Интеграл Ито. Стохастические дифференциальные уравнения

Приведите пример адаптированного, но не прогрессивно измеримого процесса.

Следующие две $\sigma$-алгебры (опииональных и предсказуемых множеств) играют в стохастическом анализе важную роль в самых разнообразных вопросах.

Определение 8. Опциональная $\sigma$-алгебра $\mathscr {O}$ подмножеств $\mathbb {R}_{+} \times \Omega$ есть $\sigma$-алгебра, порожденная всеми согласованными процессами $X = \left\{ X_{t}, t \geqslant 0\right\}$, рассматриваемыми как отображения $(t, \omega ) \mapsto X_{t}(\omega )$ из $\mathbb {R}_{+} \times \Omega$ в $(\mathbb {R}, \mathscr {B}(\mathbb {R}))$, траектории которых принадлежат пространству Скорохода $D[0, \infty )$. Процессы, которые измеримы относительно $\sigma$-алгебры $\mathscr {O}$, называются опциональными.

Докажите, что равносильным образом опциональная $\sigma$-алгебра $\mathscr {O}$ может быть определена как $\sigma$-алгебра подмножеств в $\mathbb {R}_{+} \times \Omega$, порожденная стохастическими интервалами вида

где $\tau (\omega )$ — марковские моменты (относительно потока $\mathbb {F}$ ).

Определение 9. Предсказуемая $\sigma$-алгебра $\mathscr {P}$ подмножеств $\mathbb {R}_{+} \times \Omega$ есть $\sigma$-алгебра, порожденная всеми согласованными процессами $X = \left\{ X_{t}, t \geqslant 0\right\}$, рассматриваемыми как отображения $(t, \omega ) \mapsto X_{t}(\omega )$ из $\mathbb {R}_{+} \times \Omega$ в $(\mathbb {R}, \mathscr {B}(\mathbb {R}))$, траектории которых принадлежат пространству $C = C\left(\mathbb {R}_{+}, \mathbb {R}\right)$ непрерывных на $\mathbb {R}_{+}$действительных функций. Процессы, которые измеримы относительно $\sigma$-алгебры $\mathscr {P}$, называются предсказуемыми.

Докажите что равносильным образом предсказуемая $\sigma$-алгебра $\mathscr {P}$ может быть определена как $\sigma$-алгебра, порожденная всеми согласованными процессами, траектории которых лишь непрерывны слева на $(0, \infty )$.

Имеются и другие альтернативные (и во многих рассмотрениях более удобные) определения, см., например, [26] и [46].

Проверьте, что $\sigma$-алгебра $\mathscr {P}$ порождается каждым из следующих классов подмножеств:

Убедитесь, что между введенными $\sigma$-алгебрами имеют место следующие включения:

Напомним, что по теореме 4 всякий согласованный с фильтрацией $\mathbb {F} = \left(\mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ непрерывный слева или непрерывный процесс является прогрессивно измеримым.

Пусть процесс $X$ является прогрессивно измеримым и $\tau$ — конечный марковский момент. Покажите, что случайная величина $X_{\tau }$ будет $\mathscr {F}_{\tau }$-измеримой (это свойство является едва ли не определяющим целесообразность введения понятия прогрессивной измеримости).

Проверьте, что простые (кусочно-непрерывные справа) функции $f = f(t, \omega )$ вида

где величины $\xi_{k}(\omega )$ — $\mathscr {F}_{t_{k}}$-измеримы, $0 = t_{0} < \cdots < t_{m} = T$, являются опциональными.

Покажите, что простые (кусочно-непрерывные слева для $t \in (0, T]$ ) функции $f = f(t, \omega )$ вида

где величина $\eta (\omega )$ — $\mathscr {F}_{0}$-измерима, $\eta_{k}(\omega )$ — $\mathscr {F}_{t_{k}}$-измеримы, $0 = t_{0} < \cdots < t_{m} = T$, являются предсказуемыми.

Проведите построение интеграла Ито, изложенное в § 2 и § 3, отправляясь от класса опциональных простых функций, фигурирующих в упражнении 7 (которым приписывается то же значение интеграла Ито, что и для предсказуемых простых функций из упражнения 8). Можно ли утверждать, что замыкание в $L_{T}^{2}$ данной совокупности простых функций, входящих в $L_{T}^{2}$, приводит к пространству $\mathscr {A}_{T} \cap L_{T}^{2}$ ?

