Банк задач по математике

Задача IV.1

Пусть случайная величина $\xi \in L^{2}(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$ и $\sigma$ -алгебра $\mathscr {A} \subset \mathscr {F}$ . Обозначим $\operatorname {Pr}_{H}$ — оператор ортогонального проектирования на подпространство $H = L^{2}(\Omega , \mathscr {A}, \mathbb {P}) \subset L^{2}(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$ . Покажите, что $\mathbb {E}\left[\xi \mid \mathscr {A}\right] = \operatorname {Pr}_{H} \xi$ .

Заметим, что поскольку пространство $L^{2}(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$ плотно в пространстве $L^{1}(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$ , оператор $\operatorname {Pr}_{H}$ можно продолжить по непрерывности на $L^{1}(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$ .

?

Задача IV.2

Пусть $\left(\mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — некоторая фильтрация. Докажите, что $\tau$ — опциональный момент относительно фильтрации $\left(\mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ тогда и только тогда, когда $\tau$ — марковский момент относительно фильтрации $(\mathscr {F} t+)_{t \geqslant 0}$ , где $\mathscr {F}_{t+} = \bigcap_{s > t} \mathscr {F}_{s}$ , $t \geqslant 0$ .

Введем $\sigma$ -алгебру

\mathscr {F}_{\tau +} = \left\{ A \in \mathscr {F}: A \cap \left\{ \tau < t\right\} \in \mathscr {F}_{t} \text{ при каждом } t \geqslant 0\right\} .

?

Задача IV.3

Можно ли утверждать, что в соотношении (51) $\sigma$ -алгебра $\mathscr {G} = \mathscr {F} \sigma_{+}$ ?

Напомним контекст соотношения (51). В лемме 7 основного текста главы утверждается: пусть $X = \left(X_{t}, \mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — мартингал с п. н. непрерывными справа траекториями, а $\sigma$ и $\tau$ — опциональные моменты (относительно фильтрации $\mathbb {F}$ ) такие, что $\sigma \leqslant \tau \leqslant c$ п. н., где $c$ — положительная константа; тогда $\mathbb {E}\left[X_{\tau }\right] = \mathbb {E}\left[X_{\sigma }\right]$ . В доказательстве этой леммы вводится дискретное приближение момента $\sigma$ сверху по диадическим точкам, $\sigma (n): = 2^{-n}\left[2^{n} \sigma +1\right]$ , $n \geqslant 1$ , и полагается

\mathscr {G} = \bigcap _{n = 1}^{\infty } \mathscr {F}_{\sigma (n)} .

Именно про эту $\sigma$ -алгебру $\mathscr {G}$ и идет речь в вопросе задачи (ср. определение $\mathscr {F}_{\tau +}$ из упражнения 2).

?

Задача IV.4

Пусть $\left\{ \xi_{n}\right\}_{n \geqslant 1}$ — последовательность интегрируемых случайных величин, $\mathscr {F}_{n} = \sigma \left\{ \xi_{1}, \ldots , \xi_{n}\right\} , X_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \xi_{k}, n \in \mathbb {N}$ . Докажите, что $\left(X_{n}, \mathscr {F}_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ — мартингал тогда и только тогда, когда

\mathbb {E}\left[\xi _{n+1} f_{n}\left(\xi _{1}, \ldots , \xi _{n}\right)\right] = 0

для любой ограниченной борелевской функции $f_{n}: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}$ и всех $n \geqslant 1$ .

Интересно сопоставить это утверждение со следующим просто проверяемым фактом: действительные случайные величины (необязательно интегрируемые) $\xi_{k}$ , $k \geqslant 1$ , независимы тогда и только тогда, когда

\operatorname {cov}\left(g\left(\xi _{n+1}\right), f_{n}\left(\xi _{1}, \ldots , \xi _{n}\right)\right) = 0

для всех $n$ и любых ограниченных борелевских функций $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} u f_{n}: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}$ .

?

Задача IV.5

Докажите, что если $\left(\xi_{n}, \mathscr {F}_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ — последовательность независимых центрированных величин и $\mathscr {F}_{n} = \sigma \left\{ \xi_{1}, \ldots , \xi_{n}\right\} , n \geqslant 1$ , то процесс $\left(S_{n, m}, \mathscr {F}_{n}\right)_{n \geqslant m}$ вида

S_{n, m} = \sum _{1 \leqslant i_{1} < \cdots < i_{m} \leqslant n} \xi _{i_{1}} \cdots \xi _{i_{m}}, \quad n \geqslant m

является мартингалом с нулевым средним для каждого $m \geqslant 1$ .

?

Задача IV.6

Пусть урна содержит $a$ белых и $b$ черных шаров. Из урны последовательно наудачу вынимается один шар, который возвращается обратно с добавлением $d$ шаров того же цвета, что и у вынутого. Обозначим $X_{n}(n \geqslant 1)$ — отношение числа белых шаров к общему числу шаров в урне после $n$ -го вынимания шара и возвращения его в урну вместе с $d$ шарами соответствующего цвета $\left(X_{0}: = a /(a+b)\right)$ . Докажите, что $X = \left\{ X_{n}, n \geqslant 0\right\}$ — мартингал.

?

Задача IV.7

Пусть $(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P}) = ([0,1], \mathscr {B}[0,1]$ , mes $)$ , mes — мера Лебега. Пусть $\left\{ T_{n}, n \geqslant 1\right\}$ — последовательность измельчающихся разбиений отрезка $[0,1]$ , т. е. $T_{n}$ состоит из точек $0 = t_{n, 0} < \cdots < t_{n, m_{n}} = 1$ и $T_{n} \subset T_{n+1}, n \geqslant 1, m_{n} \geqslant 2$ . Введем $\sigma$ -алгебры $\mathscr {F}_{n}$ на $[0,1]$ , порожденные множествами $\Delta_{n, 1} = \left[0, t_{n, 0}\right]$ , $\Delta_{n, k} = \left(t_{n, k-1}, t_{n, k}\right], 2 \leqslant k \leqslant m_{n}, n \geqslant 1$ . Для функции $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ положим

X_{n}(\omega ) = \sum _{k = 1}^{m_{n}} \frac{f\left(t_{n, k}\right)-f\left(t_{n, k-1}\right)}{t_{n, k}-t_{n, k-1}} \mathbf{1}_{\Delta _{n, k}}(\omega ), \quad n \geqslant 1

Докажите, что $\left(X_{n}, \mathscr {F}_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ — мартингал.

?

Задача IV.8

Пусть в условиях предыдущего упражнения функция $f$ удовлетворяет условию Липшица, т. е. $\left|f(x)-f(y)\right| \leqslant L\left|x-y\right|$ для $x, y \in [0,1]$ и некоторой константы $L > 0$ . Пусть разбиения $T_{n}$ таковы, что $\max_{0 \leqslant k \leqslant m_{n}}\left(t_{n, k}-t_{n, k-1}\right) \rightarrow 0$ , $n \rightarrow \infty$ . Докажите, что $\bigvee_{n = 1}^{\infty } \mathscr {F}_{n}\left(: = \sigma \left\{ \mathscr {F}_{n}, n \in \mathbb {N}\right\} \right) = \mathscr {B}([0,1])$ и семейство $\left\{ X_{n}, n \geqslant 1\right\}$ равномерно интегрируемо. Тогда по теореме 7 величины $X_{n} \rightarrow X_{\infty }$ п. н. и в $L^{1}$ при $n \rightarrow \infty$ , где $X_{\infty } \in \mathscr {B}([0,1]) \mid \mathscr {B}(\mathbb {R})$ . Следовательно, для любого $[a, b] \subset [0,1]$

\int _{a}^{b} X_{n} d t = \mathbb {E}\left[X_{n} \mathbf{1}_{[a, b]}\right] \rightarrow \mathbb {E}\left[X_{\infty } \mathbf{1}_{[a, b]}\right] = \int _{a}^{b} X_{\infty } d t, \quad n \rightarrow \infty

Поскольку также $\int_{a}^{b} X_{n} d t \rightarrow f(b)-f(a)$ при $n \rightarrow \infty$ (объясните, почему), то вместе с (63) отсюда заключаем, что функция $f$ является абсолютно непрерывной и ее плотность (по мере Лебега) может быть найдена как предел величин $X_{n}, n \rightarrow \infty$ .

?

