Классы линейных операторов в гильбертовом пространстве

$A^{* *} = \left(A^{*}\right)^{*} = A$;

$\left\| A^{*}\right\| = \left\| A\right\| = \sqrt{\left\| A^{*} A\right\| } = \sqrt{\left\| A A^{*}\right\| }$;

если $A = A^{*}$, то $\left\| A^{2}\right\| = \left\| A\right\|^{2}$.

Если $(T, \mu )$ — пространство с $\sigma$-конечной мерой и $A$ — интегральный оператор в комплексном гильбертовом пространстве $L_{2}(T, \mu )$ с ядром $K \in L_{2}(T \times T, \mu \times \mu )$, т.е.

то $A^{*}$ — интегральный оператор с ядром $K^{*}(t, s) = \overline{K(s, t)},(t, s) \in T \times T$.

Если $H$ — комплексное сепарабельное гильбертово пространство и оператор $A$ представлен матрицей $\left(a_{j k}\right)_{j, k = 1}^{\infty }$, то оператор $A^{*}$ представлен матрицей $\left(a_{j k}^{*}\right)_{j, k = 1}^{\infty }$, где $a_{j k}^{*} = \overline{a_{k j}}, j, k \in \mathbb {N}$.

$H = l_{2}, A x = \left(0, x_{1}, x_{2}, \ldots \right)$;

$H = L_{2}(\left[0,1\right]),(A x)(t) = \int_{0}^{t} x(s) d s$.

Если $U: H \rightarrow H, R(U) = H$ и $(U x, U y) = (x, y), x, y \in H$, то $U$ — непрерывный линейный оператор (и, следовательно, $U$ — унитарный оператор) и $\left\| U\right\| = 1$.

Оператор $U \in \mathcal{L}(H)$ унитарен тогда и только тогда, когда он непрерывно обратим и $U^{-1} = U^{*}$; в этом случае $U^{*}$ также унитарный оператор.

Если $P: H \rightarrow H$ — оператор ортогонального проектирования на подпространство $G \subset H$, то $P \in \mathcal{L}(H)$, и если $G \neq \left\{ 0\right\}$, то $\left\| P\right\| = 1$.

Оператор $P \in \mathcal{L}(H)$ является оператором ортогонального проектирования на некоторое подпространство $G \subset H$ тогда и только тогда, когда $P^{*} = P$ и $P^{2} = P$. В этом случае $G = \left\{ x \in H: P x = x\right\}$.

$I^{*} = I, 0^{*} = 0$;

$(\alpha A+\beta B)^{*} = \bar{\alpha } A^{*}+\bar{\beta } B^{*}, \alpha , \beta \in \mathbb {C}$;

$(A B)^{*} = B^{*} A^{*}$;

если $A = A^{*}, B^{*} = B$, то $(A B)^{*} = A B \Leftrightarrow A B = B A$;

если существует $A^{-1} \in \mathcal{L}(H)$, то также существует $\left(A^{*}\right)^{-1} \in \mathcal{L}(H)$, и $\left(A^{*}\right)^{-1} = \left(A^{-1}\right)^{*}$.

если $\mathbb {K} = \mathbb {C}$, то

(поляризационное тождество);

если $\mathbb {K} = \mathbb {R}$, то форма $b$ симметрична (т.е. $b(x, y) = b(y, x), x, y \in H$) тогда и только тогда, когда $4 b(x, y) = b\left[x+y\right]-b\left[x-y\right], x, y \in H$.

билинейная форма $b$ ограничена;

существует оператор $A \in \mathcal{L}(H)$ такой, что $b(x, y) = (A x, y), x, y \in H$; в этом случае $\left\| b\right\| = \left\| A\right\|$;

существует оператор $C \in \mathcal{L}(H)$ такой, что $b(x, y) = (x, C y), x, y \in H$; в этом случае $\left\| b\right\| = \left\| C\right\|$.

