Банк задач по математике

Задача 5.5

(1)(2)

Доказать единственность предела

?

(1)

для *-слабо сходящейся последовательности непрерывных линейных функционалов;

(2)

для слабо сходящейся последовательности элементов НЛП.

Задача 5.6

Доказать, что в конечномерном пространстве сильная сходимость равносильна слабой сходимости.

?

Задача 5.7

Доказать, что последовательность $\left\{ x_{n}: n \geq 1\right\} \subset L_{p}(\mathbb {R}), 1 < p < +\infty$ , слабо сходится к элементу $x \in L_{p}(\left[a, b\right])$ тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

(a) $\exists C > 0 \forall n \geq 1:\left\| x_{n}\right\| \leq C$ ;

(b) $\forall s, t \in \mathbb {R}, s < t: \int_{s}^{t} x_{n}(u) d u \rightarrow \int_{s}^{t} x(u) d u, n \rightarrow \infty$ .

?

Задача 5.8

(1)(2)

?

(1)

Доказать, что последовательность $\left\{ x^{(n)} = \left(x_{1}^{(n)}, x_{2}^{(n)}, \ldots \right): n \geq 1\right\} \subset c_{0}$ слабо сходится к элементу $x = \left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right) \in c_{0}$ тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

(a) $\exists C > 0 \forall n \geq 1:\left\| x^{(n)}\right\| \leq C$ ;

(b) $\forall k \geq 1: x_{k}^{(n)} \rightarrow x_{k}, n \rightarrow \infty$ .

(2)

Сформулировать и доказать критерий слабой сходимости в пространстве $c$ .

Задача 5.9

Исследовать последовательности на сильную и слабую сходимость в НЛП $X$ . Для сходящихся последовательностей найти их пределы.

?

(1)

$X = l_{p}, 1 < p < +\infty , x^{(n)} = (\underbrace{0, \ldots , 0}_{n}, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots )$ ;

(2)

$X = l_{p}, 1 < p < +\infty , x^{(n)} = (\underbrace{0, \ldots , 0}_{n}, \frac{1}{n+1}, \frac{1}{n+2}, \ldots )$ ;

(3)

$X = l_{p}, 1 < p < +\infty , x^{(n)} = (\underbrace{1, \ldots , 1}_{n-1}, \frac{1}{n}, \frac{1}{n+1}, \ldots )$ ;

(4)

$X = l_{p}, 1 < p < +\infty , x^{(n)} = \left(\frac{1}{n}, \frac{1}{n+1}, \ldots \right)$ ;

(5)

$X = l_{p}, 1 < p < +\infty , x^{(n)} = \left(\frac{1+n}{1+n}, \frac{1+n}{1+2 n}, \ldots , \frac{1+n}{1+k n}, \ldots \right)$ ;

(6)

$X = l_{p}, 1 \leq p < +\infty , x^{(n)} = \left(\frac{1}{2}, \frac{2}{2^{2}}, \ldots , \frac{n}{2^{n}}, \frac{1}{(n+1)^{2}}, \frac{1}{(n+2)^{2}}, \ldots \right)$ ;

(7)

$X = l_{p}, 1 \leq p < +\infty , x^{(n)} = \left(1,0, \frac{1}{3^{2}}, 0, \frac{1}{5^{2}}, \ldots , 0, \frac{1}{(2 n-1)^{2}}, \frac{1}{(2 n)^{2}}, \frac{1}{(2 n+1)^{2}}, \ldots \right)$ ;

(8)

$X = l_{\infty }, x^{(n)} = (\underbrace{0, \ldots , 0}_{n-1}, \ln n, 0,0, \ldots )$ ;

(9)

$X = L_{p}(\left[0,1\right]), 1 \leq p < +\infty , x_{n}(t) = t^{n}$ ;

(10)

$X = L_{p}(\left[0,1\right]), 1 \leq p \leq +\infty , x_{n}(t) = \begin{cases} \sqrt{n}, & t \in \left[0, \frac{1}{n}\right), \\ 0, & t \in \left[\frac{1}{n}, 1\right] ; \end{cases}$

