Броуновское движение. Свойства траекторий

Найдите $\mathbb {E}\left[B_{n}(t)\right]$ и $\operatorname {cov}\left(B_{n}(s), B_{n}(t)\right)$ для $s, t \in [0,1]$ и $n \geqslant 0$. Докажите, что $B(t)$ — гауссовский процесс с $\mathbb {E}\left[B(t)\right] = 0$ и $\operatorname {cov}(B(s), B(t)) = \min \left\{ s, t\right\}$ для $s, t \in [0,1]$.

Упражнение 1 показывает, что $B = \left\{ B(t), 0 \leqslant t \leqslant 1\right\}$ — винеровский процесс на отрезке $[0,1]$.

Среди других явных построений винеровского процесса отметим результат Винера и Пэли, которые установили, что ряд

где $\xi_{0}, \xi_{1}, \ldots$ — независимые одинаково распределенные стандартные нормальные величины, сходится п. н. на $[0,1]$ равномерно и задает непрерывную случайную функцию, являющуюся винеровским процессом на $[0,1]$.

Интересно сопоставить это построение с результатом Харди, который доказал (задача была поставлена Риманом), что функция

непрерывна, но ни в одной точке не имеет производной.

Частный случай теорем вложения классов Бесова позволяет доказать (см. [40]), что функции

для некоторой подпоследовательности $\left\{ n_{m}\right\}$ будут равномерно п. н. сходиться к броуновскому движению на отрезке $[0, \pi ]$ (см. также формулы (VII.68) и (VII.81)).

Принципиальная возможность построения непрерывного на $[0,1]$ винеровского процесса сразу вытекает из теоремы 1 главы II и теоремы Колмогорова о существовании непрерывной модификации (теорема 18 главы II).

Теорема 1 главы II. Пусть $\left\{ \varphi (s, t;\cdot )\right\}$, $0 \leqslant s < t < \infty$, — семейство характеристических функций, отвечающих некоторому семейству $Q_{s,t}$, $0 \leqslant s < t < \infty$, вероятностных мер на $\mathscr {B}(\mathbb {R})$. Для существования случайного процесса $X = \left\{ X_{t}, t \geqslant 0\right\}$ с независимыми приращениями такого, что характеристическая функция величины $X_{t}-X_{s}$ есть $\varphi (s, t;\cdot )$ при любых $0 \leqslant s < t < \infty$, необходимо и достаточно, чтобы

для всех $0 \leqslant s < u < t < \infty$, $v \in \mathbb {R}$; при этом распределение вероятностей $Q_{0}$ величины $X_{0}$ может быть выбрано каким угодно.

Теорема 18 главы II (Колмогоров). Пусть $X = \left\{ X(t), t \in [a, b]\right\}$ — действительный случайный процесс такой, что для некоторых $\alpha , \varepsilon > 0$ и $C = C(\alpha , \varepsilon ) > 0$

(формула (II.52)). Тогда у процесса $X$ существует непрерывная модификация.

Действительно,

т.е. оценка (II.52) выполнена при $\alpha = 4$ и $\varepsilon = 1$.

Пусть $\left\{ t_{n}\right\}_{n \geqslant 1}$ — последовательность положительных чисел такая, что $\sum_{n = 1}^{\infty } t_{n}^{-1 / 2} < \infty$. Докажите, что тогда $\left|W\left(t_{n}\right)\right| \rightarrow \infty$ п. н. при $n \rightarrow \infty$.

В дополнение к локальному закону повторного логарифма (см. следствие 3 ) сформулируем следующий полезный результат о локальном поведении траекторий винеровского процесса.

Следствие 3 (локальный закон повторного логарифма; PDF с. 93). Здесь и далее $\mathrm{Log}\, t := \ln (t \vee e)$ (где $\vee$ обозначает взятие максимума, так что $\mathrm{Log}\, t \geqslant 1$ всегда). С вероятностью единица

Рассмотрим последовательность $\Pi_{n}, n \in \mathbb {N}$, измельчающихся разбиений $\left(t_{m}^{(n)}\right)$ отрезка $[0, t]$ точками специального вида $t_{m}^{(n)} = t m 2^{-n}, m = 0, \ldots , 2^{n}$. Тогда

Покажите, что утверждение (47) о сходимости п.н. не обязано выполняться, если брать измельчающиеся произвольные разбиения $\Pi_{n}, n \in \mathbb {N}$, отрезка $[0,1]$ точками $t_{m}^{(n)}, m = 0, \ldots , N_{n}(n \in \mathbb {N})$, для которых

(но тем не менее будет иметь место сходимость по вероятности).