Задача IV.9

Пусть $\left\{ X_{n}\right\}_{n \geqslant 1}$ — последовательность действительных случайных величин, заданных на вероятностном пространстве $(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$ , и пусть $f_{n}^{0}\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)$ и $f_{n}^{1}\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)$ — некоторые плотности вероятностей относительно меры Лебега в $\left(\mathbb {R}^{n}, \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{n}\right)\right), n \geqslant 1$ . Рассмотрим отношение правдоподобия

L_{n}(\omega ) = \frac{f_{n}^{1}\left(X_{1}(\omega ), \ldots , X_{n}(\omega )\right)}{f_{n}^{0}\left(X_{1}(\omega ), \ldots , X_{n}(\omega )\right)}, \quad n \geqslant 1

считая, что $f_{n}^{1}(z) = 0$ , если $f_{n}^{0}(z) = 0$ (тогда $L_{n}(z): = 0$ ), $z \in \mathbb {R}^{n}$ . Покажите, что $\left(L_{n}, \mathscr {F}_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ — мартингал, где $\mathscr {F}_{n} = \sigma \left\{ X_{1}, \ldots , X_{n}\right\} , n \geqslant 1$ .

?

Задача IV.10

Пусть $T \subset \mathbb {R}_{+}$ и $\left(X_{t}, \mathscr {F}_{t}\right)_{t \in T}$ — комплекснозначный мартингал, т.е. (( $\operatorname {Re} X_{t}$ , $\left.\left.\operatorname {Im} X_{t}\right), \mathscr {F}_{t}\right)_{t \in T}$ — мартингал со значениями в $\mathbb {R}^{2}$ , каж дая компонента которого (по определению) есть мартингал. Тогда $\mathbb {E}\left[X_{t} \mid \mathscr {F}_{s}\right] = X_{s}$ п. н. для $s \leqslant t$ , $s, t \in T$ (здесь $\mathbb {E}\left[Y+i Z \mid \mathscr {A}\right]: = \mathbb {E}\left[Y \mid \mathscr {A}\right]+i \mathbb {E}\left[Z \mid \mathscr {A}\right]$ для интегрируемых $Y, Z$ и $\sigma$ -алгебры $\mathscr {A} \subset \mathscr {F})$ . Пусть $\mathbb {E}\left[\left|X_{t}\right|^{2}\right] < \infty$ для $t \in T$ . Докажите, что $X = \left\{ X_{t}, t \in T\right\}$ — процесс с некоррелированными приращениями, т.е. $\mathbb {E}\left[(X_{t}-X_{s})\left(\overline{X_{u}-X_{v}}\right)\right] = 0$ для $v < u \leqslant s < t, v, u, s, t \in T$ . (Тем самым, квадратично интегрируемые мартингалы занимают промежуточное положение между процессами с независимыми приращениями, имеющими постоянное среднее значение, и процессами с некоррелированными приращениями.)

?

Задача IV.11

Пусть $\left\{ \xi_{n}\right\}_{n \geqslant 1}$ — последовательность независимых действительных случайных величин. Положим $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \xi_{k}, n \geqslant 1$ . Мартингальными методами докажите, что следующие утверждения относительно ряда $\sum_{k = 1}^{\infty } \xi_{k}$ эквивалентны:

ряд сходится п.н.,
ряд сходится по вероятности,
ряд сходится по распределению.

Заметим, что по закону "0 или 1" Колмогорова (теорема 6 главы III) данный ряд сходится или расходится с вероятностью единица.

?

Задача IV.12

Пусть $Y = \left\{ Y_{t}, t \in T\right\} , T \subset \mathbb {R}$ , - (комплекснозначный) процесс с независимыми приращениями такой, что $\mathbb {E}\left[\left|Y_{t}\right|^{2}\right] < \infty , t \in T$ . Докажите, что существует неслучайная функция $h: T \rightarrow \mathbb {R}$ такая, что $X_{t} = \left|Y_{t}\right|^{2}-h(t)$ есть мартингал относительно фильтрации $\mathscr {F}_{t} = \sigma \left\{ Y_{s}, s \leqslant t, s \in T\right\} = \sigma \left\{ \operatorname {Re} Y_{s}, \operatorname {Im} Y_{s}, s \leqslant t, s \in T\right\} , t \in T$ , тогда и только тогда, когда

\mathbb {E}\left[\left|Y_{t}-Y_{s}\right|^{2}\right] = h(t)-h(s), \quad s \leqslant t, \quad s, t \in T

Пусть $W = \left\{ W_{t}, t \geqslant 0\right\}$ — броуновское движение с естественной фильтрацией $\mathbb {F} = \left(\mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ .

?

Задача IV.13

Найдите все $\alpha , \beta \in \mathbb {R}$ , для которых процесс

X = \left\{ \mathrm{exp}\left(\alpha W_{t}+\beta t\right), t \geqslant 0\right\}

является мартингалом.

?

Задача IV.14

Пусть $\tau$ — момент остановки (относительно фильтрации $\mathbb {F}$ ). Докажите, что $\left(W_{t \wedge \tau }, \mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — мартингал.

?

Задача IV.15

Для $\alpha , x \in \mathbb {R}$ и $t \geqslant 0$ определим функцию

h(\alpha , x, t) = \mathrm{exp}\left(\alpha x-\alpha ^{2} t / 2\right) .

Положим

h_{k}(x, t) = \left.\frac{\partial ^{k} h(\alpha , x, t)}{\partial \alpha ^{k}}\right|_{\alpha = 0}, \quad k \geqslant 1

Докажите, что $\left(h_{k}\left(W_{t}, t\right), \mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — мартингал при каждом $k \geqslant 1$ (заметим также, что в силу упражнения 13 процесс $\left\{ h\left(\alpha , W_{t}, t\right), t \geqslant 0\right\}$ — мартингал при каждом $\alpha \in \mathbb {R}$ ). Таким образом, процессы $W_{t}, W_{t}^{2}-t, W_{t}^{3}-3 t W_{t}$ , $W_{t}^{4}-6 t W_{t}^{2}+3 t^{2}, \ldots$ — мартингалы $(t \geqslant 0)$ .

?

Задача IV.16

Докажите, что $\mathbb {E}\left[\tau_{a}^{2}\right] = 5 a^{4} / 3$ для $\tau_{a} = \inf \left\{ t \geqslant 0:\left|W_{t}\right| = a\right\} , a > 0$ .

?

Задача IV.17

Пусть $X_{t} = \gamma t+\sigma W_{t}, t \geqslant 0$ , и $R_{a} = \inf \left\{ t: X_{t} = a\right\}$ . Докажите, что если $\gamma > 0, \sigma \neq 0$ и $a < 0$ , то

\mathbb {P}\left(R_{a} < \infty \right) = e^{2 \gamma a / \sigma ^{2}}

?

Задача IV.18

(а)(б)

Выполнено ли условие (9), если

?

(а)

$Y = \left\{ Y_{t}, t \geqslant 0\right\}$ — винеровский процесс,

(б)

$Y = \left\{ Y_{t}, t \geqslant 0\right\}$ — пуассоновский процесс?

Напомним условие (9) (из леммы 1 основного текста главы). Пусть $Y = \left\{ Y_{t}, t \geqslant 0\right\}$ — действительный процесс с независимыми приращениями, для которого при некотором $\alpha \in \mathbb {R}$ и всех $s, t \geqslant 0$ выполнено $\mathbb {E}\left[e^{\alpha Y_{t}}\right] < \infty$ и $\mathbb {E}\left[e^{\alpha \left(Y_{t}-Y_{s}\right)}\right] < \infty$ . Положим $\mathscr {F}_{t} = \sigma \left\{ Y_{s}, s \leqslant t\right\}$ и $Z_{t} = e^{\alpha Y_{t}} / \mathbb {E}\left[e^{\alpha Y_{t}}\right]$ , $t \geqslant 0$ ; тогда $Z = \left\{ Z_{t}, t \geqslant 0\right\}$ — мартингал относительно $\left(\mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ тогда и только тогда, когда для всех $s \leqslant t$ справедливо

\mathbb {E}\left[\frac{e^{\alpha Y_{t}}}{e^{\alpha Y_{s}}}\right] = \frac{\mathbb {E}\left[e^{\alpha Y_{t}}\right]}{\mathbb {E}\left[e^{\alpha Y_{s}}\right]} .

Именно это соотношение и есть условие (9).

Задача IV.19

(см. [12; с. 166]). Пусть $W = \left\{ W_{t}, t \geqslant 0\right\}$ — $m$ -мерное броуновское движение и $f(x)$ — непрерывная супергармоническая функция в $\mathbb {R}^{m}$ , т.е. $f(x)$ для любого $x \in \mathbb {R}^{m}$ не меньше интеграла от этой функции по любой сфере с центром в точке $x$ . Докажите, что процесс $X = \left\{ X_{t} = f\left(W_{t}\right), t \geqslant 0\right\}$ является супермартингалом относительно естественной фильтрации броуновского движения, если $\mathbb {E}\left[\left|X_{t}\right|\right] < \infty$ при всех $t \geqslant 0$ .

В связи с теоремой 6 представляет интерес следующее упражнение.

?