Пусть $\tau$ — марковский момент такой, что $\tau (\omega ) \leqslant T$ при всех $\omega \in \Omega$ (T — положительная константа). Докажите, что $I_{\tau }(f) = I_{T}\left(f \mathbf{1}_{(0, \tau ]}\right)$, где $I_{\tau }(f): = : = I_{\tau (\omega )}(f)$.

Докажите, что если $f:[0, \infty ) \rightarrow \mathbb {R}$ есть неслучайная функция из пространства Скорохода $D[0, \infty )$, то процесс $I_{t}(f), t \geqslant 0$, является гауссовским. Найдите его среднее и ковариационную функцию.

Обсудим теперь некоторые обобщения интеграла Ито. Интегрирование можно определить для следующего класса функций $J_{1}$.

Определение 10. Будем говорить, что функция $f$ принадлежит классу $J_{1}$, если $f:[0, \infty ) \times \Omega \rightarrow \mathbb {R}$ прогрессивно измерима и

Идея построения интеграла $I_{t}(f)$ для функции $f \in J_{1}$ состоит в том, чтобы подобрать последовательность функций $f_{n}, n \in \mathbb {N}$, для которых интеграл $I_{t}\left(f_{n}\right)$ уже построен, и таких, что

Отсюда выводится, что последовательность $\left\{ I_{t}\left(f_{n}\right)\right\}_{n \in \mathbb {N}}$ является фундаментальной по вероятности. Следовательно, существует случайная величина, обозначаемая $I_{t}(f)$, такая, что $I_{t}\left(f_{n}\right) \stackrel{\mathbb {P}}{\rightarrow } I_{t}(f), n \rightarrow \infty$. Предел $I_{t}(f)$ записывают, по-прежнему, как $\int_{(0, t]} f(s, \omega ) d W_{s}$ или $(f \cdot W)_{t}$. Часто броуновское движение обозначают $\left\{ B_{t}, t \geqslant 0\right\}$, и тогда пишут $(f \cdot B)_{t}$.

Докажите, что существует последовательность $\left\{ f_{n}, n \in \mathbb {N}\right\}$, описанная выше в (85). Докажите, что если $f \in J_{1}$, то существует п. н. непрерывная модификация процесса $I_{t}(f), t \geqslant 0$.

Отметим, что для $f \in J_{1}$ процесс $I_{t}(f)$ не обязан быть мартингалом, но является локальным мартингалом (т.е. процессом, для которого существует последовательность моментов остановки $\tau_{n}$ таких, что $\tau_{n} \uparrow \infty$ п.н. $(n \rightarrow \infty )$ и для каждого $n$ "остановленные" процессы $I_{t}^{\tau_{n}}(f): = I_{t \wedge \tau_{n}}(f)$, где $t \geqslant 0$, являются мартингалами).

Рассмотрим для $f \in J_{1}$ процесс

Докажите, что $d Z_{t} = Z_{t} f(t, \omega ) d W_{t}$ (по-прежнему, все дифференциальные соотношения означают сокращенную запись соответствующих интегральных).

Подробнее со стохастическим исчислением можно ознакомиться по книгам $[26$, $124,128]$. Кратные стохастические интегралы рассматриваются в [163].

Стохастический интеграл по винеровскому процессу (броуновскому движению) позволяет дать "явное" представление фрактального броуновского движения.

Определение 11. Случайньй процесс $X = \left\{ X_{t}, t \geqslant 0\right\}$ со значениями в $\mathbb {R}^{m}$ называется автомодельным (самоподобным), если для каждого $a > 0$ можно найти такое $b > 0$, что

Иначе говоря, для таких процессов изменение временно́й шкалы ( $t \mapsto a t)$ приводит к тому же самому результату, что и изменение фазовой шкаль ( $x \mapsto b x)$. Если в определении (87) для любого $a > 0$ параметр $b = a^{H}$, то случайный процесс $X$ называется автомодельным процессом с показателем Харста Н. Величина $D = 1 / H$ называется статистической фрактальной размерностью случайного процесса $X$.