(11)

$X = L_{p}(\left[0,1\right]), 1 < p < +\infty , x_{n}(t) = e^{i n t}$ ;

(12)

$X = L_{p}(\left[0,1\right]), 1 < p < +\infty , x_{n}(t) = \sin (t \cdot \ln n)$ ;

(13)

$X = L_{p}(\left[0,1\right]), 1 < p < +\infty , x_{n}(t) = \cos \left(n^{2} t\right)$ ;

(14)

$X = L_{p}(\left[0,1\right]), 1 < p < +\infty , x_{n}(t) = \sin \left(2^{n} t\right)$ ;

(15)

$X = L_{p}(\left[0,1\right]), 1 < p < +\infty , x_{n}(t) = \begin{cases} \sqrt{n}-n \sqrt{n} t, & t \in \left[0, \frac{1}{n}\right), \\ 0, & t \in \left[\frac{1}{n}, 1\right] ; \end{cases}$

(16)

$X = L_{p}(\left[0,1\right]), 1 < p \leq +\infty , x_{n}(t) = \begin{cases} 2 n(1-n t), & t \in \left[0, \frac{1}{n}\right), \\ 0, & t \in \left[\frac{1}{n}, 1\right] ; \end{cases}$

(17)

$X = L_{p}(\left[0,1\right]), 1 \leq p < +\infty , x_{n}(t) = \sin \left(t^{n}\right)$ ;

(18)

$X = L_{p}(\mathbb {R}), 1 \leq p \leq +\infty , x_{n}(t) = \sqrt[4]{n} \chi_{\left[n, n+\frac{1}{n}\right]}(t)$ ;

(19)

$X = L_{p}(\mathbb {R}), 1 < p < +\infty , x_{n}(t) = \chi_{\left[n, n+1\right]}(t)$ ;

(20)

$X = L_{p}(\mathbb {R}), 1 \leq p \leq +\infty , x_{n}(t) = \frac{1}{\sqrt{n}} \chi_{\left[n, 2 n\right]}(t)$ .

Задача 5.10

Исследовать данные последовательности в $C(\left[0,1\right])$ на слабую и сильную сходимость.

?

(1)

$x_{n}(t) = t^{n}-t^{3 n}$ ;

(2)

$x_{n}(t) = e^{-\frac{t}{n}}$ ;

(3)

$x_{n}(t) = e^{-n t}$ ;

(4)

$x_{n}(t) = t e^{-n t}$ ;

(5)

$x_{n}(t) = n t e^{-n t}$ ;

(6)

$x_{n}(t) = \frac{n^{2} t}{1+n^{4} t^{2}}$ ;

(7)

$x_{n}(t) = \frac{n^{3} t^{2}}{1+4 n^{4} t^{4}}$ .

Задача 5.11

Исследовать данные последовательности $\left\{ x_{n}: n \geq 1\right\}$ на слабую и сильную сходимость в НЛП $X$ .

?

(1)

$X = L_{2}(\left[0,1\right]), x_{n}(t) = \sin \left(n t^{2}\right)$ ;

(2)

$X = L_{2}(\left[0,1\right]), x_{n}(t) = \sin \left(n e^{t}\right)$ ;

(3)

$X = L_{p}(\left[0,1\right]), 1 < p < +\infty , x_{n}(t) = x_{0}\left(2^{n} t\right), t \in [0,1]$ , где $x_{0}(t) = (-1)^{k}$ при $t \in [k, k+1), k \in \mathbb {N} \cup \left\{ 0\right\}$ ;

(4)

$X = L_{1}(\mathbb {R}), x_{n}(t) = \chi_{\left[n, n+1\right]}(t)$ ;

(5)

$X = l_{1}, x_{n} = e_{n}$ .

Задача 5.12

Доказать, что последовательность функционалов $\left\{ f_{n}: n \geq 1\right\} \subset X^{*}$ *-слабо сходится, и определить, сходится ли она сильно.

?

