Задачи

Пусть $X_{1}, X_{2}$ — нормированные линейные пространства, $A \in \mathcal{L}\left(X_{1}, X_{2}\right)$. Доказать равенства

Доказать, что непрерывный линейный оператор $A: X \rightarrow Y$ остаётся непрерывным, если нормы в $X$ и $Y$ заменить на эквивалентные.

Пусть $\left\| \cdot \right\|_{1}$ и $\left\| \cdot \right\|_{2}$ — две эквивалентные нормы на линейном пространстве $X$. Обозначим через $X_{i}$ линейное пространство $X$, снабжённое нормой $\left\| \cdot \right\|_{i}, i = 1,2$. Доказать, что нормы в $\mathcal{L}\left(X_{1}\right)$ и $\mathcal{L}\left(X_{2}\right)$ эквивалентны.

Пусть $X_{1}$ — конечномерное НЛП, $X_{2}$ — произвольное НЛП. Доказать, что каждый линейный оператор $A: X_{1} \rightarrow X_{2}$ непрерывен. В частности, любой линейный оператор в конечномерном НЛП непрерывен.

Найти общий вид линейного оператора $A: X \rightarrow Y$ (который непрерывен согласно задаче $6.8^{\circ }$) и вычислить его норму в следующих случаях:

Пусть $\left\{ \alpha_{n}: n \geq 1\right\}$ — ограниченная последовательность. Найти норму диагонального оператора $A x = \left(\alpha_{1} x_{1}, \alpha_{2} x_{2}, \ldots \right)$ в $l_{p}, 1 \leq p \leq \infty$.

Пусть $\alpha = \alpha (t)$ — фиксированная функция из $C(\left[a, b\right]), A$ — оператор умножения на функцию $\alpha :(A x)(t) = \alpha (t) x(t)$.

Пусть $A$ — оператор умножения на измеримую по Лебегу функцию $\alpha$ в $L_{p}(\left[a, b\right]), 1 \leq p \leq +\infty :(A x)(t) = \alpha (t) x(t)$. Доказать, что $A$ ограничен тогда и только тогда, когда $\alpha \in L_{\infty }(\left[a, b\right])$. Найти норму $A$.

Найти норму оператора $A: \mathbb {R}^{m} \rightarrow l_{2}$, если

$x = \left(x_{1}, \ldots x_{m}\right) \in \mathbb {R}^{m}$, если $\mathbb {R}^{m}$ снабжено евклидовой нормой.

Пусть $\left(\alpha_{j k}\right)_{j, k = 1}^{\infty }$ — бесконечная матрица с действительными или комплексными элементами такая, что $\sum_{j, k = 1}^{\infty }\left|\alpha_{j k}\right|^{2} < \infty$. Доказать, что оператор умножения на эту матрицу, определённый равенствами $(A x)_{j} = \sum_{k = 1}^{\infty } \alpha_{j k} x_{k}, j \geq 1$, линеен и непрерывен в пространстве $l_{2}$. Оценить норму $A$.

Интегральный оператор $A: C(\left[a, b\right]) \rightarrow C(\left[a, b\right])$ с непрерывным ядром $K \in C\left(\left[a, b\right]^{2}\right)$ определён формулой $(A x)(t) = \int_{a}^{b} K(t, s) x(s) d s, t \in [a, b]$, $x \in C(\left[a, b\right])$. Доказать, что $A$ линеен и непрерывен. Также доказать, что $\left\| A\right\| = \max_{t \in [a, b]} \int_{a}^{b}\left|K(t, s)\right| d s$.

Интегральный оператор $A: L_{1}(\left[a, b\right]) \rightarrow L_{1}(\left[a, b\right])$ с непрерывным ядром $K \in C\left(\left[a, b\right]^{2}\right)$ определён формулой $(A x)(t) = \int_{a}^{b} K(t, s) x(s) d s, t \in [a, b]$, $x \in L_{1}(\left[a, b\right])$. Доказать, что $A$ линеен и непрерывен. Также доказать, что $\left\| A\right\| = \max_{s \in [a, b]} \int_{a}^{b}\left|K(t, s)\right| d t$.