Напомним, что фрактальное броуновское движение $B^{(H)} = \left\{ B^{(H)}(t), t \geqslant 0\right\}$ для $0 < H \leqslant 1$ определяется как центрированный гауссовский процесс с ковариационной функцией

При $H = 1 / 2$ процесс $B^{(1 / 2)} = \left\{ B^{(1 / 2)}(t), t \geqslant 0\right\}$ является броуновским движением.

Докажите, что $B^{(H)} = \left\{ B^{(H)}(t), t \geqslant 0\right\}$, где $0 < H \leqslant 1$, есть автомодельный процесс (с показателем Харста $H$ ).

Процессы $B^{(H)}$ впервые рассматривались А. Н. Колмогоровым в 1940 г. (см. [33]) и были названы им спиралями Винера. Термин фрактальное (или дробное, "fractional") броуновское движение был введен Б. Мандельброттом и Й. Ван Нессом в 1968 г. в работе [164], и там же была получена следующая теорема.

Теорема 10 (Мандельбротт, Ван Несс). Для $0 < H < 1$ и $t \geqslant 0$ фрактальное броуновское движение $B^{(H)}$ допускает представление

где нормирующая константа $c_{H}$ выбрана так, что $\mathbb {E}\left[B^{(H)}(1)\right]^{2} = 1$ (см., например, [86; т. 1, с. 281]), a $\left\{ W_{s}, s \geqslant 0\right\} u\left\{ \widetilde{W}_{s}, s \geqslant 0\right\}$ — независимые стандартные винеровские процессы, причем $W_{s} = \widetilde{W}_{-s}$ для $s \leqslant 0$.

$\Phi$ рактальное броуновское движение (и его дискретные аналоги) используются во многих важных моделях, в частности, для описания динамики финансовых индексов (см. [86]). Сложность изучения процессов $B^{(H)}(t)$ с $0 < H \leqslant 1$ состоит в том, что за исключением случая $H = 1 / 2$ (броуновского движения) и $H = 1$ эти процессы не являются семимартингалами (т.е. не входят в важный класс процессов, для которых развито стохастическое исчисление, см. [46; гл. 4]). Если в представлении (88) вместо $H$ взять гёльдеровскую функцию $H_{t}$ (т. е. $\left|H_{t}-H_{s}\right| \leqslant c\left|t-s\right|^{\alpha }, \alpha > 0$ ) со значениями в $(0,1)$, то получается случайный процесс, называемый мультифрактальным броуновским движением.

Докажите, что для процесса $B^{(H)}$ при $n \rightarrow \infty$

Пусть $J_{1}([0, T])$ — пространство прогрессивно измеримых функций $f:[0, T] \times \Omega \rightarrow \mathbb {R}$, удовлетворяющих (84) при $t \in [0, T]$.

Следующая теорема, основанная на понятии стохастического интеграла, описывает структуру броуновских функционалов.

Теорема 11 (Ито, Кларк). Пусть $\left(\mathscr {F}_{t}^{W}\right)_{t \in [0, T]}$ — естественная фильтрация броуновского движения $W = \left\{ W_{t}, t \in [0, T]\right\}$ и $X = X(\omega )$ является $\mathscr {F}_{T}^{W} \mid \mathscr {B}(\mathbb {R})$ измеримой случайной величиной. Справедливы следующие утверждения.

1. Если $\mathbb {E}\left[X^{2}\right] < \infty$, то найдется такой стохастический процесс $f = \left\{ f(s), s \in [0, T]\right\} \in \mathscr {A}_{T} \cap L_{T}^{2}$, что

   $$X = \mathbb {E}\left[X\right]+\int _{0}^{T} f(s, \omega ) d W_{s} \quad \text{ п.н. }$$

2. Если $\mathbb {E}\left[\left|X\right|\right] < \infty$, то представление (89) справедливо с некоторым процессом $f \in J_{1}([0, T])$.

3. Если $X$ — положительная случайная величина (т.е. $\mathbb {P}\left(X > 0\right) = 1)$ и $\mathbb {E}\left[X\right] < \infty$, то найдется процесс $f \in J_{1}[0, T]$ такой, что $X$ допускает представление вида $X = Z_{T} \mathbb {E}\left[X\right]$, где $Z_{T}$ определяется согласно (86).

