Стационарные процессы. Дискретное и непрерывное время

Покажите, что пуассоновская случайная мера (см. §9 главы I), заданная на полукольце ограниченных борелевских множеств в $\mathbb {R}^{n}$, является ортогональной (нецентрированной) случайной мерой.

Пусть $\left\{ Z_{\lambda }, \lambda \in \mathbb {R}\right\}$ — комплекснозначный $L^{2}$-процесс такой, что

1. $\mathbb {E}\left[\left|Z_{\lambda }-Z_{\nu }\right|^{2}\right] \rightarrow 0$ для любого $\nu \in \mathbb {R}$ при $\lambda \downarrow \nu$,

2. приращения ортогональны, т.е. для всех $\lambda_{1} < \lambda_{2} < \lambda_{3}$

   $$\mathbb {E}\left[\left(Z_{\lambda _{2}}-Z_{\lambda _{1}}\right) \overline{\left(Z_{\lambda _{3}}-Z_{\lambda _{2}}\right)}\right] = 0$$

На полукольце $\mathscr {K} = \left\{ (a, b],-\infty < a \leqslant b < \infty \right\}$, где $(a, a] = \varnothing$, введем семейство случайных величин $Z((a, b]): = Z(b)-Z(a)$. Докажите, что $Z$ ортогональная случайная мера на $\mathscr {K}$.

Если мера порождается указанным выше процессом $Z_{\lambda }, \lambda \in \mathbb {R}$, то вместо интеграла $\int_{\mathbb {R}} f(\lambda ) Z(d \lambda )$ используют также запись $\int_{\mathbb {R}} f(\lambda ) d Z_{\lambda }$.

Пусть $\left\{ Z_{\lambda }, \lambda \in \mathbb {R}\right\}$ — центрированный гауссовский процесс с ортогональными приращениями, непрерывный справа в среднем квадратическом (выясните, обязан ли тогда процесс быть непрерывным слева в среднем квадратическом). Пусть при каждом $t \in T$ функция $g(t, \cdot ): \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C}$ удовлетворяет условию

где $\mu$ — структурная мера, отвечающая ортогональной случайной мере $Z$, порожденной процессом $\left\{ Z_{\lambda }, \lambda \in \mathbb {R}\right\}$ (см. упражнение 2). Докажите, что тогда процесс

является центрированным гауссовским процессом.

(замена меры в интеграле) Пусть $Z$ — ортогональная случайная мера, заданная на $\Omega \times \mathscr {G}$ и имеющая $\sigma$-конечную структурную функцию (меру) $\mu$ на измеримом пространстве $(\Lambda , \mathscr {A})$ (система множеств $\mathscr {G} = \left\{ A \in \mathscr {A}: \mu (A) < \infty \right\} )$. Пусть $h: \Lambda \rightarrow \mathbb {C}, h \in L^{2}(\Lambda , \mathscr {A}, \mu )$. Введем

и положим

Объясните, почему $V$ является ортогональной случайной мерой (центрированной, если центрирована мера $Z$ ) с $\sigma$-конечной структурной мерой

Докажите, что если $g: \Lambda \rightarrow \mathbb {C}, g \in L^{2}(\Lambda , \sigma \left\{ \mathscr {H}\right\} , \nu )$, то

В связи с теоремой Карунена (см. также $[38,58,134]$ ) вновь обратимся к вопросу о канонических представлениях случайных процессов.

Рассмотрим пространство $L^{2}[a, b]$, состоящее из комплекснозначных функций, квадрат модуля которых интегрируем по Лебегу на $[a, b]$. Скалярное произведение в этом гильбертовом пространстве определим, как обычно, формулой

Следующий пример является хорошей иллюстрацией теоремы 3.

Пример 2. Для винеровского процесса $W$ на отрезке $[0,2 \pi ]$ справедливо представление (Карунена)

где $z_{k}$ — ортонормированные центрированные случайные величины, ряд сходится при каждом $t \in [0,2 \pi ]$ в среднем квадратическом (при $k = 0$ считаем $\left(1-e^{i k t}\right) / i k = -t)$.