$b(x, y) = \frac{1}{N} \sum_{k = 1}^{N} b\left[x+e^{\frac{2 \pi i k}{N}} y\right] e^{\frac{2 \pi i k}{N}}, x, y \in H, N \in \mathbb {N}, N \geq 3$;

$b(x, y) = \frac{1}{2 \pi } \int_{0}^{2 \pi } b\left[x+e^{i \varphi } y\right] e^{i \varphi } d \varphi , x, y \in H$.

оператор $A \in \mathcal{L}(H)$ самосопряжён;

билинейная форма $b_{A}$, порождённая оператором $A$, эрмитова;

квадратичная форма $b_{A}\left[x\right] = b_{A}(x, x), x \in H$, принимает только действительные значения.

Пусть $H$ — комплексное гильбертово пространство, $A \in \mathcal{L}(H)$. Доказать, что $A = 0$ тогда и только тогда, когда $(A x, x) = 0$ для всех $x \in H$.

Привести пример действительного гильбертова пространства $H$ и ненулевого оператора $A \in \mathcal{L}(H)$ такого, что $(A x, x) = 0$ для всех $x \in H$.

если $A^{*} = A$, то $A^{2} \geq 0$;

условие $A^{*} = A$ в пункте (1) существенно;

если $A \leq B, B \leq A$, то $A = B$;

если $A \leq B, B \leq C$, то $A \leq C$;

если $A \leq C, B \leq D$, то $A+B \leq C+D$;

если $A \leq B, \lambda \geq 0$, то $\lambda A \leq \lambda B$;

если $A \leq B$, то $-B \leq -A$;

если $A^{*} = A, B^{*} = B$ и $A B = B A$, то $A^{2}+B^{2} \geq 2 A B$;

если $A^{*} = A$, то существуют $m, M \in \mathbb {R}$ такие, что $m I \leq A \leq M I$;

если $A^{*} = A, B^{*} = B$, то не обязательно $A \leq B$ или $B \leq A$;

если $A^{*} = A, A \geq 0$ и $A^{-1} \in \mathcal{L}(H)$, то $A^{-1} \geq 0$;

если $A$ и $B$ — унитарные операторы, то $A B$ также унитарный оператор;

если $A^{*} = A, B^{*} = B, A \geq B$, то операторы $C^{*} A C, C^{*} B C$ самосопряжены и $C^{*} A C \geq C^{*} B C$;

если $A^{2} = A$, то $R(A) = \operatorname {Ker}(I-A)$, в частности, множество $R(A)$ является подпространством $H$;

если $\mathbb {K} = \mathbb {C}, \alpha , \beta \in \mathbb {C},\left|\alpha \right| = \left|\beta \right| = 1$, то оператор $\alpha A+\beta A^{*}$ нормален;

если $A$ — ортопроектор, то $A \geq 0$;

если $A$ — ортопроектор, то $I-A$ также ортопроектор;

если $\mathbb {K} = \mathbb {C}, A = A^{*}, B = B^{*}$, то оператор $C = i(A B-B A)$ самосопряжён.

$A$ изометричен $\Leftrightarrow \left\| A x\right\| = \left\| x\right\| , x \in H$;

если $H$ — конечномерное пространство, то $A$ унитарен тогда и только тогда, когда $A$ изометричен;

$A$ изометричен $\Leftrightarrow A^{*} A = I$;

$A$ унитарен $\Leftrightarrow A^{*} A = I$ и $A A^{*} = I$;

если $H$ — бесконечномерное пространство, существует $A$, который изометричен, но не унитарен.