О дальнейших обобщениях соотношения (47) см. [75; п. 3 гл. 24].

Докажите, что почти все траектории винеровского процесса являются гёльдеровскими функциями с показателем $\gamma < 1 / 2$, т.е. на каждом временно́м отрезке $[a, b] \subset [0, \infty )$

(Доказательство этого утверждения можно найти, например, в [12], теорема 3 на с. 127.) Можно ли в приведенном результате взять константу $C_{\gamma }$ не зависящей от промежутка $[a, b]$ ?

Докажите, что с вероятностью единица

(тем самым условие Гёльдера порядка $1 / 2$ не выполняется в точке 0 ).

Пользуясь рассуждениями, проведенными при доказательстве теоремы 1 , докажите, что винеровский процесс $W = \left\{ W(t), 0 \leqslant t \leqslant 1\right\}$ имеет траектории, не удовлетворяющие п. н. ни в одной точке условию Гёльдера с показателем $\gamma > 1 / 2$.

Выведите результат упражнения 5 из теоремы 19 главы II и того свойства, что для $q \in \mathbb {N}, 0 \leqslant s < t < \infty$

Теорема 19 главы II (PDF с. 73) в общем виде формулируется для функций со значениями в польском пространстве, индексированных псевдометрическим пространством, удовлетворяющим определённым энтропийным условиям. Согласно Замечанию 5 (там же), для $T = [a, b] \subset \mathbb {R}$ и $S = \mathbb {R}$ с евклидовой метрикой эти энтропийные условия выполняются автоматически (с параметром $d = 1$), и теорема в этом случае даёт: если $X = \left\{ X(t), t \in [a, b]\right\}$ — действительный случайный процесс и для некоторых $\gamma \in (0,1)$, $\alpha > 1/\gamma$, $\beta > 0$

то у $X$ существует модификация $Y$ с непрерывными траекториями такая, что при любом $\lambda \in (0, \gamma -1/\alpha )$

Обозначим $H_{\gamma }(\omega )$ множество тех точек $t \in [0, \infty )$, в которых траектория винеровского процесса, отвечающая элементарному исходу $\omega \in \Omega$ (можно считать $\Omega = C[0, \infty )$ ), удовлетворяет условию Гёльдера с показателем $\gamma$. Упражнения 5 и 8 показывают, что $\mathbb {P}\left(H_{\gamma } = [0, \infty )\right) = 1$ для $\gamma < 1 / 2$. Упражнение 7 обеспечивает соотношение $\mathbb {P}\left(H_{\gamma } = \varnothing \right) = 1$ при $\gamma > 1 / 2$. Из упражнения 6 следует, что $\mathbb {P}\left(t \in H_{1 / 2}\right) = 0$ при каждом $t \geqslant 0$, однако, как показал Б. Дэвис, $\mathbb {P}\left(H_{1 / 2} \neq \varnothing \right) = 1$.

Следующий результат (см. [73; с. 313]) интересно сопоставить со следствием 3. Для этого напомним, что процесс $X$ является однородным, если распределение $X(t+h)-X(t)$ не зависит от $t$.

Теорема 9 (Хинчин). Если $X = \left\{ X(t), t \geqslant 0\right\}$ — однородный процесс с независимыми приращениями, не содержащий гауссовской компоненты, то

Постройте пример действительного процесса $X = \left\{ X(t), t \geqslant 0\right\}$ типа càdlàg (но не являющегося непрерывным) и замкнутого множества $F \subset \mathbb {R}$ таких, что $\tau_{\infty } < \tau_{F}$ п.н., где $\tau_{\infty }$ и $\tau_{F}$ определены при доказательстве теоремы 3.

Теорема 3 (PDF с. 79). Пусть $X = \left\{ X(t), t \geqslant 0\right\}$ — случайная функция со значениями (при каждом $t \geqslant 0$) в метрическом пространстве $(S, \rho )$, п.н. с непрерывными траекториями. Тогда для любого замкнутого множества $F \subset S$ момент

есть марковский момент относительно естественной фильтрации $\mathbb {F}^{X}$ процесса $X$ ($\tau_{F}(\omega ) := \infty$, если $X(t, \omega ) \notin F$ для всех $t \geqslant 0$).