Задача IV.20

(разложение Крикеберга). Мартингал $X = \left(X_{n}, \mathscr {F}_{n}\right)_{n \geqslant 0}$ обладает свойством $\sup \mathbb {E}\left[\left|X_{n}\right|\right] < \infty$ тогда и только тогда, когда существуют неотрицательные мартингалы $Y = \left(Y_{n}, \mathscr {F}_{n}\right)_{n \geqslant 0}$ и $Z = \left(Z_{n}, \mathscr {F}_{n}\right)_{n \geqslant 0}$ такие, что $X_{n} = Y_{n}-Z_{n}, n \geqslant 0$ .

?

Задача IV.21

(разложение Рисса). Пусть $X = \left(X_{n}, \mathscr {F}_{n}\right)_{n \geqslant 0}$ — равномерно интегрируемый супермартингал. Тогда существует представление вида $X_{n} = M_{n}+R_{n}$ , где $M = \left(M_{n}, \mathscr {F}_{n}\right)_{n \geqslant 0}$ — равномерно интегрируемый мартингал и $R = \left(R_{n}, \mathscr {F}_{n}\right)_{n \geqslant 0}$ — потенииал, т.е. равномерно интегрируемый неотрицательный супермартингал такой, что $R_{n} \rightarrow 0$ п. н. при $n \rightarrow \infty$ .

?

Задача IV.22

Пусть $h: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}_{+}$ - неубывающая выпуклая функция и $\left(X_{n}, \mathscr {F}_{n}\right)_{1 \leqslant n \leqslant N}$ — субмартингал. Покажите, что тогда для любых $u \in \mathbb {R}$ и $t > 0$

\mathbb {P}\left(\max _{1 \leqslant n \leqslant N} X_{n} \geqslant u\right) \leqslant \mathbb {E}\left[h\left(t X_{N}\right)\right] / h(t u) .

?

Задача IV.23

Пусть $\left(X_{n}, \mathscr {F}_{n}\right)_{1 \leqslant n \leqslant N}$ — мартингал или неотрицательный субмартингал. Докажите, что

\mathbb {E}\left[\max _{1 \leqslant n \leqslant N}\left|X_{n}\right|\right] \leqslant \frac{e}{e-1}\left(1+\mathbb {E}\left[\left|X_{N}\right| \log ^{+}\left|X_{N}\right|\right]\right)

где $\log^{+} x = \log x$ для $x \geqslant 1$ и $\log^{+} x = 0$ для $x < 1$ .

Для сумм независимых слагаемых оценка (66) может быть несколько уточнена, как показывает следующий результат.

Теорема 10 (Дуб). Пусть $\xi_{1}, \ldots , \xi_{N}$ — независимые действительные случайные величины с $\mathbb {E}\left[\xi_{k}\right] = 0, k = 1, \ldots , N$ . Положим $X_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \xi_{k}, n = 1, \ldots , N$ . Тогда

\mathbb {E}\left[\max _{1 \leqslant n \leqslant N}\left|X_{n}\right|\right] \leqslant 8 \mathbb {E}\left[\left|X_{N}\right|\right]

Приведем несколько результатов Буркхольдера, Дэвиса и Ганди, обобщающих классические неравенства Хинчина и Марцинкевича-Зигмунда, известные для сумм независимых слагаемых. Подробнее со всеми этими неравенствами можно ознакомиться по обзору [51].

Теорема 11 (Буркхольдер). Пусть $X = \left(X_{n}, \mathscr {F}_{n}\right)_{n \geqslant 0}$ — мартингал с $X_{0} = 0$ . Тогда для каждого $p > 1$ найдутся константы $A_{p}$ и $B_{p}$ , не зависящие от $X$ , такие, что

A_{p}\left\| \sqrt{[X]_{n}}\right\| _{p} \leqslant \left\| X_{n}\right\| _{p} \leqslant B_{p}\left\| \sqrt{[X]_{n}}\right\| _{p}, \quad n \geqslant 0

где $[X]_{n}$ -квадратическая вариация $X$ (см. (22)). B (68) можно взять

A_{p} = \left[18 p^{3 / 2} /(p-1)\right]^{-1}, \quad B_{p} = 18 p^{3 / 2}(p-1)^{1 / 2}

Кроме того (в силу теоремы 5), для $X_{n}^{*} = \max_{0 \leqslant k \leqslant n}\left|X_{k}\right|$ при $p > 1$

A_{p}^{*}\left\| \sqrt{[X]_{n}}\right\| _{p} \leqslant \left\| X_{n}^{*}\right\| _{p} \leqslant B_{p}^{*}\left\| \sqrt{[X]_{n}}\right\| _{p}

где $A_{p}^{*} = A_{p}, B_{p}^{*} = (p /(p-1)) B_{p}$ . (См., например, $[85$ ; т. 2, с. 678])

?

Задача IV.24

Постройте пример (см. [85; т. 2, с. 678]), показывающий, что при $p = 1$ двойное неравенство (68) не обязано выполняться.

Однако как показал Б. Дэвис, неравенство (69) остается, тем не менее, справедливым при $p = 1$ (с некоторыми "универсальными" константами $A_{1}^{*}, B_{1}^{*}$ , не зависящими от мартингала $X$ ).

Для моментов более общего вида, чем степенные, справедлива

Теорема 12 (Буркхольдер-Дэвис-Ганди; см., например, [106; с. 425]). Пусть $\Phi :[0, \infty ] \rightarrow [0, \infty ]$ — неубывающая функция, конечная и выпуклая на $[0, \infty )$ , такая, что

\begin{gathered} \Phi (2 t) \leqslant c \Phi (t) \quad \text{ для всех } t > 0 \quad \text{ и некоторого } \quad c > 0 \\ \Phi (0) = 0, \quad \Phi (\infty -) = \Phi (\infty ) . \end{gathered}

Тогда найдутся константы $0 < A < B < \infty$ , зависящие только от с, такие, что для любого мартингала $X = \left(X_{n}, \mathscr {F}_{n}\right)_{n \geqslant 1}$

A \mathbb {E}\left[\Phi \left(S_{\infty }\right)\right] \leqslant \mathbb {E}\left[\Phi \left(X^{*}\right)\right] \leqslant B \mathbb {E}\left[\Phi \left(S_{\infty }\right)\right]

где $X^{*} = \sup_{n}\left|X_{n}\right|, S_{\infty } = \left(\sum_{k = 1}^{\infty }\left(\Delta X_{k}\right)^{2}\right)^{1 / 2}, \Delta X_{k} = X_{k}-X_{k-1}, X_{0} = 0, k \in \mathbb {N}$ .

?

Задача IV.25

Пусть $W = \left\{ W_{t}, t \geqslant 0\right\}$ — $m$ -мерное броуновское движение. Докажите, что $\left(\left\| W_{t}\right\| , \mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — субмартингал (с п.н. непрерывными траекториями), где $\left\| \cdot \right\|$ — евклидова норма в $\mathbb {R}^{m}$ . Используя упражнение 22 (с функцией $h(x) = e^{t x}$ и подходящим значением $t > 0$ ), докажите, что для каждого $s > 0$ и всех $x > \sqrt{m s}$ справедливо неравенство

\mathbb {P}\left(\sup _{t \in [0, s]}\left\| W_{t}\right\| \geqslant x\right) \leqslant \left(\frac{s d}{e x^{2}}\right)^{-m / 2} e^{-x^{2} /(2 s)}

(Процесс $\left(\left\| W_{t}\right\| , \mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ называется процессом Бесселя размерности $m$ . )

?

Задача IV.26

(см. [12; с. 182]). Пусть $W = \left\{ W_{t}, t \geqslant 0\right\}$ — $m$ -мерное броуновское движение, где $m \geqslant 3$ . Докажите, что $\left\| W_{t}\right\| \rightarrow \infty$ п. н. при $t \rightarrow \infty$ . Докажите, что с вероятностью 1 процесс $W$ не вернется в точку 0 ни за какое конечное время. Объясните, почему для $m = 1$ приведенные утверждения неверны. Как выглядит соответствующий результат в случае $m = 2$ ?

Рядважных результатов стохастического анализа может быть получен путем сочетания методов теории мартингалов и идеи обращения времени.

Определение 7. Пусть $\left(\mathscr {G}_{t}\right)_{t \in T}$ — убывающее семейство $\sigma$ -алгебр в $\mathscr {F}$ , т.е. $\mathscr {G}_{t} \subset \mathscr {G}_{s} \subset \mathscr {F}$ при $s < t ; s, t \in T \subset \mathbb {R}$ . Пусть $X = \left\{ X_{t}, t \in T\right\}$ — действительный случайный процесс, согласованный с фильтрацией $\left(\mathscr {G}_{t}\right)_{t \in T}$ . Процесс $\overleftarrow {X} = \left(X_{t}, \mathscr {G}_{t}\right)_{t \in T}$ называется обращенным мартингалом (обращенным субмартингалом, обращенным супермартингалом), если (обращенный) процесс $\left(X_{u}, \mathscr {G}_{u}\right)_{u \in U}$ при $U = -T = \left\{ -t, t \in T\right\}$ является мартингалом (субмартингалом, супермартингалом).