Действительно, для $s, u \in [0,2 \pi ]$ имеем

Функции ( $1 / \sqrt{2 \pi }) e^{i k u}, k \in \mathbb {Z}$, образуют полную ортонормированную систему в пространстве $L^{2}[0,2 \pi ]$; при каждом $s \in [0,2 \pi ]$ ряд (69) сходится в этом пространстве и коэффициенты $ф$ урье

$\left(c_{0}(s) = s / \sqrt{2 \pi }\right)$. Равенство Парсеваля показывает, что при $s, t \in [0,2 \pi ]$

Представление (68) следует из теоремы 3 , в которой надо положить $\Lambda = \mathbb {Z}$,

и выбрать меру $\mu$ считающей мерой на $\Lambda$, т.е. такой, что $\mu (\left\{ k\right\} ) = 1, k \in \mathbb {Z}$. $\square$

Докажите, что представление (68) справедливо (п.н.) с независимыми случайными величинами $z_{k} \sim \mathrm{N}(0,1), k \in \mathbb {Z}$. Точнее говоря, докажите, что при таком выборе величин $z_{k}(k \in \mathbb {Z}$ ) правая часть (68) имеет непрерывную модификацию, являющуюся центрированным гауссовским процессом с ковариационной функцией $\min \left\{ s, t\right\} , s, t \in [0,2 \pi ]$.

Приведем некоторые необходимые нам в дальнейшем утверждения, относяшиеся к теории операторов в гильбертовых пространствах.

$\mathrm{C}$ непрерывной на $[a, b] \times [a, b]$ ковариационной функцией $r = r(s, t)$ свяжем ограниченный линейный оператор Фредгольма $A$, который действует в $L^{2}[a, b]$ и определяется следующим образом:

Функция $r = r(s, t)$ называется ядром интегрального оператора $A$.

Пусть $X = \left\{ X(t), t \in [a, b]\right\}$ — комплекснозначный $L^{2}$-процесс, непрерывньй в среднем квадратическом на отрезке $[a, b]$. Докажите, что это свойство равносильно тому, что на $[a, b]$ непрерывна функция $m(t) = \mathbb {E}\left[X(t)\right]$ и на $[a, b] \times [a, b]$ непрерывна ковариационная функция $r(s, t) = \operatorname {cov}(X(s), X(t))$.

Докажите, что оператор $A$, заданный формулой (70), компактен, т. е. всякое ограниченное по норме множество оператор $A$ переводит в предкомпактное (т.е. множество, замыкание которого есть компакт).

Введенньй оператор $A$ — оператор Гильберта-Шмидта (см. [35; гл. IX, § 2, п. 1]), поскольку

Заметим также, что оператор $A$ является самосопряженным, поскольку (см. [35; гл. IX, § 2, п. 2]) его сопряженный оператор $A^{*}$ задается эрмитово сопряженным ядром $\overline{r(t, s)}$, а для ковариационной функции $r(s, t)$ справедливо равенство $r(s, t) = \overline{r(t, s)}$ при всех $s, t$.

Напомним (см. $[35$; гл. $4, \S 6]$ ) классический результат.

Теорема 17 (Гильберт-Шмидт). Пусть $A$ — компактный самосопря женный оператор в (комплексном) гильбертовом пространстве $Н$. Тогда существует ортонормированная система $\left\{ \phi_{n}, n \in J\right\}$ собственных векторов оператора $A$, отвечающих ненулевым собственным значениям, такая, что любой элемент $h \in H$ записывается единственным образом в виде

где $c_{n} \in \mathbb {C}, n \in J, u \in \operatorname {Ker} A(m . e . A u = 0)$. Множество $J$ всегда конечно или счетно (в последнем случае ряд (72) сходится по норме $\left\| \cdot \right\| = (\cdot , \cdot )^{1 / 2}$ ). Более того, в силу компактности оператора $A$ число собственных значений $\lambda_{n}$ во внешности любого круга с центром в 0 конечно и поэтому их можно перенумеровать в порядке невозрастания модулей $\left|\lambda_{1}\right| \geqslant \left|\lambda_{2}\right| \geqslant \cdots$. Если J счетно, то $\lim_{n \rightarrow \infty } \lambda_{n} = 0$.

Отметим, что собственные значения самосопряженного оператора $A$ в $H$ действительны, а собственные векторы, отвечающие разным собственным значениям, ортогональны, в частности, $\left(\phi_{n}, u\right) = 0, n \in J$.