(1)

$X = L_{2}(\left[0,1\right]), f_{n}(x) = \int_{0}^{1} \cos 2 \pi n t x(t) d t$ ;

(2)

$X = L_{2}(\left[0,1\right]), f_{n}(x) = \int_{0}^{1} e^{2 \pi i n t} x(t) d t$ ;

(3)

$X = C(\left[0,1\right]), f_{n}(x) = n \int_{0}^{\frac{1}{n}}(1-2 n t) x(t) d t ;$

(4)

$X = C(\left[0,1\right]), f_{n}(x) = n \int_{0}^{1} x(t) t^{n} d t ;$

(5)

$X = C^{1}(\left[-1,1\right]), f_{n}(x) = \frac{n}{2}\left(x\left(\frac{1}{n}\right)-x\left(-\frac{1}{n}\right)\right)$ .

Задача 5.13

(1)(2)(3)

Пусть $X$ — пространство $C^{1}(\left[-1,1\right])$ с нормой $\left\| x\right\| = \max_{t \in [0,1]}\left|x(t)\right|$ . Рассмотрим

f_{n}(x) = \frac{n}{2}\left(x\left(\frac{1}{n}\right)-x\left(-\frac{1}{n}\right)\right), x \in X.

?

(1)

Доказать, что для каждой $x \in C^{1}(\left[-1,1\right])$ последовательность $\left\{ f_{n}(x): n \geq 1\right\}$ сходится, и найти её предел.

(2)

Доказать, что последовательность $\left\{ f_{n}: n \geq 1\right\}$ не сходится *-слабо.

(3)

Доказать, что последовательность $\left\{ \left\| f_{n}\right\| : n \geq 1\right\}$ не ограничена.

Противоречат ли эти утверждения принципу равномерной ограниченности?

Задача 5.14

Построить пример НЛП $X$ и *-слабо сходящейся последовательности $\left\{ f_{n}: n \geq 1\right\} \subset X^{*}$ , для которой последовательность $\left\{ \left\| f_{n}\right\| : n \geq 1\right\}$ не ограничена.

?

Задача 5.15

Пусть $X$ — банахово пространство, $\left\{ f_{n}: n \geq 1\right\} \subset X^{*}, f, g \in X^{*}, f_{n} \xrightarrow {w} f$ , $f_{n} \xrightarrow {w-*} g, n \rightarrow \infty$ . Доказать, что $f = g$ .

?

Задача 5.16

(1)(2)(3)

?

(1)

Пусть функционалы $\left\{ f_{n}: n \geq 1\right\} \subset c_{0}^{*}$ определены следующим образом: $f_{n}(x) = x_{n}$ , $x \in c_{0}, n \in \mathbb {N}$ . Доказать, что $f_{n} \xrightarrow {w-*} 0$ , но $f_{n} \not\xrightarrow {w} 0, n \rightarrow \infty$ .

(2)

Пусть функционалы $\left\{ f_{n}: n \geq 1\right\} \subset l_{1}^{*}$ определены следующим образом: $f_{n}(x) = \sum_{k = n+1}^{\infty } x_{k}$ , $x \in l_{1}, n \in \mathbb {N}$ . Доказать, что $f_{n} \xrightarrow {w-*} 0$ , но $f_{n} \not\xrightarrow {w} 0, n \rightarrow \infty$ .

(3)

Пусть функционалы $\left\{ f_{n}: n \geq 1\right\} \subset (C(\left[0,1\right]))^{*}, f_{0} \in (C(\left[0,1\right]))^{*}$ определены следующим образом: $f_{n}(x) = x\left(\frac{1}{n}\right), n \in \mathbb {N}, f_{0}(x) = x(0), x \in C(\left[0,1\right])$ . Доказать, что $f_{n} \xrightarrow {w-*} f_{0}$ , но $f_{n} \not\xrightarrow {w} f_{0}, n \rightarrow \infty$ .

Задача 5.17

(1)(2)(3)(4)

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $x, x_{n} \in H, n \geq 1$ . Доказать, что

?