Определения $\tau_{\infty }$ и $\tau_{F}$, использованные в доказательстве: полагая $G_{n} = \left\{ x \in S : \rho (x, F) < 1/n\right\}$ и $\tau_{n}(\omega ) = \inf \left\{ t \geqslant 0 : X(t, \omega ) \in G_{n}\right\}$, доказательство показывает, что для каждого $\omega$ существует предел $\tau_{\infty }(\omega ) := \lim_{n \to \infty } \tau_{n}(\omega ) \leqslant \tau_{F}(\omega )$ (со значениями в $[0, \infty ]$), и что при непрерывных траекториях $X$ этот предел п.н. совпадает с $\tau_{F}(\omega )$ — именно это равенство (существенно использующее непрерывность траекторий) и составляет содержание теоремы 3.

Пусть $X = \left\{ X_{n}, n \in \mathbb {N}\right\}$ — последовательность действительных случайных величин и множество $B \in \mathscr {B}(\mathbb {R})$. Пусть $\tau = \tau (\omega )$ — момент первого достижения множества $B$, определяемый формулой (I.49) (формула (I.49): $\tau (\omega ) := \inf \left\{ n \in \mathbb {N} : X_{n}(\omega ) \in B\right\}$, с $\tau (\omega ) := \infty$, если $X_{n}(\omega ) \notin B$ для всех $n \in \mathbb {N}$). Мы уже видели (см. §3), что $\tau$ — марковский момент относительно естественной фильтрации процесса $X$. Введем теперь

(в определении моментов $\tau$ и $\sigma$ предполагается, что если множество, стоящее в фигурных скобках, для некоторой точки $\omega$ пусто, то в этой точке значение рассматриваемой величины считается равным $+\infty$ ). Докажите, что $\sigma$ — марковский момент относительно естественной фильтрации процесса $X$. Постройте пример последовательности $X$ и множество $B$, для которых момент $\gamma$ является марковским моментом относительно естественной фильтрации, а также пример $X$ и $B$, для которых $\gamma$ не является таким моментом.

Пусть $X = \left\{ X(t), t \in T\right\} , T \subset \mathbb {R}$, — действительный случайный процесс и $\mathbb {F}_{T}$ — его естественная фильтрация. Пусть $\tau = \tau (\omega )$ — марковский момент относительно этой фильтрации; если $\tau (\omega ) = \infty$, полагаем $X(\tau (\omega ), \omega ) = 0$. Можно ли утверждать, что $X(\tau (\omega ), \omega )$ является $\mathscr {F} \tau \mid \mathscr {B}(\mathbb {R})$ — измеримой величиной? Что можно сказать в случае $T = \mathbb {N}$ ?

Положим $\tau_{a} = \inf \left\{ t > 0: W(t) = a\right\}$, где $W = \left\{ W(t), t \geqslant 0\right\}$ — винеровский процесс, $a \in \mathbb {R}$. Докажите, что $\tau_{a} \stackrel{\mathscr {D}}{ = } a^{2} \tau_{1}$, т.е. распределения величин $\tau_{a}$ и $a^{2} \tau_{1}$ совпадают: $\operatorname {Law}\left(\tau_{a}\right) = \operatorname {Law}\left(a^{2} \tau_{1}\right)$.

Пусть $U$ — это наибольший нуль процесса $W$ на отрезке $[0, t]$. Докажите, что для распределения величины $U$ справедлив закон арксинуса:

Напомним следующее важное понятие.

Определение 6. Семейство действительных случайных величин $\left\{ \xi_{\alpha }, \alpha \in \Lambda \right\}$ называется равномерно интегрируемым, если

Из этого свойства сразу следует, что для таких семейств

Хорошо известно (см., например, [85; гл. II, §6]), что если семейство $\left\{ \xi_{n}, n \geqslant 1\right\}$ равномерно интегрируемо и $\xi_{n} \rightarrow \xi$ почти наверное (или только по вероятнос$m u)$, то $\xi$ будет интегрируемой величиной и

В случае неотрицательных интегрируемых случайных величин $\xi_{n}, n \geqslant 0$, таких, что $\xi_{n} \rightarrow \xi$ (п.н. или по вероятности), где $\mathbb {E}\left[\xi \right] < \infty$, имеет место и обратная импликация

Важно также подчеркнуть следующее обстоятельство: во всех приведенных утверждениях, кроме второго соотношения в (51), сходимость почти наверное $\left(\xi_{n} \rightarrow \xi \right.$ п.н.) может быть заменена сходимостью лишь по распределению ( $\left.\xi_{n} \xrightarrow {\mathscr {D}} \xi \right)$. Этот важный факт следует из вышеприведенных результатов и доказываемой далее теоремы Скорохода (теорема 11 главы V).

Теорема 11 главы V (Скороход; PDF с. 165). Пусть $(S, \rho )$ — польское пространство и $Q_{n} \Rightarrow Q_{\infty }$ при $n \to \infty$, где $Q_{n}$ ($n \in \mathbb {N} \cup \left\{ \infty \right\}$) — вероятностные меры на $\mathscr {B}(S)$. Тогда существуют вероятностное пространство $(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$ и случайные элементы $X_{n}: \Omega \to S$, $X_{n} \in \mathscr {F}/\mathscr {B}(S)$, $n \in \mathbb {N} \cup \left\{ \infty \right\}$, такие, что $\operatorname {Law}(X_{n}) = Q_{n}$ для всех $n \in \mathbb {N} \cup \left\{ \infty \right\}$ и $X_{n} \to X_{\infty }$ п.н. при $n \to \infty$.

Свойство равномерной интегрируемости выявляет

Теорема 10 (Де ла Валле Пуссен; см., например, [101; с. 10]). Семейство случайных величин $\left\{ \xi_{\alpha }, \alpha \in \Lambda \right\}$ является равномерно интегрируемым тогда и только тогда, когда найдется измеримая функция $G: \mathbb {R}_{+} \rightarrow \mathbb {R}_{+}$, m. е. $G \in \in \mathscr {B}\left(\mathbb {R}_{+}\right) \mid \mathscr {B}\left(\mathbb {R}_{+}\right)$, такая, что

Из этой теоремы вытекает, что условие

является достаточным для равномерной интегрируемости семейства $\left\{ \xi_{\alpha }, \alpha \in \Lambda \right\}$.

Далее мы покажем, как случайные величины могут быть "вложены" в броуновское движение, и как исследование сумм независимых слагаемых (с конечными дисперсиями) сводится к изучению поведения броуновского движения в случайные моменты времени. Для этого нам потребуются тождества Вальда.

Теорема 11 (первое тождество Вальда). Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — независимые одинаково распределенные величины, $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \xi_{k}$ и $\tau$ — марковский момент относительно потока $\sigma$-алгебр $\mathscr {F}_{n} = \sigma \left\{ \xi_{1}, \ldots , \xi_{n}\right\} , n \in \mathbb {N}$, причем $\mathbb {E}\left[\left|\xi_{1}\right|\right] < \infty$ и $\mathbb {E}\left[\tau \right] < \infty$. Тогда

где $S_{\tau (\omega )}(\omega ) = \sum_{k = 1}^{\tau (\omega )} \xi_{k}(\omega )$ для $\omega \in \left\{ \tau < \infty \right\}$, и полагаем $S_{\tau (\omega )}(\omega ) = 0$ для $\omega \in \in \left\{ \tau = \infty \right\}$.

Доказательство . По определению введенных величин $S_{\tau }$ находим, что п.н.

Заметим, что

Следовательно, $\xi_{k}$ и $\mathbf{1}_{\left\{ \tau \geqslant k\right\} }$ — независимые величины при любом $k \in \mathbb {N}$. Поэтому

где законность смены порядка суммирования и интегрирования следует из того, что

Из проведенного доказательства видно, что результат обобщается на любую последовательность (в том числе зависимых) случайных величин $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$, имеющих одинаковое математическое ожидание $a \in \mathbb {R}$, и интегрируемую случайную величину $\tau$, принимающую натуральные значения, если $\xi_{k}$ не зависит от $\mathbf{1}_{\left\{ \tau \geqslant k\right\} }$ при каждом $k \in \mathbb {N}$ (в частности, если $\xi_{k}$ не зависит от $\tau$ при любом $k \in \mathbb {N}$ ).

Докажите второе тождество Вальда: пусть $\operatorname {Var}\left[\xi_{1}\right] < \infty$ дополнительно к условиям теоремы 11 , тогда

Теорема 12. Пусть $X$ — действительная случайная величина, заданная на вероятностном пространстве $(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$ и имеющая $\mathbb {E}\left[\left|X\right|\right] < \infty$. Тогда существуют (быть может, на расширении исходного вероятностного пространства) броуновское движение $W = \left\{ W(t), t \geqslant 0\right\}$ и случайная величина $\tau$ такие, что

Если $\mathbb {E}\left[X^{2}\right] < \infty$, то $\tau$ может быть построено так, что $\mathbb {E}\left[\tau \right] < \infty$, более того,

Прежде чем доказывать эту теорему, заметим, что основная трудность связана с одновременным выполнением сотношений (57) и (58), как показывает упражнение

Пусть $X = X(\omega )$ — центрированная случайная величина на $(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$ с $\mathbb {E}\left[X^{2}\right] < \infty$. Возьмем на $\left(\Omega^{\prime }, \mathscr {F}^{\prime }, \mathbb {P}^{\prime }\right)$ броуновское движение $W = \left\{ W\left(t, \omega^{\prime }\right), t \geqslant 0\right\}$. Доопределим $X$ и $W$ на $(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P}) \otimes \left(\Omega^{\prime }, \mathscr {F}^{\prime }, \mathbb {P}^{\prime }\right)$ согласно (I.46). Введем $\tau \left(\omega , \omega^{\prime }\right) = \inf \left\{ t \geqslant 1: W\left(t, \omega^{\prime }\right) = X(\omega )\right\}$. Тогда $W(\tau ) = X$. Докажите, что при этом $\widetilde{\mathbb {E}\left[\tau \right]} = \infty$, где $\widetilde{\mathrm{E}}$ — усреднение по мере $\mathbb {P} \otimes \mathbb {P}^{\prime }$.

Доказательство теоремы 12. Без ограничения общности сразу можем считать, что на исходном вероятностном пространстве $(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$ определена не только случайная величина $X$, но и некоторый винеровский процесс $W = \left\{ W(t), t \geqslant 0\right\}$. При этом достаточно рассмотреть лишь случай, когда $\mathbb {E}\left[X\right] = 0$ и $X$ — невырожденная величина (иначе надо было бы просто положить $\tau \equiv 0$ ).

Пусть сначала $X$ принимает лишь два значения $a$ и $b$ ( $a < 0 < b$, поскольку $\mathbb {E}\left[X\right] = 0)$. Если

то условие $\mathbb {E}\left[X\right] = 0$ влечет равенства

В силу теоремы 3 величина

есть марковский момент относительно естественной фильтрации $\mathbb {F}^{W}$ винеровского процесса.

Докажем, что $\tau_{a, b} < \infty$ п. н. При любом $m \in \mathbb {N}$

откуда

где $\xi \sim \mathrm{N}(0,1)$. Таким образом,

Учитывая непрерывность броуновского движения, получаем, что с вероятностью 1 или $W\left(\tau_{a, b}\right) = a$, или $W\left(\tau_{a, b}\right) = b$. Следовательно, если $p_{a, b}$ таково, что

и если справедливо равенство

то из (62) найдем, что $p_{a, b} = b /(b-a)$ и, согласно (59), (60), для двузначных величин $X$ соотношение (57) будет установлено.

Заметим, что с помощью мартингальной техники (гл. IV) соотношение (63) будет легко получить, воспользовавшись для непрерывного времени аналогом следствия 2 главы IV. Однако (63) нетрудно установить непосредственно следующим образом. Определим величины $\xi_{n, m} = W(m / n)-W((m-1) / n), m, n \in \mathbb {N}$, и положим

В силу упражнения 10 при каждом $n \in \mathbb {N}$ величина $\tau_{a, b}^{(n)}$ есть марковский момент относительно потока $\sigma$-алгебр $\mathscr {F}_{k}^{(n)} = \sigma \left\{ \xi_{n, 1}, \ldots , \xi_{n, k}\right\} , k \in \mathbb {N}$. Аналогично (61) убеждаемся, что $\mathbb {E}\left[\tau_{a, b}^{(n)}\right] < \infty$. Заметив, что $\xi_{n, 1}+\cdots +\xi_{n, \tau_{a, b}^{(n)}} = W\left(\tau_{a, b}^{(n)} / n\right)$ и $\mathbb {E}\left[\xi_{n, 1}\right] = 0$, согласно (54) находим, что

Относительно величин $\tau_{a, b}^{(n)}$ можно утверждать следующее.

Докажите, что имеет место свойство: $\tau_{a, b}^{(n)} / n \rightarrow \tau_{a, b}$ п.н. при $n \rightarrow \infty$.

Поскольку траектории винеровского процесса непрерывны п. н., то в силу этого свойства $W\left(\tau_{a, b}^{(n)} / n\right) \rightarrow W\left(\tau_{a, b}\right)$ п. н. при $n \rightarrow \infty$.

Выведем отсюда, что

Для этого потребуется следующее утверждение.

Докажите, что семейство случайных величин $\left\{ W\left(\tau_{a, b}^{(n)} / n\right), n \in \mathbb {N}\right\}$ является равномерно интегрируемым.

Соотношение (66) следует из результата упражнения 17 , а (63) вытекает из (65) и (66). Итак, для центрированных двузначных величин вида (59) доказано, что

Рассмотрим теперь общий случай. Обозначим $F(x) = \mathbb {P}\left(X \leqslant x\right)$. Учитывая, что $\mathbb {E}\left[X\right] = 0$ и что случайная величина $X$ невырождена, имеем

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}_{+}$- непрерывная и ограниченная функция. Тогда

Отсюда

На некотором вероятностном пространстве $\left(\Omega^{\prime }, \mathscr {F}^{\prime }, \mathbb {P}^{\prime }\right)$ построим случайный вектор $(Y, Z)$ со значениями в $\mathbb {R}^{2}$ такой, что

Возможность такого построения следует из того, что правая часть формулы (71) есть неотрицательная счетно аддитивная функция множества $B$. То, что это вероятностная мера, сразу вытекает из формулы (70), в которой полагаем $f \equiv 1$.

Если $y$ и $z$ таковы, что $y < 0 < z$, то из (62) с $p_{y, z} = z /(z-y)$ и (67) найдем, что

Эта формула будет верна и для $y \leqslant 0 < z$, если положить $\tau_{0, b} = 0$ при $b > 0$.

Учитывая (71) и (I.25), видим, что

В силу теоремы Фубини и (I.23) равенство (73) можно переписать в виде

где $\tau_{Y, Z}\left(\omega , \omega^{\prime }\right) = \tau_{Y\left(\omega^{\prime }\right), Z\left(\omega^{\prime }\right)}(\omega )$ для $\omega \in \Omega , \omega^{\prime } \in \Omega^{\prime }$, а $\mathrm{E}^{\prime }$ означает интегрирование по мере $\mathbb {P}^{\prime }$.

Возьмем теперь вероятностное пространство $(\widetilde{\Omega }, \widetilde{\mathscr {F}}, \widetilde{\mathbb {P}}) = (\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P}) \otimes \left(\Omega^{\prime }, \mathscr {F}^{\prime }, \mathbb {P}^{\prime }\right)$ и для $\widetilde{\omega } = \left(\omega , \omega^{\prime }\right) \in \widetilde{\Omega }, t \geqslant 0$ положим

Покажите, что на $(\widetilde{\Omega }, \widetilde{\mathscr {F}}, \widetilde{\mathbb {P}})$

является случайной величиной, а $\widetilde{W} = \left\{ \widetilde{W}(t), t \geqslant 0\right\}$ — броуновским движением.

Учитывая это упражнение и формулу (74), видим, что

Поэтому соотношение (57), требуемое в теореме 12 , следует из того, что $\operatorname {Law}(\tilde{X} \mid \widetilde{\mathbb {P}}) = \operatorname {Law}(X \mid \mathbb {P})$, и простого факта, относящегося к теории меры, который вытекает из следующего упражнения.

Пусть $\mathbb {P}$ и $\mathbb {Q}$ — вероятностные меры на метрическом пространстве $(\mathrm{S}, \mathscr {B}(\mathrm{S}))$. Пусть для любой непрерывной и ограниченной функции $f: \mathrm{S} \rightarrow \mathbb {R}_{+}$

Тогда $\mathbb {P} = \mathbb {Q}$ на $\mathscr {B}(\mathrm{S})$.

Итак, $(\widetilde{\Omega }, \widetilde{\mathscr {F}}, \widetilde{\mathbb {P}})$ есть то расширенное вероятностное пространство, о котором и говорится в формулировке теоремы 12.

Для завершения доказательства теоремы осталось лишь проверить, что при условии $\mathbb {E}\left[X^{2}\right] < \infty$ имеет место равенство (58).

Используя второе тождество Вальда (упражнение 14), докажите, что

Воспользовавшись равенством (76), теоремой Фубини и формулой (75), имеем

Отсюда, принимая во внимание (71) и (68), находим:

Тем самым, требуемое свойство (58) (с соответствующими переобозначениями для расширенного вероятностного пространства) установлено.

Теперь нам понадобится следующее обобщение понятия броуновского движения.

Определение 7. Процесс $W = \left\{ W(t), t \geqslant 0\right\}$ называется действительным броуновским движением относительно фильтрации $(\mathscr {F})_{t \geqslant 0}$, если

1. $W(t)$ является $\mathscr {F}$-измеримой величиной при каждом $t \geqslant 0$;

2. $\left(W(t)-W(s)\right) \; \perp \! \! \! \perp \; \mathscr {F}_{s}$ при $0 \leqslant s < t$ (т. е. $W(t)-W(s)$ не зависит от $\mathscr {F}_{s}$);

3. $W_{0} = 0$ п.н. и $W(t)-W(s) \sim \mathrm{N}(0, t-s)$ при $0 \leqslant s < t$;

4. траектории процесса $W$ непрерывны п.н.

Данное определение очевидным образом распространяется и на $m$-мерное броуновское движение: тогда в условии 3$)$ требуется, чтобы $W(t)-W(s) \sim \mathrm{N}(0,(t-s) I)$ при $0 \leqslant s < t$, где $I$ — единичная матрица порядка $m$.

Заметим, что если $W$ будет броуновским движением относительно фильтрации $(\mathscr {F} t)_{t \geqslant 0}$, то — и относительно естественной фильтрации $\left(\mathscr {F}_{t}^{W}\right)_{t \geqslant 0}$. Когда говорится о броуновском движении без упоминания фильтрации, то имеется в виду естественная фильтрация.

Пусть $\mathscr {N}$ — класс событий нулевой вероятности (полного) вероятностного пространства $(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$. Без потери общности будем считать, что в определении 7 каждая $\sigma$-алгебра $\mathscr {F}_{t}(t \geqslant 0)$ содержит все события из $\mathscr {N}$.

Теорема 13 (Скороход; см. [71]). Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — последовательность центрированных независимых случайных величин, определенных на некотором вероятностном пространстве. Тогда существует такое вероятностное пространство, на котором найдутся последовательность случайных величин $\left\{ T_{k}\right\}_{k \geqslant 1}$ и броуновское движение $W = \left\{ W(t), t \geqslant 0\right\}$ такие, что

где неотрицательные величины $T_{k}-T_{k-1}, k \in \mathbb {N}\left(T_{0} \equiv 0\right)$, независимы. Если $\mathbb {E}\left[X_{k}^{2}\right] < \infty$, то в дополнение $к$ указанным свойствам последовательности $\left\{ T_{k}\right\}_{k \geqslant 1}$ можно обеспечить соотношение $\mathbb {E}\left[T_{k}-T_{k-1}\right] = \mathbb {E}\left[X_{k}^{2}\right], k \in \mathbb {N}$.

Доказательство. Пусть $\left\{ \left(Y_{n}, Z_{n}\right)\right\}_{n \geqslant 1}$ — последовательность независимых случайных векторов со значениями в $\mathbb {R}^{2}$, причем $\left\{ \left(Y_{n}, Z_{n}\right)\right\}_{n \geqslant 1} \; \perp \! \! \! \perp \; W$, где $W = \left\{ W(t), t \geqslant 0\right\}$ — броуновское движение (относительно фильтрации $\left(\mathscr {F}_{t}^{W}\right)_{t \geqslant 0}$ ). Легко построить вероятностное пространство и задать на нем все указанные случайные элементы. Для $t \geqslant 0$ положим $\mathscr {H}_{t} = \sigma \left\{ \mathscr {F}_{t}^{W}, \left\{ \left(Y_{n}, Z_{n}\right)\right\}_{n \geqslant 1}\right\}$, т.е. рассмотрим $\sigma$-алгебру, порожденую величинами $W(s)$ при $s \in [0, t]$ и $\left(Y_{n}, Z_{n}\right)_{n \geqslant 1}$. Будем считать ее расширенной классом $\mathscr {N}$ нулевых событий. Воспользуемся следующим упражнением.