Объясните, почему величина $X$, фигурирующая в теореме 11 , есть функционал от броуновского движения, т.е. $X(\omega ) = g(W(s, \omega ), 0 \leqslant s \leqslant T)$, где $g: C[0, T] \rightarrow \mathbb {R}$ и $g \in \mathscr {B}(C[0, T]) \mid \mathscr {B}(\mathbb {R})$.

Теорема 11 (Ито, Кларк). Пусть $\left(\mathscr {F}_{t}^{W}\right)_{t \in [0, T]}$ — естественная фильтрация броуновского движения $W = \left\{ W_{t}, t \in [0, T]\right\}$ и $X = X(\omega )$ является $\mathscr {F}_{T}^{W} \mid \mathscr {B}(\mathbb {R})$-измеримой случайной величиной. Справедливы следующие утверждения.

1. Если $\mathbb {E}\left[X^{2}\right] < \infty$, то найдется такой стохастический процесс $f = \left\{ f(s), s \in [0, T]\right\} \in \mathscr {A}_{T} \cap L_{T}^{2}$, что

   $$X = \mathbb {E}\left[X\right]+\int _{0}^{T} f(s, \omega ) d W_{s} \quad \text{п.н.}$$

2. Если $\mathbb {E}\left[\left|X\right|\right] < \infty$, то представление выше справедливо с некоторым процессом $f \in J_{1}([0, T])$.

3. Если $X$ — положительная случайная величина (т.е. $\mathbb {P}\left(X > 0\right) = 1$) и $\mathbb {E}\left[X\right] < \infty$, то найдется процесс $f \in J_{1}[0, T]$ такой, что $X$ допускает представление вида $X = Z_{T} \mathbb {E}\left[X\right]$, где $Z_{T} = \mathrm{exp}\left(\int_{0}^{T} f(s, \omega ) d W_{s}-\frac{1}{2} \int_{0}^{T} f^{2}(s, \omega ) d s\right)$.

Доказательства теоремы 11 в различных вариантах даны К. Ито, Дж. Кларком, Дж. Дубом и приведены во многих книгах, см., например, $[46,182]$.

В качестве примера использования представления функционалов от броуновского движения в виде стохастических интегралов приведем следующую экстремальную задачу:

среди всех моментов остановки $\tau$ (относительно естественной фильтрации броуновского движения $W = \left\{ W(t), t \in [0,1]\right\} )$ найти такой момент $\tau_{*}$, для которого достигается

Можно представить себе модель, в которой колебания цен на акции в течение единичного периода времени (например, день) описываются броуновским движением (разумеется, это лишь интерпретация, так как цены не бывают отрицательными) и требуется выбрать момент $\tau_{*}$ для самой выгодной в среднем квадратическом смысле продажи имеющихся акций. Заметим, что $W_{\tau_{*}}$ дает смещенную оценку для $\max_{0 \leqslant s \leqslant 1} W_{s}$, поскольку $\mathbb {E}\left[W_{\tau_{*}}\right] = 0$ и $\mathbb {E}\left[\max_{0 \leqslant s \leqslant 1} W_{s}\right] = \sqrt{2 / \pi }$ (поясните в качестве простого упражнения). Поэтому можно обратиться к величине

Легко проверить (убедитесь в этом), что

Положим

Теорема 12 (Граверсен, Пешкир, Ширяев). Решение приведенной выше задачи дается формулой

где константа $z_{*}$ находится из уравнения

здесь $\Phi$ и ф соответственно функция распределения и плотность стандартной нормальной величины. При этом $z_{*} = 1.12 \ldots , V_{*} = 2 \Phi \left(z_{*}\right)-1 = 0.73 \ldots$.

Ключевую роль при доказательстве этого результата играет представление вида

где $b =$ const (укажите эту константу) и

Широкое использование результатов и методов стохастического анализа связано с возможностью построения теории стохастического интегрирования по процессам более общей структуры, нежели броуновское движение.