(1)

$x_{n} \xrightarrow {w} x$ тогда и только тогда, когда $\left(x_{n}, a\right) \rightarrow (x, a), n \rightarrow \infty$ , для всех $a \in H$ ;

(2)

если $x_{n} \xrightarrow {w} x$ и $y_{n} \rightarrow y$ по норме, то $\left(x_{n}, y_{n}\right) \rightarrow (x, y), n \rightarrow \infty$ ;

(3)

каждая ортонормированная последовательность слабо сходится к нулю;

(4)

если $x_{n} \xrightarrow {w} x$ и $\left\| x_{n}\right\| \rightarrow \left\| x\right\|$ (или $\limsup_{n \rightarrow \infty }\left\| x_{n}\right\| \leq \left\| x\right\|$ ), то $x_{n} \rightarrow x$ по норме.

Задача 5.18

(1)(2)

Пусть $H$ — бесконечномерное гильбертово пространство. Построить примеры последовательностей $\left\{ x_{n}: n \geq 1\right\} \subset H,\left\{ y_{n}: n \geq 1\right\} \subset H$ таких, что

?

(1)

$x_{n} \xrightarrow {w} x, y_{n} \xrightarrow {w} y$ , где $x, y \in H$ , но $\left(x_{n}, y_{n}\right) \nrightarrow (x, y)$ ;

(2)

$x_{n} \xrightarrow {w} x, y_{n} \xrightarrow {w} y$ , где $x, y \in H, x_{n} \nrightarrow x, y_{n} \nrightarrow y$ по норме, но $\left(x_{n}, y_{n}\right) \rightarrow (x, y)$ .

Задача 5.19

(1)(2)(3)

Пусть $\left\{ x_{n}: n \geq 1\right\}$ — ортогональная система в гильбертовом пространстве $H$ . Доказать равносильность следующих утверждений:

?

(1)

ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } x_{n}$ сходится сильно;

(2)

ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } x_{n}$ сходится слабо;

(3)

ряд $\sum_{n = 1}^{\infty }\left\| x_{n}\right\|^{2}$ сходится.

Задача 5.20

(1)(2)

?

(1)

Пусть $X$ — банахово пространство, и последовательность $\left\{ f_{n}: n \geq 1\right\} \subset X^{*}$ такова, что для всех $x \in X$ существует $\lim_{n \rightarrow \infty } f_{n}(x) = f(x)$ . Доказать, что $f \in X^{*}$ и $\left\| f\right\| \leq \liminf_{n \rightarrow \infty }\left\| f_{n}\right\|$ .

(2)

Пусть $X$ — НЛП, и последовательность $\left\{ x_{n}: n \geq 1\right\} \subset X$ слабо сходится к $x \in X$ . Доказать, что $\left\| x\right\| \leq \liminf_{n \rightarrow \infty }\left\| x_{n}\right\|$ .

Задача 5.21

Пусть $X$ — банахово пространство. Доказать, что последовательность $\left\{ f_{n}: n \geq 1\right\} \subset X^{*}$ *-слабо сходится тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

(a) $\exists C > 0 \forall n \geq 1:\left\| f_{n}\right\| \leq C$ ;

(b) существует тотальное множество $M$ в $X$ такое, что для каждого $x \in M$ последовательность $\left\{ f_{n}(x): n \geq 1\right\}$ фундаментальна.

?

Задача 5.22

Пусть $X$ — рефлексивное банахово пространство, $\left\{ x_{n}: n \geq 1\right\} \subset X$ . Доказать, что если для каждого $f \in X^{*}$ последовательность $\left\{ f\left(x_{n}\right): n \geq 1\right\}$ фундаментальна, то существует $x \in X$ такой, что $x_{n} \xrightarrow {w} x$ .

?

Задача 5.23

Пусть $X$ — рефлексивное банахово пространство. Доказать, что если последовательность $\left\{ x_{n}: n \geq 1\right\} \subset X$ ограничена по норме, то существуют подпоследовательность $\left\{ x_{n_{k}}: k \geq 1\right\}$ и элемент $x \in X$ такие, что $x_{n_{k}} \xrightarrow {w} x$ .

?

Задача 5.24

(1)(2)(3)

Доказать, что следующие банаховы пространства не полны относительно слабой сходимости:

?