Для оператора $A$ из (70) в силу сепарабельности $H = L^{2}[a, b]$ в подпространстве Ker $A$ можно выбрать ортонормированный базис $\left\{ \phi_{k}\right\}_{k \in M}$, где $M$ — конечно или счетно (считаем множества $M$ и $J$ непересекающимися; если $\operatorname {Ker} A = 0$, то $M = \varnothing$ ). Дополнив систему $\left\{ \phi_{n}, n \in J\right\}$ до ортонормированного базиса $\left\{ \phi_{n}, n \in J \cup M\right\}$ в $H$, перепишем (72) в виде разложения по собственному базису оператора $A$ :

Если семейство индексов $J \cup M$ счетно, то ряд Фурье в (73) сходится по норме $L^{2}[a, b]$.

В силу упражнений 6 и 7 для ковариационной функции $r$ непрерывного в среднем квадратическом процесса $X = \left\{ X(t), t \in [a, b]\right\}$ имеем согласно (73), что при каждом $t \in [a, b]$

где

Тем самым,

Если $J$ — счетно, то ряды (73), (74) сходятся в $L^{2}[a, b]$ при любом $t \in [a, b]$. Отметим, что здесь все $\lambda_{k}$ действительны и $\lambda_{k} = 0, k \in M$.

Докажите, что (в силу неотрицательной определенности функции $r$ ) $\lambda_{k} > 0$ при $k \in J$.

Следующая теорема показывает, что соотношение (74) допускает усиление (см., например, [60; с. 263]).

Теорема 18 (Мерсер). Пусть $r = r(s, t)$ — непрерывная на $[a, b] \times [a, b] \kappa о в а$ риационная функция. Тогда для всех $s, t \in [a, b]$

причем, если $J$ — счетно, то на $[a, b] \times [a, b]$ ряд (75) сходится абсолютно и равномерно. (По-прежнему, $\lambda_{k} u \phi_{k}$ обозначают положительные собственные значения и соответствующие собственные функции оператора $A$ из (70).)

В качестве следствия отсюда вытекает

Теорема 19 (Карунен-Лоэв). Пусть $X = \left\{ X(t), t \in [a, b]\right\}$ — непрерывный в среднем квадратическом на $[a, b]$ центрированный $L^{2}$-процесс, имеющий ковариационную функцию $r = r(s, t)$. Тогда при каждом $t \in [a, b]$

где $\lambda_{k}, \phi_{k}$ — те же, что и в (75), а $\left\{ z_{k}, k \in J\right\}$ — центрированные ортонормированные случайные величины. Для счетного J ряд (76) сходится в среднем квадратическом.

Доказательство. Положим $T = [a, b], \Lambda = J$ и $f(t, k) = \sqrt{\lambda_{k}} \phi_{k}(t)$ для $t \in T$, $k \in \Lambda$. Тогда свойство (75) превращается в соотношение (18), где $\mu$ — считающая мера на $\Lambda$, т.е. $\mu (\left\{ k\right\} ) = 1$ для $k \in \Lambda$ и требуемый результат о справедливости (76) непосредственно вытекает из теоремы Карунена (теорема 3 ).

Оценив величину

докажите, что если выполнены условия теоремы 19 , то в разложении (76) в качестве величин $z_{k}$ можно выбрать центрированные ортонормированные величины

Интеграл здесь определяется (и существует) как предел в среднем квадратическом соответствующих интегральных сумм Римана. Объясните, почему для непрерывной на $[a, b] \times [a, b]$ ковариационной функции $r = r(s, t)$ собственные функции $\phi_{k} \in C[a, b], k \in J$. Кроме того, докажите, что среднеквадратическая сходимость в (76) с данными $z_{k}, k \in J$, будет равномерна по $t \in [a, b]$.

Пример 3. Найдем, пользуясь теоремой 19, разложение Карунена-Лоэва для винеровского процесса $W(t)$ на отрезке $[0,1]$.

Для этого определим собственные значения и собственные функции интегрального оператора, отвечающего непрерывной на $[0,1] \times [0,1]$ ковариационной функции $r(s, t) = \min \left\{ s, t\right\} , s, t \in [0,1]$. Согласно упражнению 8 величины $\lambda_{k} > 0$ для $k \in J$ и, как показывает упражнение $9, \phi_{k} \in C[0,1]$.