Определение 12. Согласованный с фильтрацией $\mathbb {F} = \left(\mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ процесс $A = \left\{ A_{t} ; t \in \mathbb {R}_{+}\right\}$называется возрастающим, если для п.в. $\omega$ имеем $A_{0}(\omega ) = 0$, где $A_{t}(\omega )$ — неубывающая функция по $t \in [0, \infty )$ и $\mathbb {E}\left[A_{t}\right] < \infty$ для каждого $t \in \mathbb {R}_{+}$.

Определение 13. Действительный случайный процесс $Y = \left\{ Y_{t}, t \geqslant 0\right\}$ принадлежит классу Дирихле ( $D$ ), если семейство величин $\left\{ Y_{\tau }, \tau \in S\right\}$ равномерно интегрируемо, где $S$ обозначает совокупность всех конечных марковских моментов (относительно фильтрации $\mathbb {F}$ ).

Справедлив следующий фундаментальный результат (см. [26, т. 1, с. 68]; сравните с теоремой 1 главы IV).

Теорема 13 (разложение Дуба-Мейера). Субмартингал $X = \left(X_{t}, \mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ класса (D) с траекториями типа càdlàg допускает и притом единственное (с точностью до стохастической неразличимости) разложение вида

где $A = \left(A_{t}, \mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — возрастающий предсказуемый интегрируемый ($\mathbb {E}\left[A_{\infty }\right] < \infty$, где $A_{\infty } = \lim_{t \rightarrow \infty } A_{t}$) процесс, а $M = \left(M_{t}, \mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ есть равномерно интегрируемый мартингал.

Рассмотрим для простоты непрерывный квадратично интегрируемый мартингал $M = \left(M_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ на фильтрованном вероятностном пространстве $\left(\Omega , \mathscr {F},\left(\mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}, \mathbb {P}\right)$ такой, что $M_{0} = 0$. Класс таких мартингалов обозначается $\mathscr {M}_{2}^{c}$. Будем предполагать, что фильтрация $\mathbb {F} = \left(\mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ удовлетворяет обычным условиям.

Наметим схему построения интеграла по процессу $M = \left(M_{t}, \mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0} \in \mathscr {M}_{2}^{c}$. Пусть $\left\langle M\right\rangle = \left(\left\langle M\right\rangle_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — возрастающий предсказуемый процесс, участвующий в разложении Дуба-Мейера субмартингала $M_{t}^{2}, t \geqslant 0$, обладающий тем свойством, что $\mathbb {E}\left[\left\langle M\right\rangle_{\infty }\right] < \infty$.

Как и в случае броуновского движения, интеграл

вообще говоря, не может быть определен потраекторно, как интеграл Лебега-Стилтьеса (можно определить в тривиальном случае $M_{t} = 0$ при $t \geqslant 0$ ).

Процесс $X = \left\{ X_{t}, t \geqslant 0, \omega \in \Omega \right\}$ назовем простым, если существуют строго возрастающая числовая последовательность $\left\{ t_{n}\right\}_{n = 0}^{\infty }$ с $t_{0} = 0$ и $\lim_{n \rightarrow \infty } t_{n} = \infty$, а также последовательность действительных случайных величин $\left\{ f_{n}(\omega )\right\}_{n = 0}^{\infty }$ и некоторая константа $0 < c < \infty$, для которых $\sup \left|f_{n}(\omega )\right| \leqslant c$ при всех $\omega \in \Omega$, причем $f_{n} \in \mathscr {F}_{t_{n}} \mid \mathscr {B}(\mathbb {R})$ и

Класс простых процессов обозначим $\mathscr {L}_{0}$ и для $X \in \mathscr {L}_{0}$ положим

Далее доказывается, что определение (92) можно распространить (снова используя должные аппроксимации простыми процессами) с $\mathscr {L}_{0}$ на более широкий класс процессов. Интересно отметить, что этот класс будет зависеть от того, является ли функция $\left\langle M\right\rangle_{t}$ для п.в. $\omega$ абсолютно непрерывной относительно меры Лебега. Детальное построение и дальнейшие обобщения можно почерпнуть в книгах $[46,182]$.

С помощью формулы Ито докажите, что для детерминированной функции $f = f(t)$ из $C^{1}$ справедлива формула "интегрирования по частям":

Постройте пример случайной функции $f = f(t, \omega )$, для которой формула (93) не имеет места.