(1)

$C(\left[0,1\right])$ ;

(2)

$c_{0}$ ;

(3)

$c$ .

Задача 5.25

(1)(2)(3)

Пусть $X$ — банахово пространство, $x, x_{n} \in X, f, f_{n} \in X^{*}, n \geq 1$ . Доказать, что $f_{n}\left(x_{n}\right) \rightarrow f(x)$ , если выполняется одно из следующих условий:

?

(1)

$x_{n} \rightarrow x, f_{n} \rightarrow f$ по норме;

(2)

$x_{n} \xrightarrow {w} x, f_{n} \rightarrow f$ по норме;

(3)

$x_{n} \rightarrow x$ по норме, $f_{n} \xrightarrow {w-*} f$ .

Задача 5.26

Пусть $X$ — сепарабельное НЛП, последовательность $\left\{ x_{n}: n \geq 1\right\} \subset X$ слабо сходится к $x \in X$ . Также пусть $f_{n}\left(x_{n}\right) \rightarrow f(x), n \rightarrow \infty$ , для каждого функционала $f \in X^{*}$ и каждой последовательности $\left\{ f_{n}: n \geq 1\right\} \subset X^{*}$ , *-слабо сходящейся к $f$ . Доказать, что $x_{n} \rightarrow x$ по норме.

?

Задача 5.27

(1)(2)(3)(4)

Пусть $X$ — НЛП. Множество $M \subset X$ называется слабо замкнутым, если для каждой последовательности $\left\{ x_{n}: n \geq 1\right\} \subset M$ такой, что $x_{n} \xrightarrow {w} x \in X$ , следует, что $x \in M$ . Доказать, что

?

(1)

каждое слабо замкнутое множество в $X$ сильно замкнуто;

(2)

обратное утверждение к утверждению (1) неверно;

(3)

каждое подпространство в $X$ является слабо замкнутым множеством;

(4)

каждый замкнутый шар в $X$ является слабо замкнутым множеством.

Задача 5.28

Пусть $X$ — равномерно выпуклое банахово пространство (см. задачу 1.98), последовательность $\left\{ x_{n}: n \geq 1\right\} \subset X$ слабо сходится к $x \in X$ , и $\left\| x_{n}\right\| \rightarrow \left\| x\right\| , n \rightarrow \infty$ . Доказать, что $x_{n} \rightarrow x$ по норме.

?

Задача 5.29

(Шур) Доказать, что в пространстве $l_{1}$ слабая сходимость равносильна сходимости по норме.

?

Задача 5.30

Пусть $X$ — банахово пространство, $\left\{ f_{n}: n \geq 1\right\} \subset X^{*}, \sup \left\| f_{n}\right\| = +\infty$ . Доказать, что существует $x \in X$ , для которого $\sup \left|f_{n}(x)\right| = +\infty$ . $n \geq 1 \quad n \geq 1$

?

Задача 5.31

(1)(2)

Пусть $1 \leq p \leq +\infty , q$ — сопряжённый индекс к $p$ .

?

(1)

Пусть последовательность $a = \left\{ a_{n}: n \geq 1\right\}$ такова, что для каждого $x \in l_{p}$ ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n} x_{n}$ сходится. Доказать, что $a \in l_{q}$ .

(2)

Пусть измеримая функция $h$ такова, что для каждого $x \in L_{p}(\left[a, b\right])$ интеграл Лебега $\int_{a}^{b} h(t) x(t) d t$ конечен. Доказать, что $h \in L_{q}(\left[a, b\right])$ .

Задача 5.32

Сформулировать и доказать утверждения, аналогичные задаче 5.31, для пространств $c$ и $c_{0}$ .

?

Задача 5.33

Пусть $X$ — НЛП. Доказать, что последовательность $\left\{ x_{n}: n \geq 1\right\} \subset X$ слабо ограничена тогда и только тогда, когда она ограничена по норме в $X$ .

?

Задача 5.34

Пусть $f_{n}(x) = \frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n-1} x\left(\frac{k}{n}\right), x \in C(\left[0,1\right]), n \geq 1$ . Доказать, что последовательность функционалов $\left\{ f_{n}: n \geq 1\right\} \subset (C(\left[0,1\right]))^{*}$ сходится *-слабо, и найти её предел. Сходится ли эта последовательность по норме?