Рассмотрим относительно $\lambda > 0$ и $\phi \in C[0,1]$ уравнение

т. е. уравнение

Поскольку левая часть (78) дифференцируема в каждой точке $s \in [0,1]$ (в концах отрезка надо рассматривать соответствующие односторонние производные), то функция $\phi$ дифференцируема и

Снова дифференцируя по $s$ обе части этого равенства, приходим к тому, что требуемая функция $\phi (s)$ должна удовлетворять следующему уравнению:

Обшее решение этого уравнения задается формулой

где $A, B$ — константы. Учитывая, что $\phi (0) = 0, \phi^{\prime }(1) = 0$, находим, что

откуда

Условия нормировки $\int_{0}^{1} \phi_{k}^{2}(s) d s = 1$ и равенства (79) дают следующие представления для функций $\phi_{k}(s)$ :

Легко проверить, что все найденные величины $\lambda_{k}$ и $\phi_{k}, k \in \mathbb {Z}_{+}$, удовлетворяют исходному уравнению (78). Таким образом, согласно представлению (76) находим, что

где $\left\{ z_{k}, k \in \mathbb {Z}_{+}\right\}$- последовательность ортонормированных и центрированных (в силу упражнения 9) случайных величин; ряд в (81) сходится в среднем квадратическом равномерно на $[0,1]$.

Замечание 6. Упражнение 4 главы II показывает, что $L^{2}[W(t), t \in [0,1]]$ — гауссовская система. Согласно упражнению 9 величины $\left\{ z_{k}, k \in \mathbb {Z}_{+}\right\}$, фигурирующие в (77), где $X(t) = W(t), a = 0$ и $b = 1$, образуют гауссовский процесс. Поскольку для центрированных действительных гауссовских величин ортогональность равносильна независимости, то, применив упражнение 11 главы IV, получаем, что ряд (81) при каждом $t \in [0,1]$ сходится с вероятностью единица, где независимые величины $z_{k} \sim \mathrm{N}(0,1), k \in \mathbb {Z}_{+}$, определены на том же самом вероятностном пространстве $(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$, что и данный винеровский процесс.

Найдите на отрезке $[0, c]$ разложение Карунена-Лоэва для процесса Орнштейна-Уленбека, имеющего ковариационную функцию $r(s, t) = e^{-\alpha \left|s-t\right|}$, где $\alpha > 0, s, t \in \mathbb {R}$.

Пусть $X = \left\{ X(t), t \in \mathbb {R}\right\}$ — непрерывный в среднем квадратическом процесс с ковариационной функцией $r(s, t) = R(s-t)$. Пусть $X$ — периодический процесс с периодом $a$, т.е. $X(t+a) = X(t)$ п. н. для каждого $t \in \mathbb {R}$. Найдите для $X$ разложение Карунена-Лоэва.

Применения различных канонических разложений случайных функций даны, например, в монографии [58]. Важное значение канонические представления имеют для приложений теории случайных процессов к решению задач обнаружения сигналов в присутствии помех. В частности, большой интерес представляет вопрос, в каком случае в той или иной задаче можно ограничиться конечным числом членов, участвующих в каноническом разложении случайной функции. Иллюстрирующие примеры такого рода можно найти в $[58 ; \S 174]$.

Между теоремой 3 главы VII и теоремой 6 главы II имеется тесная связь.

Докажите, что если ковариационная функция $r = r(s, t)$ допускает представление (18), то гильбертово пространство $H$ с воспроизводящим ядром $r = r(s, t)$ состоит из функций

где $L^{2}[f]$ — замыкание в $L^{2}(\Lambda , \mathscr {A}, \mu )$ линейной оболочки функций $f(t, \cdot ), t \in T$. Скалярное произведение в $H$ задается формулой

где $h_{k}$ и $g_{k}, k = 1,2$, связаны соотношением (82). Пусть $Z$ — ортогональная случайная мера на $\mathscr {G} \times \Omega$, имеющая структурной функцией меру $\mu$ (см. теорему 2), и пусть $L^{2}[f] = L^{2}(\Lambda , \mathscr {A}, \mu )$. Объясните, почему для процесса $X = \left\{ X(t), t \in T\right\}$ вида (19), процесс $Y$, фигурирующий в теореме 6 главы II, задается формулой

где $h$ определяется по $g$ согласно (82).