Пример 2. Рассмотрим стохастически возмущенное уравнение роста популяции

Точнее говоря, рассмотрим стох астическое дифференциальное уравнение вида

с начальным условием $X_{0}\left(X_{0} \in \mathscr {F} \mid \mathscr {B}(\mathbb {R})\right.$ и $\left.\mathbb {E}\left[X_{0}^{2}\right] < \infty \right)$, где константы $\sigma > 0, r \in \mathbb {R}$.

Из формулы Ито непосредственно следует, что процесс

является сильным решением уравнения (95). Поскольку $X_{0} \; \perp \! \! \! \perp \; W = \left\{ W_{t}, t \geqslant 0\right\}$, то

Иначе говоря, при $\mathbb {E}\left[X_{0}\right] \neq 0$ средний рост (убывание, если $r < 0$ ) $\mathbb {E}\left[X_{t}\right]$ будет таким же, как в случае детерминированной модели (94).

Уравнение (95) играет важную роль в финансовой математике. Его решение (96) часто называют "геометрическим броуновским движением". Локальный снос $r-\sigma^{2} / 2$ характеризует скорость изменения среднего значения процесса $X$, диффузию $\sigma^{2}$ в финансовой литературе часто называют волатильностью. Видимо, П. Самуэльсон был первым, кто осознал важность геометрического броуновского движения для описания эволюции цен, используя для него термин "экономическое броуновское движение".

Определения и результаты, излагавшиеся в главе VIII, ценой некоторых усложнений естественным образом переносятся на многомерный случай. Так, уравнение (59) можно понимать как систему, в которой $X_{t} = \left(X_{t}^{(1)}, \ldots , X_{t}^{(n)}\right), b$ — векторная, $\sigma$ — матричная функции, точнее говоря,

$W = \left\{ W_{t}, t \geqslant 0\right\}$ — $m$-мерное броуновское движение (относительно фильтрации $\left.\left(\mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}\right)$. Считаем также, что

Интеграл от векторной функции определяется как вектор из интегралов от компонент, а $\int_{[0, t]} \sigma \left(s, X_{s}\right) d W_{s}$ обозначает вектор-функцию с $i$-й компонентой, равной

Определение прогрессивной измеримости очевидным образом переносится на многомерный случай. Теорема 13 остается в силе, если в условиях (61) и (62) модуль $b$ понимать как норму в $\mathbb {R}^{n}$, а модуль $\sigma$ понимать как норму матрицы, например, считать, что $\left|\sigma \right|^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{m} \sigma_{i k}^{2}$.

При исследовании систем стохастических дифференциальных уравнений важнейшую роль играют многомерные варианты формулы Ито, т. е. формулы, описывающие стохастический дифференциал процесса $H\left(t, X_{t}\right)$, где $H = H\left(t, x_{1}, \ldots , x_{n}\right)$, а $X = \left(X^{(1)}, \ldots , X^{(n)}\right)$ — векторный процесс Ито. Другими словами, $X$ имеет стохастический дифференциал вида

где $f$ и $g$ — соответственно матричная и векторная прогрессивно измеримые функции, $f = \left(f_{i k}(t, \omega ), i = 1, \ldots , n ; k = 1, \ldots , m\right) ; g = \left(g_{1}(t, \omega ), \ldots , g_{n}(t, \omega )\right), W_{t} = \left(W_{t}^{(1)}, \ldots , W_{t}^{(m)}\right)$. Иначе говоря, пусть

где при любом $t > 0$, всех $i = 1, \ldots , n$ и $k = 1, \ldots , m$

Теорема 14. Пусть функция $H:[0, \infty ) \times \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}$ такова, что $H \in C^{1,2}$, т. е. существуют непрерывные производные $\partial H / \partial t$ и $\partial^{2} H / \partial x_{i} \partial x_{j}, i, j = 1, \ldots , n$. Тогда процесс $Y_{t} = H\left(t, X_{t}\right)$, дде процесс Ито $X_{t}$ определяется согласно (100), (102), имеет стохастический дифференииал, который задается формулой

здесь $d X_{t}^{(i)}$ и d $X_{t}^{(j)}$, фигурирующие в (101), “перемножаются по правилу":

Доказательство формулы Ито см., например, в [26]. По поводу разнообразных обобщений этой формулы см., например, $[11,146]$.