В частности, стохастическая последовательность $\overleftarrow {X} = \left(X_{n}, \mathscr {G}_{n}\right)_{n \geqslant 0}$ — обращенный мартингал, если $\mathbb {E}\left[X_{n} \mid \mathscr {G}_{n+1}\right] = X_{n+1}, n \geqslant 0$ . Записав в последнем равенстве вместо " = " знак " $\geqslant$ ", получим определение обращенного субмартингала (при " $\leqslant "$ обращенного супермартингала). Понятие обращенного мартингала распространяется и на процессы со значениями в $\mathbb {R}^{m}(m \geqslant 1)$ .

?

Задача IV.27

Пусть $\xi_{1}, \ldots , \xi_{N}$ — независимые одинаково распределенные векторы в $\mathbb {R}^{m} (m \geqslant 1)$ с $\mathbb {E}\left[\left\| \xi_{1}\right\| \right] < \infty$ , где $\left\| \cdot \right\|$ — евклидова норма. Положим $X_{n} = (1 / n) \sum_{k = 1}^{n} \xi_{k}, \mathscr {G}_{n, N} = \sigma \left\{ X_{n}, \ldots , X_{N}\right\}$ . Докажите, что $\left(X_{n}, \mathscr {G}_{n, N}\right)_{1 \leqslant n \leqslant N}$ — обращенный мартингал.

Определение 8. Последовательность действительных случайных величин $\left(\xi_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ назьвается перестановочной, если $\left(\xi_{i_{1}}, \ldots , \xi_{i_{N}}\right) \stackrel{\mathscr {D}}{ = }\left(\xi_{1}, \ldots , \xi_{N}\right)$ для каждого $N \geqslant 1$ и любой перестановки $\left(i_{1}, \ldots , i_{N}\right)$ множества $\left\{ 1, \ldots , N\right\}$ .

Пусть $m \geqslant 1$ и $g: \mathbb {R}^{m} \rightarrow \mathbb {R}$ есть борелевская функция. Рассмотрим последовательность $U$ -статистик вида

U_{n, m} = \left(C_{n}^{m}\right)^{-1} \sum _{1 \leqslant i_{1} < \cdots < i_{m} \leqslant n} g\left(\xi _{i_{1}}, \ldots , \xi _{i_{m}}\right), \quad n \geqslant m

где $C_{n}^{m} = n ! /(m !(n-m) !)$ . Положим $\mathscr {G}_{n, m} = \sigma \left\{ U_{k, m}, k \geqslant n\right\} , n \geqslant m$ .

?

Задача IV.28

Докажите, что для последовательности $U$ -статистик, введенной выше, $\left(U_{n, m}, \mathscr {G}_{n, m}\right)_{n \geqslant m}$ есть обращенный мартингал.

Следующий результат является аналогом теоремы 6.

Теорема 13. Пусть $\left(X_{n}, \mathscr {G}_{n}\right)_{n \geqslant 0}$ — обращенный субмартингал. Тогда п.н. существует $\lim_{n \rightarrow \infty } X_{n} = X_{\infty } \in [-\infty , \infty )$ . Если, кроме того, существует

\lim _{n \rightarrow \infty } \mathbb {E}\left[X_{n}\right] = c > -\infty

то $X_{\infty } \in (-\infty , \infty )$ и $X_{n} \rightarrow X_{\infty }$ в пространстве $L^{1}(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$ при $n \rightarrow \infty$ . Если $X_{n} \geqslant 0$ п.н. при $n \geqslant 0$ и $\mathbb {E}\left[X_{0}^{p}\right] < \infty$ для некоторого $p \in (1, \infty )$ , то $X_{n} \rightarrow X_{\infty }$ в $L^{p}(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$ при $n \rightarrow \infty$ .

Доказательство. Для непустого интервала $(a, b)$ и $N \geqslant 1$ пусть $\beta_{N}(a, b)$ обозначает число пересечений "снизу вверх" полосы ( $a, b$ ) (см. выше § 13 ) мартингалом $\left(X_{N}, \mathscr {G}_{N}\right), \ldots ,\left(X_{0}, \mathscr {G}_{0}\right)$ . Тогда $\mathbb {E}\left[\beta_{N}(a, b)\right] \leqslant \mathbb {E}\left[(X_{0}-a)^{+}\right] /(b-a)$ по лемме 6. Следовательно,

\beta _{\infty }(a, b): = \lim _{N \rightarrow \infty } \beta _{N}(a, b) < \infty \text{ п.н., }

и так же, как при доказательстве теоремы 6 , заключаем, что п. н. существует $X_{\infty } = \lim_{n \rightarrow \infty } X_{n}$ . Теперь заметим, что и $\left(X_{n}^{+}, \mathscr {G}_{n}\right)_{n \geqslant 0}$ является обращенным субмартингалом. Поэтому

\mathbb {E}\left[\lim _{n \rightarrow \infty } X_{n}^{+}\right] \leqslant \liminf _{n \rightarrow \infty } \mathbb {E}\left[X_{n}^{+}\right] \leqslant \mathbb {E}\left[X_{0}^{+}\right] < \infty

Отсюда видим, что $\mathbb {P}\left(X_{\infty } = \infty \right) = 0$ . Первое утверждение теоремы доказано.

Пусть выполнено условие (71). Поскольку при $n \geqslant 0$ выполнено $\mathbb {E}\left[X_{n}\right] \geqslant \mathbb {E}\left[X_{n+1}\right]$ и $\mathbb {E}\left[X_{n}^{+}\right] \geqslant \mathbb {E}\left[X_{n+1}^{+}\right]$ , то

\mathbb {E}\left[\left|X_{n}\right|\right] = 2 \mathbb {E}\left[X_{n}^{+}\right]-\mathbb {E}\left[X_{n}\right] \leqslant 2 \mathbb {E}\left[X_{n}^{+}\right]-c \leqslant 2 \mathbb {E}\left[X_{0}^{+}\right]-c, \quad n \geqslant 0

Поэтому $\sup_{n} \mathbb {E}\left[\left|X_{n}\right|\right] = c_{0} < \infty$ .

Докажем равномерную интегрируемость семейства $\left\{ X_{n}, n \geqslant 0\right\}$ . Для произвольного $\varepsilon > 0$ выберем $m = m(\varepsilon ) \in \mathbb {N}$ так, чтобы $c-\varepsilon < \mathbb {E}\left[X_{n}\right] < c+\varepsilon$ при $n \geqslant m$ . Тогда для любого $\alpha > 0$ и $n \geqslant m$ (с учетом аналога (1) для субмартингала), получаем

\begin{aligned} \mathbb {E}\left[\left|X_{n}\right| \mathbf{1}\left\{ \left|X_{n}\right| \geqslant \alpha \right\} \right] & = \mathbb {E}\left[X_{n} \mathbf{1}\left\{ X_{n} \geqslant \alpha \right\} \right]-\mathbb {E}\left[X_{n} \mathbf{1}\left\{ X_{n} \leqslant -\alpha \right\} \right] = \\ & = \mathbb {E}\left[X_{n} \mathbf{1}\left\{ X_{n} \geqslant \alpha \right\} \right]+\mathbb {E}\left[X_{n} \mathbf{1}\left\{ X_{n} > -\alpha \right\} \right]-\mathbb {E}\left[X_{n}\right] \leqslant \\ & \leqslant \mathbb {E}\left[X_{m} \mathbf{1}\left\{ X_{n} \geqslant \alpha \right\} \right]+\mathbb {E}\left[X_{m} \mathbf{1}\left\{ X_{n} > -\alpha \right\} \right]-c+\varepsilon \leqslant \\ & \leqslant \mathbb {E}\left[\left|X_{m}\right| \mathbf{1}\left\{ \left|X_{n}\right| \geqslant \alpha \right\} \right]+\mathbb {E}\left[X_{m}\right]-c+\varepsilon \leqslant \\ & \leqslant \mathbb {E}\left[\left|X_{m}\right| \mathbf{1}\left\{ \left|X_{n}\right| \geqslant \alpha \right\} \right]+2 \varepsilon . \end{aligned}

Для любого $\gamma > 0$

\mathbb {E}\left[\left|X_{m}\right| \mathbf{1}\left\{ \left|X_{n}\right| \geqslant \alpha \right\} \right] \leqslant \mathbb {E}\left[\left|X_{m}\right| \mathbf{1}\left\{ \left|X_{m}\right| \geqslant \gamma \right\} \right]+\gamma \mathbb {P}\left(\left|X_{n}\right| \geqslant \alpha \right)

В силу неравенства Чебышёва и доказанной оценки $\sup \mathbb {E}\left[\left|X_{n}\right|\right] \leqslant c_{0}$ при всех $n \in \mathbb {N}$ имеем

\mathbb {P}\left(\left|X_{n}\right| \geqslant \alpha \right) \leqslant \alpha ^{-1} \mathbb {E}\left[\left|X_{n}\right|\right] \leqslant c_{0} \alpha ^{-1}

Выберем $\gamma = \gamma (\varepsilon ) > 0$ так, чтобы $\mathbb {E}\left[\left|X_{m}\right| \mathbf{1}\left\{ \left|X_{m}\right| \geqslant \gamma \right\} \right] < \varepsilon$ . Тогда

\sup _{n \geqslant m} \mathbb {E}\left[\left|X_{n}\right| \mathbf{1}\left\{ \left|X_{n}\right| \geqslant \alpha \right\} \right] \leqslant 3 \varepsilon +\gamma c_{0} \alpha ^{-1} .