Интегральный оператор $A: L_{2}(\left[a, b\right]) \rightarrow L_{2}(\left[a, b\right])$ с ядром $K \in L_{2}\left(\left[a, b\right]^{2}\right)$ определён формулой $(A x)(t) = \underset {\left[a, b\right]}{\int } K(t, s) x(s) d s, t \in [a, b]$. Доказать, что $A$ линеен и непрерывен. Также доказать оценку

Интегральный оператор Вольтерра $A: C(\left[a, b\right]) \rightarrow C(\left[a, b\right])$ с непрерывным ядром $K$ определён формулой $(A x)(t) = \int_{a}^{t} K(t, s) x(s) d s, t \in [a, b]$, где $K \in C\left(\left\{ (t, s) \in \mathbb {R}^{2} \mid a \leq s \leq t \leq b\right\} \right)$. Доказать, что $A$ линеен и непрерывен. Найти $\left\| A\right\|$.

Пусть $u$ — непрерывная $2 \pi$-периодическая функция на $\mathbb {R}$. Интегральный оператор $A: L_{1}(\left[-\pi , \pi \right]) \rightarrow L_{1}(\left[-\pi , \pi \right])$ определён формулой $(A x)(t) = \int_{-\pi }^{\pi } u(t- s) x(s) d s, t \in [-\pi , \pi ]$. Доказать, что $A$ линеен и непрерывен. Найти $\left\| A\right\|$.

Пусть $u, v \in L_{2}(\left[a, b\right])$. Доказать, что интегральный оператор $A: L_{2}(\left[a, b\right]) \rightarrow L_{2}(\left[a, b\right])$, определённый формулой

линеен и непрерывен. Также доказать, что $\left\| A\right\| = \left\| u\right\| \cdot \left\| v\right\|$.

Найти норму оператора, определённого как $A x = x$, который действует:

Пусть $K \in C\left(\left[a, b\right]^{2}\right), \alpha < 1$. Доказать, что интегральный оператор $A: C(\left[a, b\right]) \rightarrow C(\left[a, b\right])$, где $(A x)(t) = \int_{a}^{b} \frac{K(t, s)}{\left|t-s\right|^{\alpha }} x(s) d s, t \in [a, b]$, линеен и непрерывен.

Пусть числа $\alpha , \beta , \gamma$ таковы, что $0 \leq \gamma \leq \alpha < \beta$. Обозначим через $C_{\alpha }$ банахово пространство функций $x \in C([0,+\infty ))$, для которых

с нормой $\left\| x\right\|_{\alpha } = \sup_{0 \leq t < \infty } e^{\alpha t}\left|x(t)\right|$. Показать, что оператор $A: C_{\alpha } \rightarrow C_{\gamma }$, определённый формулой $(A x)(t) = \int_{0}^{t} e^{-\beta (t-s)} x(s) d s, t \geq 0$, линеен и непрерывен. Найти $\left\| A\right\|$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $y, z \in H, A x = (x, y) z, x \in H$. Показать, что $A \in \mathcal{L}(H)$, и найти $\left\| A\right\|$.

Пусть $u, v \in C(\left[a, b\right])$ и $(A x)(t) = \int_{a}^{b} u(t) v(s) x(s) d s$. Показать, что $A \in \mathcal{L}(X)$, и найти норму $\left\| A\right\|$. Рассмотреть случаи

Оператор $A \in \mathcal{L}(X, Y)$ называется конечномерным, если $\operatorname {dim} R(A) < \infty$. Показать, что $A$ конечномерен тогда и только тогда, когда существуют $f_{1}, \ldots , f_{n} \in X^{*}$ и $y_{1}, \ldots , y_{n} \in Y$ такие, что

Установить общий вид конечномерного оператора

Пусть $\left\{ y_{k} \mid 1 \leq k \leq n\right\}$ и $\left\{ z_{k} \mid 1 \leq k \leq n\right\}$ — две ортонормированные системы в гильбертовом пространстве $H$. Найти норму оператора $A$, где $A x = \sum_{k = 1}^{n} c_{k}\left(x, y_{k}\right) z_{k}$, $c_{k} \in \mathbb {C}$.