Докажите, что (действительное) гильбертово пространство $H$ с воспроизводящим ядром $r(s, t) = \min \left\{ s, t\right\} , s, t \in \mathbb {R}_{+}$, являющимся ковариационной функцией винеровского процесса, состоит из функций

(интегрируем по мере Лебега). Объясните, почему $L^{2}[W]$, т.е. замкнутая в $L^{2}(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$ линейная оболочка $W(t), t \in \mathbb {R}_{+}$, состоит из величин вида (83), где $Z$ — ортогональная случайная мера на $\mathscr {G} \times \Omega$, порожденная самим винеровским процессом (см. пример 1 ), а функция $g$ удовлетворяет условию (84).

Рассмотрим ряд конкретных примеров стационарных и нестационарных процессов (подразумевая под стационарностью стационарность в широком смысле).

Пусть $X = \left\{ X(t) = \xi e^{i(\eta t+\nu )}, t \in \mathbb {R}\right\}$, где действительные случайные величины $\xi , \eta , \nu$ таковы, что $\nu$ равномерно распределена на $[0,2 \pi ]$ и не зависит от $(\xi , \eta )$, а $\mathbb {E}\left[\xi^{2}\right] < \infty$. Убедитесь, что $X$ дает пример центрированного стационарного процесса с ковариационной функцией вида (36), где мера $G = \mathbb {E}\left[\xi^{2}\right] F$, а $F$ — распределение вероятностей величины $\eta$. Положим теперь $Y = \left\{ Y(t) = \xi \cos (\eta t+\nu ), t \in \mathbb {R}\right\}$. Проверьте, что $Y$ — стационарный процесс. Если $X = \left\{ X(t), t \in \mathbb {R}\right\}$ — стационарный комплекснозначный процесс, то можно ли утверждать, что $\left\{ \operatorname {Re} X(t), t \in \mathbb {R}\right\}$ и $\left\{ \operatorname {Im} X(t), t \in \mathbb {R}\right\}$ стационарные процессы?

(телеграфный сигнал). Пусть $N = \left\{ N_{t}, t \geqslant 0\right\}$ — пуассоновский процесс, имеющий постоянную интенсивность $\lambda > 0$. Пусть случайная величина $\zeta$ не зависит от процесса $N$ и $\mathbb {P}\left(\zeta = -1\right) = \mathbb {P}\left(\zeta = 1\right) = 1 / 2$. Введем процесс, называемый телеграфным сигналом или телеграфной волной, положив

Найдите $\operatorname {cov}(X(s), X(t)), s, t \geqslant 0$ (сопоставьте ответ с упражнением 27 главы III).

(обобщение упражнения 15). Пусть $\left\{ \zeta_{n}, n \geqslant 1\right\}$ — последовательность независимых одинаково распределенных действительных случайных величин, независящая от пуассоновского процесса $N = \left\{ N_{t}, t \geqslant 0\right\}$, имеющего с вероятностью 1 единичные скачки в моменты $\tau_{1} < \tau_{2} < \cdots$ (см. теорему 2 главы II). Положим $X(t, \omega ) = \zeta_{k}(\omega )$ при $\tau_{k}(\omega ) \leqslant t < \tau_{k+1}(\omega )$, где $k = 0,1, \ldots \left(\tau_{0} = 0\right)$. Если в последовательности $\left\{ \tau_{k}(\omega ), k \geqslant 0\right\}$ найдутся совпадающие точки (что возможно лишь с вероятностью 0 ), то пусть $X(t, \omega ) = 0$ для $t \geqslant 0$. Считая $\mathbb {E}\left[\zeta_{0}^{2}\right] < \infty$, найдите ковариационную функцию процесса $X = \left\{ X(t), t \geqslant 0\right\}$.

Для процесса дробового шума (см. определение 14 главы VI) с ковариационной функцией $r = r(s, t)$ докажите, что возникает асимптотическая стационарность в том смысле, что существует $\lim_{s \rightarrow \infty } r(s, s+t)$.