?

Задача 5.35

Пусть $f_{n}(x) = \sum_{k = 1}^{n} A_{n k} x\left(t_{n k}\right), x \in C(\left[a, b\right])$ , где

a \leq t_{n 1} \leq \ldots \leq t_{n n} \leq b, n \geq 1,\left\{ A_{n k} \mid 1 \leq k \leq n, n \geq 1\right\} \subset \mathbb {K}

Доказать, что $f_{n}(x) \rightarrow \int_{a}^{b} x(t) d t, n \rightarrow \infty$ , для всех $x \in C(\left[a, b\right])$ тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

(a) $\sup_{n \geq 1} \sum_{k = 1}^{n}\left|A_{n k}\right| < +\infty$ ;

(b) $f_{n}(p) \rightarrow \int_{a}^{b} p(t) d t, n \rightarrow \infty$ , для каждого многочлена $p$ .

Проверить, что (b) влечёт (a), если $A_{n k} \geq 0$ для всех $n \geq 1$ и $1 \leq k \leq n$ .

?

Задача 5.36

Пусть $\mathbb {K} = \mathbb {R}, f_{n}(x) = \int_{a}^{b} x(t) d F_{n}(t), x \in C(\left[a, b\right])$ , где $F_{n} \in B V_{0}(\left[a, b\right])$ , $n \geq 0$ . Доказать, что $f_{n} \xrightarrow {w-*} f_{0}$ тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: $\sup_{n \geq 1} V\left(F_{n},\left[a, b\right]\right) < +\infty , F_{n}(t) \rightarrow F_{0}(t), n \rightarrow \infty$ , в точках непрерывности $F_{0}$ , и $F_{n}(b) \rightarrow F_{0}(b), n \rightarrow \infty$ .

?

Задача 5.37

(1)(2)(3)

Пусть $\mathbb {K} = \mathbb {R},\left\{ p_{n}: n \geq 1\right\} \subset L_{1}(\left[0,1\right]), f_{n}(x) = \int_{0}^{1} p_{n}(t) x(t) d t$ , $x \in C(\left[0,1\right]), n \geq 1$ .

?

(1)

Пусть $p_{n}(t) \leq p_{n+1}(t)$ почти всюду на $\left[0,1\right]$ относительно меры Лебега для всех $n \in \mathbb {N}$ , а также для каждого $x \in C(\left[0,1\right])$ последовательность $\left\{ f_{n}(x): n \geq 1\right\}$ ограничена. Показать, что последовательность $\left\{ f_{n}: n \geq 1\right\}$ сходится *-слабо.

(2)

Пусть $f_{n} \xrightarrow {w-*} 0$ . Верно ли, что обязательно существует подпоследовательность последовательности $\left\{ p_{n}: n \geq 1\right\}$ , которая сходится почти всюду на $\left[0,1\right]$ ?

(3)

Тот же вопрос, что и в пункте (2), если $f_{n} \rightarrow 0$ по норме.

Задача 5.38

(1)(2)

Пусть $X$ — НЛП, $f \in X^{*}$ . При каком условии на последовательность $\left\{ \alpha_{n}: n \geq 1\right\} \subset \mathbb {R}$ последовательность функционалов $f_{n}(x) = f\left(\alpha_{n} x\right), x \in X, n \geq 1$ , сходится

?

(1)

*-слабо?

(2)

по норме?

Задача 5.39

(1)(2)

Пусть $\left\{ f_{n}: n \geq 1\right\}$ — последовательность линейных неотрицательных функционалов на действительном пространстве $C(\left[a, b\right])$ (см. задачу 3.42), и $f(x) = x(c), x \in C(\left[a, b\right])$ , где $c \in \left[a, b\right]$ фиксировано. Обозначим $e_{k}(t) = t^{k}, t \in [a, b], k = 0,1,2, y(t) = (t-c)^{2}, t \in [a, b]$ . Доказать, что

?