$A$ самосопряжён $\Leftrightarrow \mathcal{A}^{*} = \mathcal{A}$;

$A$ унитарен $\Leftrightarrow A$ изометричен $\Leftrightarrow \mathcal{A}^{*} \mathcal{A} = \mathcal{J}$;

$A$ неотрицателен $\Leftrightarrow \mathcal{A}^{*} = \mathcal{A}$ и все корни уравнения $\operatorname {det}\left(\mathcal{A}-\lambda \mathcal{J}\right) = 0$ неотрицательны;

если оператор $A$ в гильбертовом пространстве $\mathbb {R}^{m}$ представлен матрицей $\mathcal{A}$, и $\mathcal{A}^{*} = \mathcal{A}^{T}$ — транспонированная матрица, то утверждения (1)-(3) верны, но условие $(A x, x) \geq 0, x \in \mathbb {R}^{m}$, не влечёт, что оператор $A$ самосопряжён, так как не обязательно $\mathcal{A}^{*} = \mathcal{A}$.

$A x = \left(\alpha_{1} x_{1}, \alpha_{2} x_{2}, \ldots \right)$;

$A x = \left(x_{2}, x_{3}, \ldots \right)$;

$A x = \left(x_{1}, \ldots , x_{j}, 0,0, \ldots \right)$;

$A x = (\underbrace{0, \ldots , 0}_{j-1}, x_{1}, 0,0, \ldots )$;

$A x = (\underbrace{x_{1}, \ldots , x_{1}}_{j}, 0,0, \ldots )$;

$A x = \left(x_{2}, x_{1}, x_{4}, x_{3}, x_{6}, x_{5}, \ldots \right)$;

$A x = \left(\alpha_{j} x_{j}, \alpha_{j+1} x_{j+1}, \ldots \right)$;

$A x = \left(0,0, \alpha_{1} x_{1}, \alpha_{2} x_{2}, \ldots \right)$;

$A x = \left(2 x_{1}+3 x_{2}, 3 x_{1}+5 x_{2}, x_{3}, 0,0, \ldots \right)$;

$A x = \left(x_{1}, 4 x_{2}+7 x_{3}, 7 x_{2}+2 x_{3}, 0, x_{5}, 0,0, \ldots \right)$;

$A x = \left(3 x_{1}-2 x_{2}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, \ldots \right)$, где $j \in \mathbb {N}$ фиксировано, а $\left\{ \alpha_{n}: n \geq 1\right\} \subset \mathbb {C}$ — фиксированная ограниченная последовательность.

$H = L_{2}(\mathbb {R}),(A x)(t) = \chi_{\left[-\alpha , \alpha \right]}(t) x(t)$, где $\alpha > 0$;

$H = L_{2}(\left[0,1\right]),(A x)(t) = t x(t)$;

$H = L_{2}(\mathbb {R}),(A x)(t) = a(t) x(t+\tau )$, где $a \in L_{\infty }(\mathbb {R})$ — заданная функция, $\tau \in \mathbb {R} ;$

$H = L_{2}(\mathbb {R}),(A x)(t) = \frac{1}{2}(x(t)+x(-t))$;

$H = L_{2}(\left[0,1\right]),(A x)(t) = \int_{0}^{1} e^{t+s} x(s) d s$;

$H = L_{2}(\left[0,1\right]),(A x)(t) = t^{3} \int_{0}^{t^{2}} x(s) d s$;

$H = L_{2}(\left[0,1\right]),(A x)(t) = \int_{0}^{1} t^{2} s^{3} x(s) d s$;

$H = L_{2}(\left[0,1\right]),(A x)(t) = \int_{t^{5}}^{t} t s x(s) d s$;

$H = L_{2}(\left[-1,1\right]),(A x)(t) = \int_{t^{2}}^{1}\left(t-3 s^{2}\right) x(s) d s$;

$H = L_{2}(\left[0,1\right]),(A x)(t) = x\left(t^{\alpha }\right)$, где $0 < \alpha \leq 1$;

$A x = (x, y) z$, где $y, z \in H$ — фиксированные элементы.

$H = L_{2}(\mathbb {R}),(A x)(t) = \sqrt{7} t^{3} x\left(t^{7}-1\right)$;

$H = L_{2}([0, \infty )),(A x)(t) = 2 t \sqrt{t} x\left(t^{4}\right)$.