Разнообразные обобщения процесса дробового шума (в том числе поля дробово20 шума) играют важную роль в построении различных моделей более сложных процессов; см. по этому поводу, например, $[13,111]$.

Найдите спектральную плотность процесса Орнштейна-Уленбека.

Приведите пример (в связи с теоремой 8) неотрицательно определенной функции $R(t), t \in \mathbb {R}$, непрерывной всюду, кроме точки $t = 0$.

Пусть $h_{1}(t), \ldots , h_{n}(t)$ — комплекснозначные функции, заданные на множестве $T$. Докажите, что $r(s, t) = \sum_{j = 1}^{n} h_{j}(s) \overline{h_{j}(t)}, s, t \in T$, является неотрицательно определенной функцией. Дайте пример негауссовского процесса, имеющего эту ковариационную функцию.

Пусть $\left\{ X_{n}, n \in \mathbb {Z}\right\}$ — стационарный процесс со средним значением $a$ и ковариационной функцией $R = R(n), n \in \mathbb {Z}$. Докажите, что при $N \rightarrow \infty$

Пусть в условиях предыдущего упражнения

для некоторых $c, \gamma > 0$ и всех $N \in \mathbb {N}$. Докажите, что тогда

Покажите, что условие (85) выполнено, если $R(n) = O\left(n^{-\gamma }\right)$ при $n \rightarrow \infty$.

Теорема 20 (Гапошкин; [14]). Пусть $X = \left\{ X(n), n \in \mathbb {Z}\right\}$ — стачионарный процесс со средним $a = 0$ и ковариационной функцией $R = R(n), n \in \mathbb {Z}$ (пусть $R(0) = 1)$. Тогда (86) имеет место в том и только том случае, когда $G(\left\{ 0\right\} ) = 0 u$

где $Z$ — ортогональная случайная мера, фигурирующая в спектральном представлении (35), а $G$ — ее структурная функция (мера).

Отметим, что доказательство этого результата основано на представлении сумм $k^{-1} \sum_{j = 1}^{k} X_{j}$ для $2^{n} \leqslant k < 2^{n+1}(n = 0,1, \ldots )$ в виде $\int_{\left|\lambda \right| \leqslant 2^{-n}} Z(d \lambda )+\psi_{k}$, где $\lim_{k \rightarrow \infty } \psi_{k} = 0$ п.н. и в $L^{2}(\Omega )$.

Пусть $X = \left\{ X_{n}, n \in \mathbb {N}\right\}$ — центрированная действительная гауссовская стационарная последовательность с ковариационной функцией $R = R(n), n \in \in \mathbb {Z}$. Докажите, что условие

необходимо и достаточно для того, чтобы оценка $\widehat{R}_{N}(m)$, введенная в (48), была состоятельной в среднем квадратическом, т.е. для $m \in \mathbb {Z}$

Пусть $X = \left\{ X_{n}, n \in \mathbb {Z}\right\}$ — процесс скользящего среднего вида (39). Потребуем, чтобы $\sum_{k = -\infty }^{\infty }\left|c_{k}\right| < \infty$ и $\varepsilon_{k}, k \in \mathbb {Z}$, были независимыми одинаково распределенными величинами, имеющими $\mathbb {E}\left[\varepsilon_{k}^{4}\right] < \infty$. Пусть $\widehat{f}_{N}(\lambda )$ — периодограмма (49). Найдите $\lim_{N \rightarrow \infty } \operatorname {cov}\left(\widehat{f}_{N}(\lambda ), \widehat{f}_{N}(\nu )\right)$ для частот $\lambda , \nu \in [-\pi , \pi ]$.

Пусть $Z$ — ортогональная случайная мера, отвечающая процессу Орнштейна-Уленбека с параметрами $\alpha , \beta > 0$ (см. упражнение 27 главы III). Докажите, что процесс

(по непрерывности полагаем $\left(e^{i t \lambda }-1\right) / i \lambda = t$ при $\lambda = 0$ ) является винеровским процессом. (Существование непрерывой модификации этого процесса легко получается с помощью теоремы Колмогорова (теорема 18 главы II).)