Тем самым равномерая интегрируемость семейства $\left\{ X_{n}, n \geqslant 1\right\}$ установлена. Следовательно, $X_{n} \rightarrow X_{\infty }$ в $L^{1}(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$ при $n \rightarrow \infty$ . А так как $X_{\infty } \in L^{1}$ , то, очевидно, $\left|X_{\infty }\right| < \infty$ п.н.

Если $X_{n} \geqslant 0$ п.н. для $n \geqslant 0$ и $\mathbb {E}\left[X_{0}^{p}\right] < \infty$ для некоторого $p \in (1, \infty )$ , то следствие 4 , примененное к $X_{N}, \ldots , X_{0}$ , дает оценку

\mathbb {E}\left[\max _{0 \leqslant n \leqslant N} X_{n}^{p}\right] \leqslant (p /(p-1))^{p} \mathbb {E}\left[X_{0}^{p}\right] .

Устремив $N$ к бесконечности, получаем $\mathbb {E}\left[\sup_{n \geqslant 0} X_{n}^{p}\right] < \infty$ . Как и при доказательстве следствия 4 , имеем $X_{n} \rightarrow X_{\infty }$ в $L^{p}(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$ при $n \rightarrow \infty$ .

Замечание 2. Условие (71) выполнено для любого обращенного мартингала. Обращенную версию теоремы Леви (теорема 8) содержит упражнение

?

Задача IV.29

Пусть $\mathbb {E}\left[\left|X\right|\right] < \infty$ и $\left(\mathscr {G}_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ — невозрастающая последовательность $\sigma$ -алгебр в $(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$ . Положим $\mathscr {G}_{\infty } = \bigcap_{n = 1}^{\infty } \mathscr {G}_{n}$ . Тогда при $n \rightarrow \infty$

\mathbb {E}\left[X \mid \mathscr {G}_{n}\right] \rightarrow \mathbb {E}\left[X \mid \mathscr {G}_{\infty }\right] \text{ п.н. и в } L^{1}(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P}).

Покажем, как закон 0 или 1 Колмогорова (теорема 6 главы III) может быть получен с помощью мартингальной техники.

Пусть $\left\{ \xi_{k}\right\}_{k \geqslant 1}$ — последовательность независимых векторов в $\mathbb {R}^{m}$ ,

\mathscr {F}_{n} = \sigma \left\{ \xi _{k}, k \leqslant n\right\} , \quad \mathscr {G}_{n} = \sigma \left\{ \xi _{k}, k \geqslant n\right\} , \quad n \geqslant 1.

Пусть $A \in \mathscr {G}_{\infty } = \bigcap_{n = 1}^{\infty } \mathscr {G}_{n}$ . Тогда, поскольку $A$ независит от $\mathscr {F}_{n}$ , то $\mathbb {E}\left[\mathbf{1}_{A}\right] = \mathbb {E}\left[\mathbf{1}_{A} \mid \mathscr {F}_{n}\right]$ . В силу (45) имеем $\mathbb {E}\left[\mathbf{1}_{A} \mid \mathscr {F}_{n}\right] \rightarrow \mathbb {E}\left[\mathbf{1}_{A} \mid \mathscr {F}_{\infty }\right]$ п. н. при $n \rightarrow \infty$ . Но $\mathscr {G}_{\infty } \subset \mathscr {F}_{\infty }$ , поэтому $A \in \mathscr {F}_{\infty }$ и, значит, $\mathbb {E}\left[\mathbf{1}_{A} \mid \mathscr {F}_{\infty }\right] = \mathbf{1}_{A}$ п. н. Итак, при $n \rightarrow \infty$

\mathbb {P}\left(A\right) = \mathbb {E}\left[\mathbf{1}_{A}\right] = \mathbb {E}\left[\mathbf{1}_{A} \mid \mathscr {F}_{n}\right] \rightarrow \mathbb {E}\left[\mathbf{1}_{A} \mid \mathscr {F}_{\infty }\right] = \mathbf{1}_{A} \text{ п.н. }

Следовательно, $\mathbb {P}\left(A\right)$ равно 0 или 1.

Полезное обобщение закона 0 или 1 Колмогорова для независимых одинаково распределенных величин дается в приводимой ниже теореме 14. Для ее формулировки введем следующие понятия.

Определение 9. Взаимно-однозначное отображение $\pi : \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ называется конечной перестановкой (пишем $\pi \in \Pi (\mathbb {N})$ ), если $\pi (n) \neq n$ для не более чем конечного числа (зависящего от $\pi$ ) значений $n \in \mathbb {N}$ . Для последовательности действительных случайных величин $\left\{ \xi_{k}\right\}_{k} \geqslant 1$ , заданных на вероятностном пространстве $(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$ (т.е. для случайного элемента $\xi = \left(\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots \right) \in \mathscr {F} \mid \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{\infty }\right)$ ), положим $\pi \xi = \left(\xi_{\pi_{1}}, \xi_{\pi_{2}}, \ldots \right)$ , где $\pi = \left(\pi_{1}, \pi_{2}, \ldots \right)$ есть перестановка множества $\mathbb {N}$ , и определим в $\mathscr {F} \sigma$ -алгебру перестановочных событий

\mathscr {G} = \left\{ \xi ^{-1}(B), B \in \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{\infty }\right): \xi ^{-1}(B) = (\pi \xi )^{-1}(B) \text{ для всех } \pi \in \Pi (\mathbb {N})\right\}

Теорема 14 (закон 0 или 1; Хьюитт-Сэвидж). Пусть $\left\{ \xi_{k}\right\}_{k \geqslant 1}$ — последовательность независимых одинаково распределенных величин. Тогда $\sigma$ -алгебра $\mathscr {G}$ перестановочных событий вырождена, т. е. содержит только события вероятности 0 и 1.

Доказательство дано, например, в [85; т. 2, с. 533].

?

Задача IV.30

(продолжение упражнения 28). По теореме 14 получаем, что

U_{n, m} \rightarrow U_{\infty , m} \text{ п.н. при } n \rightarrow \infty \text{. }

С помощью теоремы 13 докажите, что если $\left\{ \xi_{k}\right\}_{k \geqslant 1}$ — последовательность независимых одинаково распределенных величин, то $U_{\infty , m} = \mathbb {E}\left[g\left(\xi_{1}, \ldots , \xi_{m}\right)\right]$ .

?

Задача IV.31

Пусть $\left(X_{n}, \mathscr {G}_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ — обращенный субмартингал, и пусть выполнено условие (71). Докажите, что $X_{\infty } \leqslant \mathbb {E}\left[X_{m} \mid \mathscr {G}_{\infty }\right], m \geqslant 1$ , где $\mathscr {G}_{\infty } = \bigcap_{n = 1}^{\infty } \mathscr {G}_{n}$ (напомним, что $X_{\infty } = \lim_{n \rightarrow \infty } X_{n}$ существует п. н. и в $L^{1}(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$ по теореме 13). Иначе говоря, "замкнутый" процесс $\left(X_{n}, \mathscr {G}_{n}\right)_{1 \leqslant n \leqslant \infty }$ — обращенный субмартингал. Покажите, что если $\left(X_{n}, \mathscr {G}_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ — обращенный мартингал, то $\left(X_{n}, \mathscr {G}_{n}\right)_{1 \leqslant n \leqslant \infty }$ также есть обращенный мартингал.

?

Задача IV.32

Можно ли в формулировке теоремы 13 отказаться от условия (71)?

