдите их вероятности выигрыша.

$N$ игроков $A_{1}, A_{2}, \ldots , A_{N}$ бросают несимметричную монету, вероятность выпадения герба у которой равна $p$. $A_{1}$ начинает (игру), $A_{2}$ играет вторым и т.д. Первый, кто выбросит герб, выигрывает. Найдите вероятность того, что победителем окажется $A_{k}$ ($k = 1, 2, \ldots , N$).

Урна $A$ содержит $w_{1}$ белых шаров и $b_{1}$ чёрных шаров. Урна $B$ содержит $w_{2}$ белых шаров и $b_{2}$ чёрных шаров. Шар вынимается из $A$ и кладётся в $B$, а затем шар переносится из $B$ в $A$. Наконец, шар выбирается из $A$. Какова вероятность того, что этот шар будет белым?

Десять процентов некоторой популяции страдают серьёзным заболеванием. Человеку, подозреваемому в этом заболевании, проводят два независимых теста. Каждый тест ставит правильный диагноз в $90\%$ случаев. Найдите вероятность того, что человек действительно болен:

Игрок наугад выбирает одну из монет $A$, $B$. Монета $A$ имеет вероятность выпадения герба $3/4$, а монета $B$ — вероятность выпадения герба $1/4$. Он подбрасывает монету дважды.

Урна $A$ содержит 5 чёрных шаров и 6 белых шаров, а урна $B$ содержит 8 чёрных шаров и 4 белых шара. Два шара переносятся из $B$ в $A$, а затем из $A$ вынимается шар.

Тест Папаниколау ставит правильный диагноз с вероятностью $95\%$. При условии, что тест для некоторой женщины положителен, какова вероятность того, что она действительно больна? Как вы интерпретируете этот результат? Предположите, что в среднем одна из каждых 2000 женщин больна.

Секретарша добирается на работу одним из трёх маршрутов $A$, $B$, $C$. Её выбор маршрута не зависит от погоды. Если идёт дождь, вероятности опоздания при следовании маршрутами $A$, $B$, $C$ равны $0.06$, $0.15$, $0.12$ соответственно. Соответствующие вероятности, если дождя нет, равны $0.05$, $0.10$, $0.15$.

На художественной выставке представлено 12 картин, из которых 10 подлинные. Посетитель наугад выбирает картину и, прежде чем решить, покупать ли её, спрашивает мнение эксперта о подлинности картины. Эксперт прав в среднем в 9 из 10 случаев.

Какова условная вероятность того, что покерная рука (см. упражнение 40) состоит из пик, при условии, что она состоит из чёрных карт?

Примечание: из 52 карт обычной колоды 13 пик и 13 треф являются чёрными, тогда как 13 червей и 13 бубён — красными.

Вероятность $p_{k}$ того, что в семье $k$ детей, задаётся формулой $p_{0} = p_{1} = a$, $p_{k} = (1 - 2a)2^{-(k - 1)}$ ($k \geq 2$). Известно, что в семье два мальчика. Какова вероятность того, что:

Усилитель может перегореть одним или обоими предохранителями, если одна или обе его лампы неисправны. Пусть события:

Условные вероятности перегорания предохранителей (при заданном состоянии ламп, т.е. $\mathbb {P}\left( B_{j} \mid A_{i} \right)$), приведены в следующей таблице:

Найдите вероятности того, что: