Случайные процессы. Распределения случайных процессов

С помощью теоремы Колмогорова (теорема 4) получите частный случай теоремы Ломницкого-Улама (теорема 2) для семейства борелевских пространств.

Теорема 4 (Колмогоров). Пусть $(S_{t}, \mathscr {B}_{t})_{t \in T}$ — семейство борелевских пространств (т.е. измеримых пространств, изоморфных борелевскому подмножеству отрезка $[0,1]$ с его борелевской $\sigma$-алгеброй). Пусть на пространствах $(S_{t_{1}, \ldots , t_{n}}, \mathscr {B}_{t_{1}, \ldots , t_{n}})$, где $n \in \mathbb {N}$ и попарно различные точки $t_{1}, \ldots , t_{n} \in T$, заданы меры $P_{t_{1}, \ldots , t_{n}}$, удовлетворяющие для любой перестановки $(i_{1}, \ldots , i_{n})$ набора $(1, \ldots , n)$ условию симметрии $P_{t_{1}, \ldots , t_{n}}\left(B_{t_{1}} \times \cdots \times B_{t_{n}}\right) = P_{t_{i_{1}}, \ldots , t_{i_{n}}}\left(B_{t_{i_{1}}} \times \cdots \times B_{t_{i_{n}}}\right)$ и условию согласованности $P_{t_{1}, \ldots , t_{n}}\left(B_{t_{1}} \times \cdots \times B_{t_{n - 1}} \times S_{t_{n}}\right) = P_{t_{1}, \ldots , t_{n - 1}}\left(B_{t_{1}} \times \cdots \times B_{t_{n - 1}}\right)$. Тогда существуют вероятностное пространство $(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$ и определенная на нем случайная функция $X = \left\{ X(t), t \in T\right\}$ такие, что конечномерными распределениями $X$ являются меры $P_{t_{1}, \ldots , t_{n}}$.

Теорема 2 (Ломницкий-Улам). Пусть $(S_{t}, \mathscr {B}_{t})_{t \in T}$ — произвольное семейство измеримых пространств и пусть при любом $t \in T$ на $(S_{t}, \mathscr {B}_{t})$ задана мера $Q_{t}$. Тогда существует вероятностное пространство $(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$ и семейство независимых случайных элементов $X_{t}: \Omega \rightarrow S_{t}, X_{t} \in \mathscr {F} \mid \mathscr {B}_{t}$, таких, что $\mathbb {P}_{X_{t}} = Q_{t}$ на $\mathscr {B}_{t}$ при каждом $t \in T$.

Интересно отметить, что в элементарном случае, когда требуется построить последовательность независимых действительных случайных величин с заданными распределениями, это легко сделать непосредственно (без теоремы Колмогорова) следующим образом.

Пусть $\Omega = [0,1], \mathscr {F} = \mathscr {B}([0,1])$ и $\mathbb {P} =$ mes (мера Лебега). Рассмотрим двоичное разложение числа $\omega \in \Omega$ :

где коэффициенты $a_{k}(\omega )$ равны 0 или 1. Представление (50) неоднозначно. Предполагается, что в неоднозначных случаях рассматриваются только представления с бесконечным количеством нулей среди коэффициентов $a_{k}(\omega )$.

Проверьте, что величины $a_{1}(\omega ), a_{2}(\omega ), \ldots$, введенные в (50), образуют последовательность независимых случайных величин на указанном вероятностном пространстве $(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$, причем такую, что

Докажите, что если на некотором вероятностном пространстве $(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$ имеется последовательность независимых случайных величин, удовлетворяющих условию (51), то случайная величина $\xi (\omega ) = \sum_{k = 1}^{\infty } a_{k}(\omega ) 2^{-k}$ имеет равномерное распределение на отрезке $[0,1]$.

Докажите, что если $F$ — некоторая функция распределения и $U$ — равномерно распределенная на отрезке $[0,1]$ случайная величина (заданная на некотором вероятностном пространстве), то $X(\omega ) = F^{\text{inv }}(U(\omega ))$ является случайной величиной с функцией распределения $F$ (обобщенная обратная функция $F^{\operatorname {inv}}(x) = \inf \left\{ y: F(y) \geqslant x\right\} , x \in [0,1]$; если $F(y) < 1$ для всех $y \in \mathbb {R}$, то $F^{\text{inv }}(1): = +\infty$; если $F(y) > 0$ для всех $y \in \mathbb {R}$, то $\left.F^{\operatorname {inv}}(0): = -\infty \right)$.

Расположим величины $a_{1}, a_{2}, \ldots$, фигурирующие в (50), в виде таблицы

(например, $b_{11} = a_{1}, b_{12} = a_{2}, b_{21} = a_{3}, b_{31} = a_{4}, b_{22} = a_{5}, b_{13} = a_{6}, \ldots$ ) и определим величины $U_{n}(\omega ) = \sum_{k = 1}^{\infty } b_{n k}(\omega ) 2^{-k}, n \in \mathbb {N}$.

Из упражнений 2 и 3 следует, что для любых заданных функций распределения $F_{1}, F_{2}, \ldots$ величины (со значениями в $\left.\bar{R} = [-\infty ,+\infty ]\right) X_{n} = F_{n}^{\text{inv }}\left(U_{n}\right), n \in \mathbb {N}$, будут независимы и $\mathbb {P}\left(X_{n} \leqslant x\right) = F_{n}(x), x \in \mathbb {R}$.

(сравните с теоремой 6 ). Приведите пример семейства $\sigma$-алгебр $\mathscr {A}_{\lambda }, \lambda \in \Lambda$, состоящих из некоторых подмножеств $\Omega$ таких, что $\bigcup_{\lambda \in \Lambda } \mathscr {A}_{\lambda }$ не является $\sigma$-алгеброй.

Теорема 6. Пусть $T$ — бесконечное множество и $N(T)$ — совокупность счетных подмножеств $T$. Тогда для $\sigma$-алгебры $\mathscr {B}_{T}$ справедливы представления $\mathscr {B}_{T} = \sigma \left\{ \mathscr {C}_{T}\right\}$ и $\mathscr {B}_{T} = \bigcup_{U \in N(T)} \mathscr {B}_{T, U}$, где $\mathscr {C}_{T}$ — алгебра цилиндрических множеств (объединение $\mathscr {B}_{T, J}$ по всем конечным $J \subset T$), а $\mathscr {B}_{T, U} = \pi_{T, U}^{-1} \mathscr {B}_{U}$ — $\sigma$-алгебра множеств пространства $S_{T}$, зависящих только от координат из $U$ (прообраз $\mathscr {B}_{U}$ относительно координатной проекции $\pi_{T, U}: S_{T} \rightarrow S_{U}$). Иначе говоря, принадлежность функции $y \in S_{T}$ любому множеству из $\mathscr {B}_{T}$ определяется только ее значениями на некотором счетном подмножестве $T$. Так что в этом смысле объединение $\bigcup_{U \in N(T)} \mathscr {B}_{T, U}$ — особый, устроенный по счетным подмножествам случай объединения $\sigma$-алгебр, которое все же остается $\sigma$-алгеброй.

Получите обобщение леммы 7 на случайные элементы со значениями в борелевском пространстве.

Лемма 7. Пусть вероятностное пространство $(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$ полно и $\sigma$-алгебра $\mathscr {A} \subset \mathscr {F}$. Действительная случайная величина $Y(\omega )$ является $\mathscr {A}$-измеримой тогда и только тогда, когда найдется $\mathscr {A}$-измеримая действительная случайная величина $Z(\omega )$ такая, что $Y = Z$ ($\mathbb {P}$-п.в.), т.е. $\mathbb {P}\left(\omega \in \Omega : Y(\omega ) \neq Z(\omega )\right) = 0$.

Пусть множество $G$ состоит из функций $g: \mathbb {R}^{d} \rightarrow \mathbb {R}$, которые не убывают по каждому аргументу. Покажите, что $G \notin \mathscr {B}_{T}\left(\mathrm{~ S}_{t} = \mathbb {R}, t \in T = \mathbb {R}^{d}\right)$. Тем не менее, найдите $\mathbb {P}_{X}\left(G\right)$, где $X = \left\{ X_{t} = \xi (1+f(t) \eta ), t \in \mathbb {R}^{d}\right\} , f: \mathbb {R}^{d} \rightarrow \mathbb {R}$ является невозрастающей по каждой переменной функцией, а $\xi$ и $\eta$ — независимые величины, равномерно распределенные на отрезке $[-1,2]$.

(сравните с упражнением 2 ). Докажите, что на $(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P}) = ([0,1], \mathscr {B}([0,1]), \mathbb {P})$, где $\mathbb {P}$ — мера Лебега, невозможно построить (континуальное) семейство $\left\{ X_{t}, t \in \mathbb {R}\right\}$ независимых бернуллиевских величин, т. е. таких случайных величин $X_{t}, t \in \mathbb {R}$, что

Докажите, что ни на каком вероятностном пространстве невозможнно задать семейство независимых одинаково распределенных действительных невырожденных случайных величин $X(t, \omega ), t \in \mathbb {R}, \omega \in \Omega$, так, чтобы с вероятностью 1 траектории $X(\cdot , \omega )$ были непрерывны на $\mathbb {R}$.

(сравните с теоремой 4). Пусть $C(\mathbb {R})$ — пространство действительных функций, непрерывных на $\mathbb {R}$. Зададим на цилиндрических множествах вида $D_{J} = \left\{ x \in C(\mathbb {R}): x(t) \in B_{t}, t \in J\right\}$, где $B_{t} \in \mathscr {B}(\mathbb {R}), t \in J$ и $J \in F(\mathbb {R})(F(\mathbb {R})$ совокупность конечных подмножеств $\mathbb {R}$ ), функции

здесь $\mathbb {Q}_{0}$ — некоторая мера на $\mathscr {B}(\mathbb {R})$. Можно ли ввести меру $\mathbb {P}$ на $\sigma$-алгебре цилиндрических множеств пространства $C(\mathbb {R})$ так, чтобы $\mathbb {P}\left(D_{J}\right) = \mathbb {Q}_{J}\left(D_{J}\right)$ для всех $J \in F(\mathbb {R})$ и любых введенных выше цилиндров $D_{J}$ ?

Как выглядят траектории процесса (11)?

Пусть $m = 1$ в определении (13), т.е. $\left\{ \zeta_{j}\right\}$ — независимые одинаково распределенные скалярные случайные величины, и пусть $d = 1$. Положим

Постройте график траектории этого процесса в следующих случаях:

Пусть $m = 1$ в определении (12). Положим

Постройте график траектории процесса $F_{n}^{*}(x, \omega )$, который принято называть эмпирической функцией распределения. В чем будет отличие случаев, когда $\xi_{j}$ равномерно распределены на $[0,1]$ и когда $\xi_{j}$ — бернуллиевские величины c $\mathbb {P}\left(\xi_{j} = 1\right) = p, \mathbb {P}\left(\xi_{j} = 0\right) = 1-p, 0 < p < 1 ?$

Введем следующее определение.

Определение 15. Класс множеств $\mathscr {M} \subset \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{m}\right)$ называется конечно-аппроксимируемым относительно меры $\mathbb {Q}$, заданной на $\mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{m}\right)$, если при любом $\varepsilon > 0$ можно указать множества $S_{1}^{(\varepsilon )}, \ldots , S_{N}^{(\varepsilon )} \in \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{m}\right)$, где $N = N(\varepsilon )$, такие, что для каждого $B \in \mathscr {M}$ найдутся $S_{i}^{(\varepsilon )}$ и $S_{j}^{(\varepsilon )}$ со свойствами $S_{i}^{(\varepsilon )} \subset B \subset S_{j}^{(\varepsilon )}$ и $\mathbb {Q}\left(S_{j}^{(\varepsilon )} \backslash S_{i}^{(\varepsilon )}\right) < \varepsilon$.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 8 (см. [3; с. 421]). Пусть $\mathscr {M}$ — класс множеств, являющийся конечно-аппроксимируемым относительно меры $\mathbb {Q}$. Пусть $\mathbb {P}_{n}\left(B, \omega \right)$ — процесс, определенный формулой (12), и соответствующие векторы имеют закон распределения $\mathbb {P}_{\xi_{1}} = \mathbb {Q}$. Тогда

для всех $\omega \in \widetilde{\Omega }$, где $\Omega \backslash \widetilde{\Omega } \subset \Omega_{0}$ и $\mathbb {P}\left(\Omega_{0}\right) = 0$. Иначе говоря, если вероятностное пространство ( $\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$ полно, то в (52) имеет место сходимость почти наверное.

Докажите, что класс $\mathscr {M} = \left\{ (-\infty , x], x \in \mathbb {R}^{m}\right\}$, т.е. совокупность множеств вида $\left(-\infty , x_{1}\right] \times \cdots \times \left(-\infty , x_{m}\right], \left(x_{1}, \ldots , x_{m}\right) \in \mathbb {R}^{m}$, является конечно-аппроксимируемым относительно любой (вероятностной) меры Q. Тем самым справедлив многомерный вариант теоремы Гливенко-Кантелли о п.н. равномерной сходимости при $n \rightarrow \infty$ эмпирических функций распределения $F_{n}^{*}(x, \omega ): = \mathbb {P}_{n}\left((-\infty , x], \omega \right)$ к функции распределения $F_{\xi_{1}}(x)$ :

Докажите, что если мера $\mathbb {Q} = \mathbb {P}_{\xi_{1}}$ является абсолютно непрерывной относительно меры Лебега в $\mathbb {R}^{m}$, то утверждение (52) также справедливо для класса $\mathscr {M}$, являющегося классом выпуклых множеств. (Это утверждение, вытекающее из упражнения 13 при $m = 1$, становится нетривиальным и не вытекающим из него, если $m \geqslant 2$.)

Покажите, что утверждение, содержащееся в упражнении 14 , может стать неверным, если отказаться от условия абсолютной непрерывности $Q$ относительно меры Лебега (при $m \geqslant 2$ ).

Об исследовании эмпирических мер, а также эмпирических процессов, индексированных семейством функций, см., например, [120].

Пусть $\mathscr {A} \subset \mathscr {B}\left([0,1]^{d}\right), d \geqslant 1$. Для функции $F: \mathscr {A} \rightarrow \mathbb {R}$ обозначим

Положим $F_{\delta }(A) = \operatorname {mes}\left(A^{(\delta )}\right), A \in \mathscr {A}, \delta > 0$ и $A^{(\delta )} = \left\{ x \in \mathbb {R}^{d}: \rho (x, \partial A) < \delta \right\}$, $\rho (x, \partial A) = \inf_{y \in \partial A} \rho (x, y), \rho$ — евклидова метрика и mes — мера Лебега в $\mathbb {R}^{d}$.

Предпюложим, что класс множеств $\mathscr {A} \subset \mathscr {B}\left([0,1]^{d}\right)$ таков, что

Докажите, что свойство (53) выполнено, если $\mathscr {A}$ — класс прямоугольников вида $\left[a_{1}, b_{1}\right] \times \cdots \times \left[a_{d}, b_{d}\right] \subset [0,1]^{d}$.

Справедлив следующий равномерный усиленный закон больших чисел.

Теорема 9 ([96]). Пусть $\left\{ X_{j}, j \in \mathbb {N}^{d}\right\}$ — случайное поле, состоящее из независимых одинаково распределенных действительных величин со средним с $c_{0}$. Пусть класс множеств $\mathscr {A} \subset \mathscr {B}\left([0,1]^{d}\right)$ удовлетворяет условию (53). Тогда

здесь $S_{n}(A) = \sum_{j \in n A} X_{j}, n A = \left\{ x = n y, y \in A\right\} , n \in \mathbb {N}$, т. е. с нормировкой $n^{-d}$ рассматривается процесс частных сумм (13), где $\mu$ — считающая мера.

О центральной предельной теореме и законе повторного логарифма для процессов, индексированных множествами, см., например, $[90,94]$.

Процессы восстановления (10) играют важную роль в прикладных исследованиях. Процесс восстановления называется дискретным, если распределение $\xi_{1}$ решетчатое, т.е. сосредоточено на множестве вида $k \lambda$, где $k \in \mathbb {Z}$, а $\lambda > 0$ — параметр, называемый “шагом распределения" (если $\xi_{1}$ — неотрицательная величина, то $k = 0,1,2, \ldots )$. В противном случае процесс восстановления называется непрерывным. Определим функцию восстановления $u(t), t > 0$, как среднее число восстановлений на промежутке $(0, t]$, т.е. $u(t) = \mathbb {E}\left[X_{t}\right]$.

Докажите, что $u(t) < \infty$ для всех $t > 0$.

Имеет место следующая основная теорема теории восстановления (см., например, [78; т. 2, с. 408]).

Теорема 10 (Блэкуэлл). Для непрерывного процесса восстановления

при $t \rightarrow \infty$ для любого фиксированного $s > 0$, где $c = \mathbb {E}\left[\xi_{1}\right]$ (считаем формально $s / \infty = 0)$. Для дискретного процесса восстановления утверждение верно при $s$, кратных шагу $\lambda$ распределения $\xi_{1}$.

Наглядно "почти очевидно", что если среднее время жизни электрических лампочек есть $c$, то за время $s$ "в среднем" требуется $s / c$ замен. Однако получить утверждение теоремы 10 довольно сложно. Вероятностное доказательство этой теоремы можно прочитать, например, в [1; с. 46-50] или $[190$; п. 8 гл. 2]. О процессах восстановления см. также $[4$; гл. 9], [78; том 2 , гл. 11], [125; гл. 5], [131; гл. 25], [146; гл. 8].

Объясните, почему функция $Z(B, \cdot )$, определенная согласно (14), является при каждом $B \in \mathscr {B}(\mathrm{S})$ случайной величиной со значениями в пространстве $\left(\mathbb {Z}_{+}, \mathscr {A}\right)$, где $\mathbb {Z}_{+} = \left\{ 0,1, \ldots \right\} = \left\{ 0\right\} \cup \mathbb {N}, \mathscr {A}$ — $\sigma$-алгебра всех подмножеств $\mathbb {Z}_{+}$. (Отсюда вытекает, что $Z = \left\{ Z(B), B \in \mathscr {B}(\mathrm{S})\right\}$ — действительный случайный процесс, индексированный множествами $\mathscr {B}(\mathrm{S})$.)

Пусть $\lambda$ есть $\sigma$-конечная мера на некотором измеримом пространстве ( $\mathrm{S}, \mathscr {B}$ ) $\left(\mathrm{S} = \bigcup_{m = 1}^{\infty } \mathrm{S}_{m}\right.$, где $\mathrm{S}_{m} \in \mathscr {B}, \mathrm{S}_{m} \cap \mathrm{S}_{k} = \varnothing$ при $m \neq k$ и $0 < \lambda \left(\mathrm{S}_{m}\right) < \infty$, $m, k \in \mathbb {N}$ ). В этом случае конструкцию пуассоновской случайной меры (14) легко модифицировать следующим образом.

Построим на некотором вероятностном пространстве $(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$ счетную совокупность независимых величин

таких, что $Y^{(m)}$ имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda_{m} = \lambda \left(\mathrm{S}_{m}\right)$ и $\operatorname {Law}\left(X_{j}^{(m)}\right) = \lambda (\cdot ) / \lambda \left(\mathrm{S}_{m}\right)$ на $\mathscr {B}_{m} = \mathscr {B} \cap \mathrm{S}_{m} ; m, j \in \mathbb {N}$. Пусть $Z_{m}(B, \omega )$ для $B \in \mathscr {B}_{m}$ определяется согласно (14) с заменой $Y$ на $Y^{(m)}$ и $X_{j}$ на $X_{j}^{(m)}$. Положим

Отметим, что $Z(B, \omega )$ может принимать и бесконечные значения.

Докажите, что если $\lambda (B) = \infty$ для некоторого $B \in \mathscr {B}$, то $Z(B) = \infty$ п.н., а если $\lambda (B) < \infty$, то $Z(B) < \infty$ п.н.

Теорема 11 (см. [12; с. 23]). Процесс (54), называемый пуассоновской случайной мерой, обладает следующими свойствами:

1. Для любого $n \in \mathbb {N}$ и любых непересекающихся множеств $B_{1}, \ldots , B_{n} \in \mathscr {B}$ величины $Z\left(B_{1}, \cdot \right), \ldots , Z\left(B_{n}, \cdot \right)$ независимы.

2. Для каждого $B \in \mathscr {B}$ величина $Z(B, \cdot )$ имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda (B)$.

3. Траектории $Z(\cdot , \omega )$ являются целочисленными мерами на $\sigma$-алгебре $\mathscr {B}$. Уточним, что пуассоновскую величину с параметром $\lambda = \infty$ мы понимаем как величину, равную бесконечности с вероятностью единица.

Величину $Z(B)$ можно интерпретировать как число "случайных точек", попавших во множество $B \in \mathscr {B}$. В этой связи интерес представляет следующее упражнение.

(см. [32; с. 370]). Пусть $B \in \mathscr {B}$ таково, что $0 < \lambda (B) < \infty$, где $\lambda$ есть $\sigma$-конечная мера на ( $\mathrm{S}, \mathscr {B})$. Пусть $B = \bigcup_{q = 1}^{n} B_{q}$, где $B_{q} \in \mathscr {B}, B_{j} \cap B_{q} = \varnothing$ при $q \neq j(q, j = 1, \ldots , n)$. Докажите, что для любых $k_{1}, \ldots , k_{n} \in \mathbb {Z}_{+}$и $k = \sum_{q = 1}^{n} k_{q}$ верно равенство

Таким образом, если $\mathscr {B} = \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{d}\right), d \geqslant 1$, то при фиксированном числе "пуассоновских точек", попавших во множество $B$ (конечного и ненулевого объема) их местоположение можно рассматривать как такое, какое имеют $k$ независимых случайных величин, равномерно распределенных в $B$.

Случайным точечным процессам и полям (не только пуассоновским), как важным моделям, используемым в физике, технике и других областях, посвящена обширная литература (см., например, $[10,13,111,145,151,156,178]$ ).

Обратимся к вопросам, связанным с отождествлением (см. §20) случайных функций.

Приведите пример действительных процессов $X = \left\{ X_{t}, t \in T\right\}$ и $Y = \left\{ Y_{t}, t \in T\right\}$, заданных на одном вероятностном пространстве $(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$, таких, что $\mathbb {P}_{X} = \mathbb {P}_{Y}$ на $\mathscr {B}_{T}$, но $X$ и $Y$ (стохастически) неэквивалентны. Приведите пример, когда $\mathbb {P}_{X} \neq \mathbb {P}_{Y}$, но распределения $X_{t}$ и $Y_{t}$ совпадают при каждом $t \in T$.

Приведите пример (действительного) процесса $X = \left\{ X_{t}, t \in T\right\}$ и множеств $D, L \notin \mathscr {B}_{T}$ таких, что $\left\{ \omega : X(\cdot , \omega ) \in D\right\} \in \mathscr {F}$ и $\left\{ \omega : X(\cdot , \omega ) \in L\right\} \notin \mathscr {F}$.

Приведите пример эквивалентных процессов $X = \left\{ X_{t}, t \in T\right\}$ и $Y = \left\{ Y_{t}, t \in T\right\}$, а также множества $D \notin \mathscr {B}_{T}$ таких, что $A = \left\{ \omega : X(\cdot , \omega ) \in D\right\} \in \mathscr {F}$ и $B = \left\{ \omega : Y(\cdot , \omega ) \in D\right\} \in \mathscr {F}$, но $\mathbb {P}\left(A\right) \neq \mathbb {P}\left(B\right)$.

Упражнения 22 и 23 показывают, что не всегда можно говорить о вероятности попадания процессаво множество, не входящее в цилиндрическую $\sigma$-алгебру, но если это и возможно, то вероятность попадания в такое множество не обязана определяться конечномерными распределениями процесса.

Приведите пример (стохастически) эквивалентных процессов таких, что они не являются неразличимыми.

В связи с тем, что многие важные для теории и приложений множества не входят в $\sigma$-алгебру $\mathscr {B}_{T}$ (см. теорему 6), Дж. Дубом было предложено понятие сепарабельности процесса, которое позволяет в определенных случаях строить версию процесса, поведение которой, по сути дела, задается значениями на счетном параметрическом множестве.

Определение 16. Пусть на вероятностном пространстве $(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$ имеется случайный процесс $X = \left\{ X_{t}, t \in T\right\}$, где $T$ — топологическое пространство, принимающий при каждом $t \in T$ значения в польском пространстве ( $\mathrm{S}, \rho$ ). Процесс $X = \left\{ X_{t}, t \in T\right\}$ называется сепарабельным по отношению $\kappa$ множеству сепарабельности $T_{0} \subset T$, если $T_{0}$ — счетное всюду плотное в $T$ множество и существует событие $N \in \mathscr {F}$ такое, что $\mathbb {P}\left(N\right) = 0$ и для всех $t \in T, \omega \in \Omega \backslash N$

здесь $[B]$ обозначает замыкание множества $B$, а $\mathscr {J}$ — совокупность открытых множеств в $(\mathrm{S}, \rho )$.

Процесс $X$ называют сепарабельным, если в качестве множества сепарабельности $T_{0}$ может быть взято любое счетное всюду плотное подмножество $T$.

Теорема 12 (см. [153; с. 128]). Пусть (S, $\rho$ ) — компактное метрическое пространство, и (T, $\delta )$ — псевдометрическое пространство. Тогда случайный процесс $X = \left\{ X_{t}, t \in T\right\}$, определенный на $(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$ и при каждом $t \in T$ принимающий значения в ( $\mathrm{S}, \rho )$, имеет сепарабельную модификацию. Если $\mathrm{S}$ — локально компактное пространство, то теорема действует при одноточечной компактификации S.

В качестве упражнения можно сравнить определение 16 с определениями, приведенными в $[101$; с. 111$]$, где рассмотрен случай $T = [0,1], \mathrm{S} = \overline{\mathbb {R}}$. О сепарабельных процессах см. также $[12,25]$.

Теорема 13 ([79]). Пусть выполнены условия теоремы 12 и процесс $X = \left\{ X_{t}, t \in T\right\}$ является стохастически непрерывным на $T$, т.е. для каждого $t \in T$ и любого $\varepsilon > 0$

Тогда у процесса $X$ существует модификация, являющаяся сепарабельной и измеримой.

Докажите, что если S — сепарабельное метрическое пространство, то под знаком вероятности в (56) стоит событие, т. е. множество, принадлежащее $\mathscr {F}$ (указание: воспользуйтесь леммой 11).

Докажите, что если процесс измерим (см. определение 14), то каждая его траектория является $\mathscr {A} \mid \mathscr {B}$-измеримой функцией. Верно ли обратное утверждение? Приведите пример процесса, не имеющего измеримой модификации.

Определение 14. Пусть $(T, \mathscr {A})$ — измеримое пространство. Случайный процесс $X = \left\{ X_{t}, t \in T\right\}$, определенный на $(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$ и принимающий при каждом $t \in T$ значения в измеримом пространстве $(\mathrm{S}, \mathscr {B})$, называется измеримым, если отображение $(t, \omega ) \mapsto X_{t}(\omega ) \in \mathrm{S}$, $(t, \omega ) \in T \times \Omega$, является $\mathscr {A} \otimes \mathscr {F} \mid \mathscr {B}$-измеримым.

Пусть $X = \left\{ X_{t}, t \in T\right\}$ — измеримый процесс и $\tau : \Omega \rightarrow T, \tau \in \mathscr {F} \mid \mathscr {A}$. Докажите, что тогда $Y(\omega ) = X_{\tau (\omega )}(\omega )$ есть $\mathscr {F} \mid \mathscr {B}$-измеримая величина. Покажите, что если отказаться от условия измеримости процесса $X$, то сформулированное утверждение не обязано выполняться.

Случайные величины $X_{\tau }$, порожденные, скажем, "случайным числом случайных величин" ( $\left.X_{\tau } = \sum_{k \leqslant \tau } \xi_{k}\right)$, где $\tau$ — целочисленная случайная величина, используются в многочисленных приложениях, например, в теории страхования. При этом для таких случайно индексированных сумм возникают эффекты, которые не наблюдаются для сумм детерминированного числа слагаемых (см., например, [133]).

Пусть почти все траектории процесса $X = \left\{ X(t), t \geqslant 0\right\}$ являются непрерывными справа на $[0, \infty )$. Докажите, что такой процесс имеет измеримую модификацию.

Различные постановки задач о построении процессов с заданными свойствами траекторий изложены, например, в [12] на с. 120-130. В дополнении к главе II мы также затронем некоторые вопросы, относяшиеся к этой проблематике.