Примеры с решениями

Являются ли данные операторы $A: l_{2} \rightarrow l_{2}$ линейными? Непрерывными? Для непрерывных линейных операторов найти их нормы.

Пусть $X = L_{2}(T, \mu ), \alpha \in L_{\infty }(T, \mu ), \mu$ — $\sigma$-конечна. Оператор умножения на $\alpha$ определён как $(A x)(t) = \alpha (t) x(t)$. Доказать, что $A$ принадлежит $\mathcal{L}(X)$, и найти его норму.

Пусть $X, Y$ — нормированные линейные пространства, $f \in X^{*}, y \in Y$ и $A x = f(x) y, x \in X$. Доказать, что $A \in \mathcal{L}(X, Y)$, и найти $\left\| A\right\|$.

Найти норму оператора $(A x)(t) = \int_{0}^{2 \pi } \sin (t-s) x(s) d s$ в $L_{2}(\left[0,2 \pi \right])$.