$A$ самосопряжён;

$A$ нормален;

$A$ унитарен;

$A$ изометричен;

$A$ является оператором ортогонального проектирования;

$\operatorname {Ker} A = \left\{ 0\right\}$.

$A = A^{*} \Leftrightarrow$ функция $p$ почти всюду действительна;

$A$ унитарен $\Leftrightarrow \left|p\right| = 1$ почти всюду;

$A \geq 0 \Leftrightarrow p \geq 0$ почти всюду;

$A$ является оператором ортогонального проектирования $\Leftrightarrow p^{2} = p$ почти всюду, т.е. $p = \chi_{C}(\bmod \mu )$, где $C \in \mathcal{F}$ — измеримое множество.

Найти $A_{s}^{*}$ и $A_{s}^{-1}$ и доказать, что $A_{s}$ — унитарный оператор.

Пусть $A = \frac{1}{2}\left(A_{s_{0}}+A_{s_{1}}\right), s_{0}, s_{1} \in \mathbb {R}$. Доказать, что $A^{*} = A$ тогда и только тогда, когда $s_{0}+s_{1} = 0$.

Найти оператор ортогонального проектирования на линейную оболочку множества $\left\{ e_{1}, \ldots , e_{k}\right\} , k \in \mathbb {N}$.

Доказать, что оператор $A x = \sum_{n = 1}^{\infty } x_{\sigma (n)} e_{n}, x = \sum_{n = 1}^{\infty } x_{n} e_{n} \in H$, где $\sigma : \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ — фиксированная биекция, является унитарным оператором.

$A$ нормален, но не самосопряжён;

$A^{2} = A$, но $A$ не является оператором ортогонального проектирования;

$A$ — унитарный оператор, но не оператор ортогонального проектирования;

$A^{*} = A$, но не удовлетворяет ни одному из неравенств $A \geq 0, A \leq 0$;

$A^{2} = I$, но не удовлетворяет ни одному из неравенств $A \geq 0, A \leq 0$;

$A^{*} = A$, но область значений $R(A)$ не замкнута в $H$;

$A^{*} = A$, но множество $\left\{ (A x, x) \mid x \in H,\left\| x\right\| = 1\right\}$ не замкнуто в $\mathbb {R}$;

$A \geq 0, B \geq 0$, но $A B$ не положителен;

$A$ не нормален;

$A \neq 0$, но $A^{2} = 0$;

$A = A^{*}, B = B^{*}, A^{2} = B^{2}$, но $A B \neq B A$.

$\left|(A x, y)\right|^{2} \leq (A x, x)(A y, y), x, y \in H$;

$\left\| A x\right\|^{2} \leq \left\| A\right\| (A x, x), x \in H$.

$A^{*} = A$;

$A \geq 0$?

$A^{n} x \neq 0$ для всех $n \in \mathbb {N}$;

последовательность $\left\{ \alpha_{n} = \frac{\left\| A^{n+1} x\right\| }{\left\| A^{n} x\right\| }: n \geq 1\right\}$ сходится.

$\left\| A\right\| = \sup_{x, y \in S(0,1)}\left|(A x, y)\right|$;

если $A^{*} = A$, то $\left\| A\right\| = \sup_{x \in S(0,1)}\left|(A x, x)\right|$;

если $A^{*} = A$, то $A = 0$ тогда и только тогда, когда $(A x, x)$ = 0 для всех $x \in H$.

операторы $\mathrm{Re}\left(A\right) = \frac{1}{2}\left(A+A^{*}\right), \mathrm{Im}\left(A\right) = \frac{1}{2 i}\left(A-A^{*}\right)$ самосопряжены;

оператор $A$ можно единственным образом представить в виде $A = B+i C$, где $B$ и $C$ — самосопряжённые операторы;

оператор $A$ нормален $\Leftrightarrow \mathrm{Re}\left(A\right) \cdot \mathrm{Im}\left(A\right) = \mathrm{Im}\left(A\right) \cdot \mathrm{Re}\left(A\right)$;

оператор $A$ унитарен тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

(a) $A$ нормален;

(b) $(\mathrm{Re}\left(A\right))^{2}+(\mathrm{Im}\left(A\right))^{2} = I$.