Теорема 15 (усиленный закон больших чисел; Колмогоров). Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ независимые одинаково распределенные векторы со значениями в $\mathbb {R}^{m}$ , для которых $\mathbb {E}\left[\xi_{1}\right] = a \in \mathbb {R}^{m}$ . Тогда при $n \rightarrow \infty$

X_{n}: = \frac{1}{n} \sum _{k = 1}^{n} \xi _{k} \rightarrow a \quad \text{ п.н. и в } \quad L^{1}(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что $a = 0 \in \mathbb {R}^{m}$ . В силу упражнения 27 обращенным (векторным) мартингалом является процесс

\left(X_{n}, \mathscr {G}_{n, N}\right)_{1 \leqslant n \leqslant N} \quad \text{ с } \quad \mathscr {G}_{n, N} = \sigma \left\{ X_{n}, \ldots , X_{N}\right\} = \sigma \left\{ S_{n}, \ldots , S_{N}\right\}

где $S_{n} = \xi_{1}+\cdots +\xi_{n}, n = 1, \ldots , N$ . Итак, $X_{n} = \mathbb {E}\left[X_{1} \mid \mathscr {G}_{n, N}\right]$ п. н. для $n = 1, \ldots , N$ . Пользулсь теоремой Леви (применяемой для каждой компоненты) и полагая $N \rightarrow \infty$ , получаем, что $X_{n} = \mathbb {E}\left[X_{1} \mid \mathscr {G}_{n}\right]$ п.н., где $\mathscr {G}_{n} = \sigma \left\{ S_{k}, k \geqslant n\right\}$ . Пусть $\mathscr {G}_{\infty } = \bigcap_{n = 1}^{\infty } \mathscr {G}_{n}$ . Согласно обращенной версии теоремы Леви находим (см. (72)), что при $n \rightarrow \infty \mathbb {E}\left[X_{1} \mid \mathscr {G}_{n}\right] \rightarrow \mathbb {E}\left[X_{1} \mid \mathscr {G}_{\infty }\right]$ п.н. и в $L^{1}(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$ . По закону 0 или 1 Колмогорова $\sigma$ -алгебра $\mathscr {G}_{\infty }$ является вырожденной. Следовательно, $\mathbb {E}\left[X_{1} \mid \mathscr {G}_{\infty }\right] = \mathbb {E}\left[X_{1}\right] = 0$ . Но $X_{n} = \mathbb {E}\left[X_{1} \mid \mathscr {G}_{n}\right]$ и, значит, $X_{n} \rightarrow 0$ п.н. и в $L^{1}(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$ .

Обобщение теоремы Колмогорова на зависимые слагаемые (в частности, попарно независимые), данное Этемади, можно прочитать, например, в [101; с. 66].

Следующее утверждение содержит в себе одновременно и теорему Леви и теорему о предельном переходе под знаком условного математического ожидания (включая теорему Лебега о мажорируемой сходимости).

Теорема 16 (Блэкуэлл и Дубинс). Пусть последовательность действительных случайных величин $\left\{ X_{n}\right\}_{n \geqslant 1}$ на $(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$ такова, что $X_{n} \rightarrow X_{\infty }$ п. н. при $n \rightarrow \infty$ и $\mathbb {E}\left[\sup_{n}\left|X_{n}\right|\right] < \infty$ . Пусть $\left(\mathscr {F}_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ — семейство $\sigma$ -алгебр в $\mathscr {F}$ , которые либо возрастают, либо убывают (соответственно, $\mathscr {F}_{\infty } = \bigvee_{n = 1}^{\infty } \mathscr {F}_{n}$ или $\mathscr {F}_{\infty } = \bigcap_{n = 1}^{\infty } \mathscr {F}_{n}$ ). Тогда

\lim _{n, k \rightarrow \infty } \mathbb {E}\left[X_{n} \mid \mathscr {F}_{k}\right] = \mathbb {E}\left[X_{\infty } \mid \mathscr {F}_{\infty }\right] \quad \text{ п.н. и в } L^{1}(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P}).

Доказательство. Обозначим

U_{m} = \sup _{k, n \geqslant m} \mathbb {E}\left[X_{n} \mid \mathscr {F}_{k}\right], \quad V_{m} = \inf _{k, n \geqslant m} \mathbb {E}\left[X_{n} \mid \mathscr {F}_{k}\right], \quad m \geqslant 1.

Тогда существуют (п.н.) $U = \lim_{m \rightarrow \infty } U_{m}$ и $V = \lim_{m \rightarrow \infty } V_{m}$ (в силу монотонности последовательностей $\left\{ U_{m}\right\}$ и $\left.\left\{ V_{m}\right\} \right)$ .

Пусть $Y_{m} = \sup_{n \geqslant m} X_{n}, m \geqslant 1$ . Заметим, что $\mathbb {E}\left[\left|Y_{n}\right|\right] \leqslant \mathbb {E}\left[\sup_{n}\left|X_{n}\right|\right] < \infty , m \geqslant 1$ . Следовательно, при каждом $m \geqslant 1$ либо по теореме 8 , либо по обращенной версии теоремы Леви

\mathbb {E}\left[Y_{m} \mid \mathscr {F}_{k}\right] \rightarrow \mathbb {E}\left[Y_{m} \mid \mathscr {F}_{\infty }\right] \text{ п.н. и в } L^{1}(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P}) \text{ при } k \rightarrow \infty .

Поскольку $X_{n} \leqslant Y_{m}$ при $n \geqslant m$ , то $\mathbb {E}\left[X_{n} \mid \mathscr {F}_{k}\right] \leqslant \mathbb {E}\left[Y_{m} \mid \mathscr {F}_{k}\right]$ п.н. для $n \geqslant m, k \geqslant 1$ . Тогда в силу (75) получаем

U \leqslant \lim _{m \rightarrow \infty } \sup _{k \geqslant m} \mathbb {E}\left[Y_{m} \mid \mathscr {F}_{k}\right] \leqslant \limsup _{m \rightarrow \infty } \mathbb {E}\left[Y_{m} \mid \mathscr {F}_{\infty }\right] \text{ п.н. }

Из того, что $Y_{m} \downarrow X_{\infty }$ , имеем $\mathbb {E}\left[Y_{m} \mid \mathscr {F}_{\infty }\right] \downarrow \mathbb {E}\left[X_{\infty } \mid \mathscr {F}_{\infty }\right]$ п. н. при $m \rightarrow \infty$ . Таким образом, $U \leqslant \mathbb {E}\left[X_{\infty } \mid \mathscr {F}_{\infty }\right]$ . Аналогично показывается, что $V \geqslant \mathbb {E}\left[X_{\infty } \mid \mathscr {F}_{\infty }\right]$ . Поэтому $U = V$ п.н.

Доказательство $L^{1}$ -сходимости в (74) предлагается в качестве упражнения.

Существуют разнообразные обобщения теоремы Дуба (теорема 6) о сходимости субмартингалов и мартингалов. Так, если $M = \left(M_{n}, \mathscr {F}_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ — квадратично интегрируемый мартингал с квадратической характеристикой $\left\langle M\right\rangle = \left(\left\langle M\right\rangle_{n}, \mathscr {F}_{n-1}\right)_{n \geqslant 1}$ (см. (21)), то

\left\{ \left\langle M\right\rangle _{\infty } < \infty \right\} \subseteq \left\{ M \rightarrow \right\}

т.е. на множестве $\left\{ \left\langle M\right\rangle_{\infty } < \infty \right\}$ , где $\left\langle M\right\rangle_{\infty } = \lim_{n \rightarrow \infty }\left\langle M\right\rangle_{n}$ , последовательность $\left\{ M_{n}\right\}_{n \geqslant 1}$ сходится (п.н.) к конечному пределу. Кроме того, $M_{n} = o\left(f\left(\left\langle M\right\rangle_{n}\right)\right)$ при $n \rightarrow \infty$ для всякой функции $f: \mathbb {R}_{+} \rightarrow \mathbb {R}_{+}$ такой, что

\int _{0}^{\infty }(1+f(t))^{-2} d t < \infty

(в частности, для $f(t) = t^{1 / 2}\left(\log^{+} t\right)^{\alpha }$ , где $\left.\alpha > 1 / 2\right)$ ; подробнее см. [101; с. 53].

?

Задача IV.33

Пусть $\left(\mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — неубывающий поток $\sigma$ -алгебр (необязательно полных) в полном вероятностном пространстве $(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$ . Тогда $\overline{\mathscr {F}}_{t+} = \overline{\mathscr {F}}_{t+}$ , т.е. операции расширения классом $\mathbb {P}$ -нулевых множеств и замыкания фильтрации по непрерывности справа перестановочны (см. упражнение 2).

?

Задача IV.34

Можно ли утверждать, что для винеровского процесса и его естественной фильтрации $\left(\mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ выполнено соотношение $\mathscr {F}_{t} = \mathscr {F}_{t+}$ при всех $t \geqslant 0$ ?

Определение 10. Мартингал (субмартингал) $X = \left(X_{t}, \mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ называется удовлетворяющим обычным условиям, если фильтрация $\left(\mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ расширена классом $\mathbb {P}$ -нулевых множеств и непрерывна справа.

?