Доказать, что следующие интегральные операторы линейны и непрерывны. Найти их нормы.

Доказать, что следующие операторы $A: l_{2} \rightarrow l_{2}$ линейны и непрерывны. Найти их нормы.

Доказать, что следующие операторы непрерывны и не линейны:

Пусть $X, Y$ — банаховы пространства, $A \in \mathcal{L}(X, Y)$ — оператор, для которого существует $c > 0$ такое, что $\left\| A x\right\| \geq c\left\| x\right\| , x \in X$. Доказать, что

Пусть $X, Y$ — нормированные линейные пространства, и $A: X \rightarrow Y$ — линейный оператор, для которого $\operatorname {dim} R(A) < +\infty$, а $\operatorname {Ker} A$ является замкнутым множеством в $X$. Доказать, что $A \in \mathcal{L}(X, Y)$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $G \subset H$ — подпространство, $P x = \operatorname {pr}_{G} x$. Доказать, что оператор проектирования $P$ линеен и непрерывен. Найти норму $P$.

Пусть $A$ — линейный оператор в НЛП $X$. Доказать, что $A$ непрерывен тогда и только тогда, когда множество $\left\{ x \in X \mid \left\| A x\right\| < 1\right\}$ имеет внутренние точки.

Пусть $A$ — линейный оператор в НЛП $X$, удовлетворяющий одному из следующих условий:

Пусть $X$ — НЛП, $A: X \rightarrow X$. Доказать, что $A \in \mathcal{L}(X)$ тогда и только тогда, когда для каждого $f \in X^{*}$ функционал $f_{0}(x) = f(A x), x \in X$, линеен и непрерывен.

Пусть $X_{1}, X_{2}$ — нормированные линейные пространства, $\left\{ x, x_{n}: n \geq 1\right\} \subset X_{1}$ и $A \in \mathcal{L}\left(X_{1}, X_{2}\right)$. Доказать, что если $x_{n} \xrightarrow {w} x, n \rightarrow \infty$, то $A x_{n} \xrightarrow {w} A x, n \rightarrow \infty$.

Пусть $X$ — несепарабельное НЛП. Доказать, что пространство $\mathcal{L}(X)$ несепарабельно.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{L}(X)$. Являются ли следующие функции нормами на $X$:

Пусть $X$ — НЛП, $Y$ — банахово пространство, линейное множество $M \subset X$ плотно в $X$, и $A \in \mathcal{L}(M, Y)$. Доказать, что оператор $A$ допускает единственное продолжение $\bar{A} \in \mathcal{L}(X, Y)$, причём $\left\| \bar{A}\right\| = \left\| A\right\|$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A: H \rightarrow H$ — линейный оператор. Доказать, что $A \in \mathcal{L}(H)$ тогда и только тогда, когда $\exists C > 0 \forall x, y \in H:\left|(A x, y)\right| \leq C\left\| x\right\| \cdot \left\| y\right\|$.

Более того, $\left\| A\right\| = \sup_{\left\| x\right\| = 1,\left\| y\right\| = 1}\left|(A x, y)\right|$.

Система множеств $\mathcal{A} = \left\{ A_{\alpha }: \alpha \in T\right\}$ называется связанной, если каждая пара множеств из $\mathcal{A}$ имеет непустое пересечение. Банахово пространство $X$ является пространством типа $\mathcal{M}$, если каждая связанная система замкнутых шаров в $X$ имеет непустое пересечение.

Доказать, что

Пусть $A, B$ — линейные операторы в гильбертовом пространстве $H$ такие, что $(A x, y) = (x, B y)$ для всех $x, y \in H$. Доказать, что $A, B \in \mathcal{L}(H)$.