(1)

для каждой $x \in C(\left[a, b\right])$ и каждого $\varepsilon > 0$ выполняется следующее неравенство:

-\frac{2\left\| x\right\| }{\delta ^{2}} y(t)-\varepsilon \leq x(t)-x(c) \leq \frac{2\left\| x\right\| }{\delta ^{2}} y(t)+\varepsilon , t \in [a, b]

где число $\delta = \delta (x, \varepsilon ) > 0$ таково, что $\left|x(t)-x(c)\right| < \varepsilon$ для всех $t \in [a, b]$ , для которых $\left|t-c\right| < \delta$ .

(2)

(Коровкин) $f_{n} \xrightarrow {w-*} f$ , если выполняется одно из следующих условий:

(a) $f_{n}\left(e_{0}\right) \rightarrow f\left(e_{0}\right)$ и $f_{n}(y) \rightarrow f(y), n \rightarrow \infty$ ;

(b) $f_{n}\left(e_{k}\right) \rightarrow f\left(e_{k}\right), n \rightarrow \infty$ , для $k = 0,1,2$ .

Задача 5.40

Пусть функционалы $f, f_{n} \in (C(\left[a, b\right]))^{*}$ таковы, что $f_{n}\left(e_{0}\right) \rightarrow f\left(e_{0}\right), n \rightarrow \infty$ , где $e_{0}(t) = 1, t \in [a, b]$ , и для каждого $n \in \mathbb {N}$ функционал $f_{n}-f$ неотрицателен. Доказать, что $f_{n} \rightarrow f$ по норме, при $n \rightarrow \infty$ .

?

Задача 5.41

(1)(2)(3)

Задано бесконечное множество чисел $\left\{ a_{n k}: k \geq 1, n \geq 1\right\} \subset \mathbb {K}$ . Доказать, что для любой сходящейся последовательности $\left\{ x_{n}: n \geq 1\right\} \subset \mathbb {K}$ последовательность $\left\{ \sum_{k = 1}^{\infty } a_{n k} x_{k}, n \geq 1\right\}$ сходится к числу $\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}$ тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

?

(1)

$\forall k \geq 1: \lim_{n \rightarrow \infty } a_{n k} = 0$ ;

(2)

$\lim_{n \rightarrow \infty } \sum_{k = 1}^{\infty } a_{n k} = 1$ ;

(3)

$\exists C > 0 \forall n \geq 1: \sum_{k = 1}^{\infty }\left|a_{n k}\right| \leq C$ .

Задача 5.42

(Мертенс-Шур) Пусть $\left\{ a_{n}: n \geq 0\right\} \subset \mathbb {C},\left\{ x_{n}: n \geq 0\right\} \subset \mathbb {C}, y_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{n-k} x_{k}, n \geq 0$ . Доказать, что ряд $\sum_{n = 0}^{\infty } y_{n}$ сходится для любого сходящегося ряда $\sum_{n = 0}^{\infty } x_{n}$ тогда и только тогда, когда сходится ряд $\sum_{n = 0}^{\infty }\left|a_{n}\right|$ .

?

Задача 5.43

(1)(2)

Доказать, что

?

(1)

Отображение $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n} \mapsto \sum_{n = 1}^{\infty } a_{n} b_{n}$ , задаваемое последовательностью $\left\{ b_{n}: n \geq 1\right\} \subset \mathbb {C}$ , переводит сходящиеся ряды в сходящиеся тогда и только тогда, когда $\sum_{n = 1}^{\infty } \left|b_{n+1}-b_{n}\right| < +\infty ;$

(2)

Ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n} b_{n}$ сходится для всех последовательностей $\left\{ a_{n}: n \geq 1\right\} \subset \mathbb {C}$ , для которых частичные суммы $\sum_{k = 1}^{n} a_{k}, n \geq 1$ , равномерно ограничены, тогда и только тогда, когда $b_{n} \rightarrow 0$ , $n \rightarrow \infty$ , и $\sum_{n = 1}^{\infty }\left|b_{n+1}-b_{n}\right| < +\infty$ .

Слабая и слабая-* сходимость