Задача IV.35

Пусть $\left(X_{t}, \mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — субмартингал (мартингал) имеющий п. н. непрерывные справа траектории. Пусть для каждого $t \in \mathbb {R}_{+}$ существует $\delta = \delta (t) > 0$ такое, что

\mathbb {E}\left[\sup _{s \in [t, t+\delta ]}\left|X_{s}\right|\right] < \infty

Покажите, что тогда $\bar{X} = \left(X_{t}, \overline{\mathscr {F}} t+\right)$ — субмартингал (мартингал) (указание: используйте теорему 16 $)$ .

Убедитесь, что условие (76) выполнено для винеровского и пуассоновского процессов (напомним, что траектории винеровского процесса п. н. непрерывны, а траектории пуассоновского процесса п. н. непрерывны справа).

В связи с двумя последними упражнениями приведем следующий фундаментальный результат о существовании у субмартингалов модификации с "хорошими" траекторными свойствами.

Теорема 17 (см. [148; с. 16]). Пусть $X = \left(X_{t}, \mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — суб.мартингал $и$ фильтрация $\left(\mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ удовлетворяет обычным условиям.

Тогда процесс $\left(X_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ имеет модификацию $\left(\tilde{X}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ с траекториями, непрерывными справа, тогда и только тогда, когда функция $t \mapsto \mathbb {E}\left[X_{t}\right]$ из $\mathbb {R}_{+}$ в $\mathbb {R}$ непрерывна справа.
Если эта непрерывная справа модификация существует, то она может быть выбрана так, что будет иметь в каждой точке $t \in (0, \infty )$ предел слева и будет согласована с фильтрацией $\left(\mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ . При этом $\tilde{X} = \left(\widetilde{X}_{t}, \mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ есть субмартингал.

Замечание 3. В общей теории случайных процессов обычно сразу предполагается, что фильтрация $\left(\mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ удовлетворяет обычным условиям, а мартингалы (субмартингалы, супермартингалы) имеют траектории из пространства Скорохода $D = D([0, \infty )$ , т. е. являются непрерывными справа в каждой точке $t \geqslant 0$ и имеющими пределы слева в точках $t > 0$ .

Имеется много различных обобщений понятия мартингала. Пожалуй, наиболее важным является понятие локального мартингала (субмартингала, супермартингала).

Определение 11. Процесс $M = \left(M_{t}, \mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ с траекториями из пространства $D = D([0, \infty )$ ) есть локальный мартингал (локальный субмартингал, локальный супермартингал), если найдется неубывающая последовательность марковских моментов $\left\{ \tau_{n}\right\}_{n \geqslant 1}, \tau_{n} \uparrow \infty$ (п. н.) такая, что при каждом $n$ остановленные процессы $M^{n} = \left(M_{t \wedge \tau_{n}}, \mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ являются (обычными) мартингалами (субмартингалами, супермартингалами).

С помощью понятия локальных мартингалов вводится понятие семимартингала, являющегося основным процессом, с которым связано развитие стохастического исчисления (см., например, [46]).

Определение 12. Процесс $X = \left(X_{t}, \mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ с траекториями из $D$ называется семимартингалом, если этот процесс допускает (вообще говоря, неединственное) представление

X = X_{0}+M+A

где $M = \left(M_{t}, \mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — локальный мартингал с $M_{0} = 0$ , а $A = \left(A_{t}, \mathscr {F}_{t}\right)_{t \geqslant 0}$ — процесс с траекториями ограниченной вариации (на каждом промежутке $(0, t], t > 0$ ) с $A_{0} = 0$ .

Упомянем еще такие родственные мартингалам процессы, как демимартингалы (см. [168]), миксингалы ([162]), а также мартингалы с многопараметрическим индексом $([119,195])$ . Для дальнейшего чтения о мартингалах и их применениях можно обратиться, например, к книгам $[26,46,95,138,146,148,182,184,197]$ .

Стохастические модели, основанные на понятии семимартингала, и стохастическое исчисление для них интенсивно используются в финансовой математике одном из бурно развивающихся разделов современной теории случайных процессов. В качестве краткого введения в некоторые разделы финансовой математики рассмотрим одну простую модель финансового рынка для случая дискретного времени.

Пусть на финансовом рынке эволюция безрискового актива $B$ (банковские счета) и рискового актива $S$ (акции) описываются системой разностных уравнений ( $n \geqslant 1)$

\begin{aligned} \Delta B_{n} & = r_{n} B_{n-1} \\ \Delta S_{n} & = \rho _{n} S_{n-1} \end{aligned}

где, как обычно, полагаем $\Delta X_{n} = X_{n}-X_{n-1}$ . Кроме того, предположим, что все случайные величины $B_{n}, S_{n}, r_{n}$ и $\rho_{n}$ заданы на фильтрованном вероятностном пространстве $\left(\Omega , \mathscr {F},\left(\mathscr {F}_{n}\right)_{1 \leqslant n \leqslant N}, \mathbb {P}\right)$ , где $\mathscr {F}_{N} = \mathscr {F}, N < \infty$ . Положим для $n = 1, \ldots , N$

U_{n} = \sum _{k = 0}^{n} r_{k}, \quad V_{n} = \sum _{k = 0}^{n} \rho _{k}

где $\left\{ r_{n}\right\}$ и $\left\{ \rho_{n}\right\}$ — стохастические последовательности, т. е. $\mathscr {F}_{n} \mid \mathscr {B}(\mathbb {R})$ -измеримые при каждом (рассматриваемом) $n$ . Будем предполагать также, что $\mathscr {F}_{0} = \left\{ \varnothing , \Omega \right\}$ и $\mathscr {F}_{n} = \sigma \left\{ S_{0}, \ldots , S_{n}\right\}$ при $n \geqslant 1$ .

Определение 13. Описанная вьше модель назьвается $(B, S)$ -рынком.

?

Задача IV.36

Докажите, что решения уравнений (77) и (78) записываются в виде (дискретных) стохастических экспонент, т.е.

B_{n} = B_{0} \mathscr {E}_{n}(U), \quad S_{n} = S_{0} \mathscr {E}_{n}(V)

где

\mathscr {E}_{n}(X) = \prod _{k = 1}^{n}\left(1+\Delta X_{k}\right), \quad n \geqslant 1, \quad \mathscr {E}_{0}(X) = 1

Определение 14. Инвестиционной стратегией, или портфелем, называется двумерная стохастическая последовательность $\pi = \left(\beta_{n}, \gamma_{n}\right)_{0 \leqslant n \leqslant N}$ такая, что для всех $n$

\beta _{n} \in \mathscr {F}_{n} \mid \mathscr {B}(\mathbb {R}), \quad \gamma _{n} \in \mathscr {F}_{n-1} \mid \mathscr {B}(\mathbb {R})

Капиталом портфеля $\pi$ называется стохастическая последовательность

X^{\pi } = \left\{ X_{n}^{\pi }\right\} , \quad \text{ где } X_{n}^{\pi } = \beta _{n} B_{n}+\gamma _{n} S_{n}, \quad 0 \leqslant n \leqslant N .

Величины $\beta_{n}$ и $\gamma_{n}$ интерпретируются соответственно как количества активов $B$ и $S$ в момент времени $n$ .

Определение 15. Класс портфелей $\pi$ , обладающих при всех $n = 1, \ldots , N$ свойством

B_{n-1} \Delta \beta _{n}+S_{n-1} \Delta \gamma _{n} = 0

называется самофинансируемым и обозначается $S F$ .

?

Задача IV.37

Проверьте, что капитал самофинансируемого портфеля можно представить в виде

X_{n}^{\pi } = X_{0}^{\pi }+\sum _{k = 0}^{n}\left(\beta _{k} \Delta B_{k}+\gamma _{k} \Delta S_{k}\right)

где $\Delta B_{0} = \Delta S_{0} = 0$ .

Определение 16. В классе $S F$ выделим подкласс арбитражных портфелей $S F_{\text{arb }}$ (он может оказаться пустым), который состоит из таких $\pi$ , что

X_{0}^{\pi } = 0, \quad X_{n}^{\pi } \geqslant 0 \text{ $\mathbb {P}$-п.н. при } n \leqslant N

и

X_{N}^{\pi } > 0 \text{ с положительной вероятностью. }

Таким образом, экономический смысл данного определения состоит в том, что можно получить прибыль, не рискуя. С последним определением тесно связано следующее.

Определение 17. Вероятностная мера $\mathbb {P}^{*}$ , эквивалентная $\mathbb {P}$ (т.е. $\mathbb {P}^{*} \ll \mathbb {P}$ и $\mathbb {P} \ll \mathbb {P}^{*}$ ), называется мартингальной, если на введенном фильтрованном пространстве $\left\{ S_{n} / B_{n}\right\}_{1 \leqslant n \leqslant N}$ — мартингал относительно $\mathbb {P}^{*}$ .