Интересно отметить, что представление (87) дает возможность построения винеровского процесса, отправляясь от процесса Орнштейна-Уленбека, а формула (III.88) показывает, как процесс Орнштейна-Уленбека выражается через винеровский процесс. В главе VIII мы рассмотрим также стохастическое дифференциальное уравнение Ланжевена, связывающее эти два замечательных процесса.

Пользуясь упражнением 4, представление (87) можно переписать в следующем виде (сравните с примером 2 )

где ортогональная случайная мера $V$ на полукольце $\mathscr {K}$, фигурирующем в упражнении 4 , задается формулой (66) с функцией $h(\lambda ) = (i \lambda +\beta ) / \alpha , \lambda \in \mathbb {R}$.

Замечание 7. Согласно теореме 1 главы III траектории винеровского процесса п. н. недифференцируемы ни в одной точке $t \in \mathbb {R}_{+}$. Докажите, что в каждой точке $t \in \mathbb {R}_{+}$не существует производной $W(t)$ даже в смысле сходимости по вероятности. Тем не менее, если формально продифференцировать по $t$ равенство (88), получим так называемый "бельй шум"

Это название связано с тем, что формально получена смесь гармонических колебаний $e^{i t \lambda }$, каждое из которых входит в (89) с одинаковой интенсивностью (поскольку структурная для $V$ мера есть мера Лебега). Точный смысл понятию "белый шум" придается в теории обобщенньх случайных процессов (сравните с определением 10); введение в эту область содержится в [77].

Результаты, изложенные в настоящей главе, распространяются также и на процессы с векторными значениями, а также на случайные поля. Остановимся на некоторых из этих результатов.

Матричная функция $C(s, t) = \left(C_{j k}(s, t)\right)_{j, k = 1}^{m}, s, t \in T$, с комплекснозначными элементами называется неотрицательно (или положительно) определенной, если для всех $n \geqslant 1$, любых $t_{1}, \ldots , t_{n} \in T$ и вектор-столбцов $z_{1}, \ldots , z_{n} \in \mathbb {C}^{m}$

где символ * обозначает транспонирование и комплексное сопряжение всех элементов.

Векторный процесс $X = \left\{ X(t), t \in T\right\}$ со значениями в $\mathbb {C}^{m}$ называется $L^{2}$-nроцессом, если $\mathbb {E}\left[\left\| X(t)\right\|^{2}\right] < \infty$ для всех $t \in T$. Здесь и далее норма $\left\| \cdot \right\|$ в комплексном (в частности, действительном) евклидовом пространстве определяется обычным образом:

Определим векторную функцию среднего и матричную ковариационную (корреляционную) функцию $L^{2}$-процесса $X$, положив

Докажите, что матричная функция $R(s, t), s, t \in T$ (с комплексными элементами) является ковариационной функцией некоторого векторного $L^{2}$-процесса $X = \left\{ X(t), t \in T\right\}$ тогда и только тогда, когда она неотрицательно определена.

Пусть $T$ — линейное пространство. $L^{2}$-процесс $X = \left\{ X(t), t \in T\right\}$ со значениями в $\mathbb {C}^{m}$ называется стационарным в широком смысле, если

Матричная функция $C(t), t \in T$, называется неотрицательно определенной, если неотрицательно определена функция $r(s, t): = C(s-t), s, t, s-t \in T$.

Как и прежде, рассматриваемые процессы (и поля) считаем центрированными.

Говорят, что последовательность векторов $\varepsilon_{n}, n \in \mathbb {Z}$, со значениями в $\mathbb {C}^{m}$ является бельм шумом, если в (90)

здесь $I$ — единичная матрица $m$-го порядка. Заметим, что для процессов с непрерывным временем этот термин, как отмечалось выше, имеет более сложный смысл.

Векторный процесс скользящего среднего вводится формулой

где $\varepsilon = \left\{ \varepsilon_{n}, n \in \mathbb {Z}\right\}$ — белый шум, $A_{k}, k \in \mathbb {Z}$, — матрицы (операторы), отображающие $\mathbb {C}^{m}$ в $\mathbb {C}^{m}$. Ряд в (91) понимается как сходящийся в среднем квадратическом.