Приведем здесь лишь один результат в направлении упомянутых обобщений. Пусть $X$ — стандартное (одномерное) броуновское движение $W = \left\{ W_{t}, t \geqslant 0\right\}$. Пусть функция $F = F(x)$ является абсолютно непрерывной,

причем функция $f = f(y) \in L_{\mathrm{loc}}^{2}(\mathbb {R})$, т.е. для любого $c > 0$

Определим $[f(W), W]$ — квадратическую ковариацию процессов $f(W)$ и $W$ следующим образом:

Здесь $\mathbb {P}$ - $\lim$ обозначает предел по вероятности, а $\left\{ t^{(n)}(m), m \in \mathbb {N}\right\}$ при каждом $n \in \mathbb {N}$ — римановские последовательности детерминированных моментов $t^{(n)}(m)$, т.е. $t^{(n)}(m) \leqslant t^{(n)}(m+1)$ для $m \in \mathbb {N}$ при каждом $n \in \mathbb {N}$ и $t^{(n)}(m) \rightarrow \infty$ при $m \rightarrow \infty$; кроме того, для любого $t > 0$

Важно подчеркнуть, что поскольку процесс $f(W)$ не является, вообще говоря, семимартингалом, нетривиален факт существования предела по вероятности, задающего $[f(W), W]_{t}$. Один из результатов работы $[129]$ состоит именно в доказательстве существования этого предела.

Теорема 15 (Проттер, Фёльмер, Ширяев; [129]). При сделанных выше предположениях о функции $F = F(x)$ имеет место формула

Пусть функция $f \in C^{2}$. Докажите, что

Тем самым, формула (103) переходит в формулу Ито.

Пусть $f(x) = \left|x\right|$. Докажите, что $[f(W), W]_{t} = 2 L_{t}(0)$, где $L_{t}(0)$ — локальное время (П. Леви) броуновского движения в точке 0 , определяемое следующим образом:

Таким образом, в данном случае формула (103) переходит в формулу Танака для броуновского движения.

Обобщению интеграла Ито на функции многих переменньх посвящена монография [163]. Приведем только один результат этого направления.

Теорема 16 (Ито). При всех $t > 0$ и $n \in \mathbb {N}$ справедлива формула

где $H_{n}$ — полином Эрмита степени п, т.е.

Обратимся теперь к однородной диффузии, т.е. рассмотрим решение уравнения

где $W_{t}$ — $m$-мерный винеровский процесс, а функции $b: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}^{n}$ и $\sigma : \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}^{n \times m}$ удовлетворяют условиям теоремы 8 , которые в данном случае сводятся к одному требованию: существует $L > 0$ такое, что

(для вектора $\left|\cdot \right|$ обозначает евклидову норму и $\left|\sigma \right|^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{m} \sigma_{i k}^{2}$ ), из которого вытекает, что для некоторого $c > 0$

Обозначим $X_{t}^{s, x}$ единственное сильное решение уравнения (106) при $t \geqslant s$.

Докажите, что для каждого $x \in \mathbb {R}^{n}$ определенный выше процесс $X_{t}^{s, x}, t \geqslant s$, является однородным марковским процессом.

Докажите, что при выполнении условий теоремы 8 единственность сильного решения (на $[0, T]$ ) будет в более широком классе процессов, у которых существует $\mathbb {E}\left[X_{t}^{2}\right]$ для $t \in [0, T]$.

Теорема 8. Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение

где $b$ и $\sigma$ определены на $[0, T] \times \mathbb {R}$. Пусть выполнено условие Липшица: существует константа $L = L(T) > 0$ такая, что

и условие линейного роста: для некоторого $c = c(T) > 0$

Пусть величина $X_{0}$ является $\mathscr {F}_{0}$-измеримой, причем $\mathbb {E}\left[X_{0}^{2}\right] < \infty$. Тогда существует единственное сильное решение уравнения с $\mathscr {F}_{0}$-измеримым начальным условием $X_{0}$ такое, что $X_{t} \in L^{2}(\Omega )$ для любого $t \in [0, T]$ и функция $\mathbb {E}\left[X_{t}^{2}\right]$ ограничена на $[0, T]$.