Обозначим $\mathbb {P}^{*}$ класс всех мартингальных мер $\mathbb {P}^{*}$ .

Теорема 18. Пусть в модели $(B, S)$ -рынка случайные величины $\left\{ r_{n}\right\}_{1 \leqslant n \leqslant N}$ являются предсказуемыми (т. е. $r_{n} \in \mathscr {F}_{n-1} \mid \mathscr {B}(\mathbb {R})$ ) и $r_{n} > -1$ . Тогда $\mathbb {P}^{*} \in \mathbb {P}^{*}$ эквивалентно тому, что $\left\{ V_{n}-U_{n}\right\}_{1 \leqslant n \leqslant N}$ — мартингал относительно $\mathbb {P}^{*}$ , где $U_{n}$ и $V_{n}$ определены согласно (79).

Теорема 19 (основная теорема финансовой математики). Пусть в модели $(B, S)$ -рынка $\left\{ r_{n}\right\}_{1 \leqslant n \leqslant N}$ — детерминированный набор чисел такой, что $r_{n} > -1$ при $1 \leqslant n \leqslant N$ . Тогда

\mathbb {P}^{*} \neq \varnothing \Longleftrightarrow S F_{\mathrm{arb}} = \varnothing .

Важной характеристикой рынка, позволяющей получать точные формулы в различных финансовых расчетах, является его полнота.

Определение 18. Говорят, что ( $B, S$ )-рынок полный, если для любой функции $f \in \mathscr {F} \mid \mathscr {B}(\mathbb {R})$ найдется стратегия $\pi \in S F$ такая, что $X_{N}^{\pi }(\omega ) = f(\omega ), \omega \in \Omega$ .

Свойство полноты рынка с математической точки зрения обеспечивает доступность всех фигурирующих на рынке активов и отсутствие ограничений для инвестирования в эти активы.

Теорема 20 (о полноте $(B, S)$ -рьнка). Пусть $\mathbb {P}^{*} \neq \varnothing$ . Тогда следующие утверждения эквивалентны:

$(B, S)$ -рынок является полным,
$\mathbb {P}^{*}$ содержит единственный элемент $\mathbb {P}^{*}$ ,
любой мартингал $\left(M_{n}, \mathscr {F}_{n}, \mathbb {P}^{*}\right)_{0 \leqslant n \leqslant N}$ допускает представление
$M_{n} = M_{0}+\sum _{k = 1}^{n} \gamma _{k} \Delta m_{k}, \quad n = 1, \ldots , N,$
где $\gamma_{k} \in \mathscr {F}_{k-1} \mid \mathscr {B}(\mathbb {R})$ и
$\Delta m_{k} = \frac{S_{k}}{B_{k}}-\frac{S_{k-1}}{B_{k-1}}$

Замечание 4. Поскольку $\Delta m_{k} = S_{k-1} B_{k}^{-1}\left(\rho_{k}-r_{k}\right)$ , для величин $\left\{ M_{n}\right\}$ справедливо эквивалентное представление

M_{n} = M_{0}+\sum _{k = 1}^{n} \widetilde{\gamma }_{k}\left(\rho _{k}-r_{k}\right)

где $\widetilde{\gamma }_{k} = \gamma_{k} S_{k-1} B_{k}^{-1} \in \mathscr {F}_{k-1} \mid \mathscr {B}(\mathbb {R})$ .

Нам понадобится еще несколько понятий.

Определение 19. Платежным обязательством с датой погашения $N$ называют пару $(f, N)$ , где неотрицательная случайная величина $f \in \mathscr {F}_{N} \mid \mathscr {B}(\mathbb {R})$ . Участник рьнка, который должен погасить данное обязательство, строит свою инвестиционную политику так, чтобы $X_{N}^{\pi } \geqslant f$ . Процедура построения такого портфеля $\pi$ называется хеджированием, а сам портфель — хеджирующим портфелем.

Одна из важнейших задач, связанных с хеджированием платежных обязательств, возникает в связи с расчетами опционов. Представим на финансовом рынке эмитента, выпустившего производную ценную бумагу (на покупку, продажу и т. д.) некоторого актива. Чтобы стать держателем такой бумаги, требуется заплатить эмитенту некоторую премию $C$ . Тем самым приобретается право предъявить данную бумагу к исполнению в момент времени $N$ и получить выплату в размере $f$ . Такая производная ценная бумага называется опиионом европейского типа (на покупку, продажу и т. д. актива), а сама сделка — контрактом с опиионом. Имеются и опиионы американского типа, когда держатель производных ценных бумаг имеет право предъявить их в любой момент $n \in \left\{ 0, \ldots , N\right\}$ и получить выплату в размере $f_{n}$ . Продавец такой ценной бумаги, получивший при ее продаже премию $C$ , должен организовать свой портфель $\pi$ так, чтобы $X_{n}^{\pi }(\omega ) \geqslant f_{n}(\omega )$ для всех $\omega \in \Omega$ и $n \leqslant N$ .

Обратимся к опционам европейского типа.

Определение 20. Пусть на ( $B, S$ -рынке задано начальное значение капитала $x > 0$ и платежное обязательство $(f, N)$ . Самофинансируемый портфель $\pi$ называется $(x, f, N)$ -хеджем, если для любого $\omega \in \Omega$

X_{0}^{\pi } = x \quad \text{ и } \quad X_{N}^{\pi } \geqslant f

Обозначим $\Pi (x, f, N)$ множество ( $x, f, N)$ -хеджей. Инвестиционной стоимостью платежного обязательства ( $f, N$ ) называется величина

C(N) = \inf \left\{ x > 0: \Pi (x, f, N) \neq \varnothing \right\}

Формула (81) отвечает идее одновременно удовлетворить и продавца (который на данном рынке может обеспечить обязательство $(f, N)$ ) и покупателя (который платит в определенном смысле минимальную премию продавцу). Поэтому $C(N)$ называют также справедливой ценой опциона.

Широкую известность имеют опщион колл (опцион на продажу) и опцион пут (опцион на покупку). Первый из них — это опцион с платежным обязательством $f = \left(S_{N}-K\right)^{+}$ , согласно которому его держатель может приобрести некоторые акции по фиксированной цене $K$ в момент $N$ (в то время, как рьночная цена акций равна $S_{N}$ ). Разумеется, такой опцион предъявляется к исполнению, если $S_{N} > K$ , и не предъявляется, когда $S_{N} \leqslant K$ . Опцион пут — это опцион, по которому держатель имеет право продать акции по фиксированной цене $K$ в момент $N$ , и в этом случае платежное обязательство $f = \left(K-S_{N}\right)^{+}$ .

Теорема 21. Пусть $(B, S)$ -рынок не допускает арбитражных возможностей и полон. Пусть детерминированная последовательность $r_{n}$ такова, что $r_{n} > -1$ при $n = 0,1, \ldots , N$ . Тогда для опциона европейского типа с платежным обязательством ( $f, N$ ) выполнены следующие утверждения:

справедливая цена определяется формулой
$C(N) = \mathrm{E}^{*} \mathscr {E}_{N}^{-1}(U) f = \mathscr {E}_{N}^{-1}(U) \mathrm{E}^{*} f$
где $\mathrm{E}^{*}$ обозначает усреднение по единственной (в силу теоремы 20) мартингальной мере;
существует минимальный $(C(N), f, N)$ -хедж $\pi^{*} = \left(\beta_{n}^{*}, \gamma_{n}^{*}\right)_{n \leqslant N}$ , т. е. такой, что $X_{N}^{*} = f$ , и при этом
$\begin{gathered} X_{n}^{\pi ^{*}} = \mathrm{E}^{*}\left(\mathscr {E}_{N}^{-1}(U) \mathscr {E}_{n}(U) f \mid \mathscr {F}_{n}\right) \\ \gamma _{n}^{*} = \frac{\widetilde{\gamma } B_{n}}{S_{n-1}} \in \mathscr {F}_{n-1} \mid \mathscr {B}(\mathbb {R}), \quad \beta _{n}^{*} = \frac{X_{n-1}^{\pi ^{*}}-\gamma _{n}^{*} S_{n-1}}{B_{n-1}} \in \mathscr {F}_{n-1} \mid \mathscr {B}(\mathbb {R}), \end{gathered}$
здесь $\left\{ \widetilde{\gamma }_{n}\right\}_{n \leqslant N}$ — предсказуемая последовательность из разложения (80) для мартингала $\left\{ \mathrm{E}^{*}\left(B_{N}^{-1} f \mid \mathscr {F}_{n}\right)\right\}_{n = 0, \ldots , N}$ .

О приведенных вьше результатах и о многих других интересных моделях финансового рынка как с дискретным, так и непрерывным временем, можно прочитать в работе [86], где имеется обширная библиография.

?

Мартингалы. Дискретное и непрерывное время