$\operatorname {Ker} A = \operatorname {Ker} A^{*} = (R(A))^{\perp }$;

$\left\| A^{2}\right\| = \left\| A\right\|^{2}$;

если $A^{2} = 0$, то $A = 0$;

если существует $A^{-1} \in \mathcal{L}(H)$, то $A^{-1}$ — нормальный оператор.

$P$ — ортопроектор;

$P = P^{*}$;

$P P^{*} = P^{*} P$;

$\operatorname {Ker} P = (R(P))^{\perp }$;

$(P x, x) = \left\| P x\right\|^{2}, x \in H$.

$(P x, x) \geq 0, x \in H$.

$P_{1}+P_{2}$ является оператором ортогонального проектирования $\Leftrightarrow P_{1} P_{2} = 0 \Leftrightarrow H_{1} \perp H_{2}$; в этом случае $P_{1}+P_{2}$ — оператор ортогонального проектирования на $H_{1} \oplus H_{2}$;

$P_{1} P_{2}$ является оператором ортогонального проектирования $\Leftrightarrow P_{1} P_{2} = P_{2} P_{1} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \left(H_{1} \ominus H_{0}\right) \perp \left(H_{2} \ominus H_{0}\right)$; в этом случае $P_{1} P_{2}$ — оператор ортогонального проектирования на $H_{0}$;

$P_{1}-P_{2}$ является оператором ортогонального проектирования $\Leftrightarrow P_{1} \geq P_{2} \Leftrightarrow H_{1} \supset H_{2}$; в этом случае $P_{1}-P_{2}$ — оператор ортогонального проектирования на $H_{1} \ominus H_{0}$;

$P_{1} P_{2} = P_{2} \Leftrightarrow P_{2} P_{1} = P_{2} \Leftrightarrow P_{1} \geq P_{2} \Leftrightarrow H_{1} \supset H_{2}$.

Для оператора $A \in \mathcal{L}(H)$ выразить через алгебраические соотношения между $A$ и $P_{1}$ следующие утверждения:

$H_{1}$ инвариантно относительно $A$ (т.е. $A\left(H_{1}\right) \subset H_{1}$);

и $H_{1}$, и $H_{1}^{\perp }$ инвариантны относительно $A$.

$A_{n} \rightrightarrows A \Leftrightarrow A_{n}^{*} \rightrightarrows A^{*}$;

$A_{n} \xrightarrow {w} A \Leftrightarrow A_{n}^{*} \xrightarrow {w} A^{*}$;

$A_{n} \xrightarrow {s} A \Leftrightarrow A_{n}^{*} \xrightarrow {s} A^{*}$.

если $A_{n} = A_{n}^{*}, n \geq 1, A_{n} \xrightarrow {w} A, n \rightarrow \infty$, то $A = A^{*}$;

если $A_{n} \geq 0, n \geq 1, A_{n} \xrightarrow {w} A, n \rightarrow \infty$, то $A \geq 0$;

если $A_{n} \xrightarrow {w} A$ и $\left\| A_{n} x\right\| \rightarrow \left\| A x\right\|$ для всех $x \in H$, то $A_{n} \xrightarrow {s} A$; в частности, если $A, A_{n}, n \geq 1$, изометричны, то $A_{n} \xrightarrow {w} A \Leftrightarrow A_{n} \xrightarrow {s} A$;

если $A_{n}, n \geq 1$, и $A$ нормальны, $A_{n} \xrightarrow {s} A$, то $A_{n}^{*} \xrightarrow {s} A^{*}$;

если $A_{n}$ изометричны для каждого $n \geq 1$, и $A_{n} \xrightarrow {w} A$, то $A$ не обязательно изометричен;

если $A_{n}$ унитарны для каждого $n \geq 1$, и $A_{n} \xrightarrow {w} A$, то $A$ не обязательно унитарен.