Докажите, что для сходимости в $L^{2}(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$ ряда (91) достаточно, чтобы $\sum_{k = -\infty }^{\infty }\left|A_{k}\right|^{2} < \infty$, где $\left|A\right|: = \left(\operatorname {Tr} A A^{*}\right)^{1 / 2} = \left(\sum_{j, q = 1}^{m}\left|a_{j q}\right|^{2}\right)^{1 / 2}$ для $A = \left(a_{j q}\right)_{j, q = 1}^{m}$. Найдите ковариационную функцию векторного процесса скользящего среднего.

Если $T$ — метрическое пространство с метрикой $\rho$, то $L^{2}$-процесс $X = \left\{ X(t), t \in T\right\}$ со значениями в $\mathbb {C}^{m}$ называется непрерывным в среднем квадратическом в точке $t \in T$, когда

Непрерывность в среднем квадратическом на $T$ означает выполнение свойства (92) в каждой точке $t \in T$.

Ознакомившись с приложением 4 , докажите, что справедлива следующая

Теорема 21. Функция $R = R(t), t \in \mathbb {R}^{d}$, является ковариационной функцией стационарного в широком смысле непрерывного в среднем квадратическом комплекснозначного случайного поля $X = \left\{ X(t), t \in \mathbb {R}^{d}\right\}$ тогда и только тогда, когда

где $G$ — некоторая конечная неотрицательная мера на $\mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{d}\right)$. При этом мера $G$ определяется однозначно.

Аналогичным образом может быть переформулирована и теорема 4.

Комплекснозначное поле $X = \left\{ X(t), t \in \mathbb {R}^{d}\right\}$ называется изотропным, если его ковариационная функция $r(s, t)$ зависит только от $t$ и $\left\| s-t\right\|$. Если поле еще и однородно (иначе говоря, является стационарным в широком смысле), то $r(s, t) = R(\left\| s-t\right\| )$ для $s, t \in \mathbb {R}^{d}$. В этом случае для $R(t)$ можно дать иное представление.

Теорема 22 (см. [16; т. 1, с. 262]). Д.ля того чтобы функция $R = R(u)$, где $u \in \mathbb {R}_{+}$, была ковариационной функцией однородного, изотропного и непрерывного в среднем квадратическом комплекснозначного поля $X = \left\{ X(t), t \in \mathbb {R}^{d}\right\}$, необходимо и достаточно, чтобы

здесь $I_{\nu }(x)$ — бесселева функция первого рода, $\Gamma$ — гамма-функция, $Q$ — неотрицательная конечная мера на $\mathscr {B}\left(\mathbb {R}_{+}\right)$, причем $Q\left(\mathbb {R}_{+}\right) = G\left(\mathbb {R}^{m}\right) = R(0)$.

Упомянем также понятие однородного изотропного векторного поля $X$, определенного на $\mathbb {R}^{d} \times \Omega$ и принимающего значения в $\mathbb {R}^{d}$. Помимо условия (90) здесь требуется инвариантность распределений относительно группы вращений, т.е. требуется, чтобы $\left(S^{-1} X\left(S t_{1}\right), \ldots , S^{-1} X\left(S t_{n}\right)\right) \stackrel{\mathscr {P}}{ = }\left(X\left(t_{1}\right), \ldots , X\left(t_{n}\right)\right)$ для любого вращения $S$ в $\mathbb {R}^{d}$ и любых точек $t_{1}, \ldots , t_{n} \in \mathbb {R}^{d}(n \in \mathbb {N})$.

Матричную функцию множества $G(B) = \left(G_{j k}(B)\right)_{j, k = 1}^{m}$, где $B \in \mathscr {K}$ и $\mathscr {K}$ — полукольцо множеств $\Lambda$, называют неотрицательно определенной, если матрица $G(B)$ неотрицательно определена при каждом $B \in \mathscr {K}$.

Для непрерывного в среднем квадратическом однородного случайного поля $X = \left\{ X(t), t \in \mathbb {R}^{d}\right\}$ со значениями в $\mathbb {C}^{m}$ и вектора $\tau \in \mathbb {C}^{m}$ введем скалярное поле $Y = \left\{ Y(t) = \left\langle X(t), \tau \right\rangle , t \in \mathbb {R}^{d}\right\}$. Можно показать, что это поле также является однородным и непрерывным в среднем квадратическом. Пользуясь этим свойством, докажите, что верна