Глава 3

Непрерывные линейные функционалы

[50/84%]
Показать
LaTeX
§
3.1 · Примеры с решениями[4/100%]
Задача 3.1

Определить, являются ли данные функционалы линейными и непрерывными. Для непрерывных линейных функционалов найти их норму, используя определение.

?
(1)

X=C([a,b]),f(x)=x(a+b2)X = C(\left[a, b\right]), f(x) = x\left(\frac{a+b}{2}\right);

(2)

X=C([a,b]),f(x)=x(a)−x(b)X = C(\left[a, b\right]), f(x) = x(a)-x(b);

(3)

X=C([−1,1]),f(x)=∫−11x(t)sign⁡tdtX = C(\left[-1,1\right]), f(x) = \int_{-1}^{1} x(t) \operatorname {sign} t d t;

(4)

X=C([0,1]),f(x)=∫01t∣x(t)∣dt;X = C(\left[0,1\right]), f(x) = \int_{0}^{1} t\left|x(t)\right| d t ;

(5)

X=C([0,1])X = C(\left[0,1\right]) с нормой ∥x∥=∫01∣x(t)∣dt,f(x)=x(1)\left\| x\right\| = \int_{0}^{1}\left|x(t)\right| d t, f(x) = x(1);

(6)

X=Lp([−1,1]),1≤p≤+∞,f(x)=∫−11t2x(t)sign⁡tdtX = L_{p}(\left[-1,1\right]), 1 \leq p \leq +\infty , f(x) = \int_{-1}^{1} t^{2} x(t) \operatorname {sign} t d t;

(7)

X=l2,f(x)=∑n=1∞12n(xn+xn+1)X = l_{2}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{2^{n}}\left(x_{n}+x_{n+1}\right);

(8)

X={x∈l2∣∑n=1∞xncos⁡n — сходящийся ряд},∥⋅∥X=∥⋅∥l2X = \left\{ x \in l_{2} \mid \sum_{n = 1}^{\infty } x_{n} \cos n \text{ — сходящийся ряд}\right\} , \left\| \cdot \right\|_{X} = \left\| \cdot \right\|_{l_{2}},

f(x)=∑n=1∞xncos⁡n,x∈X f(x) = \sum _{n = 1}^{\infty } x_{n} \cos n, x \in X
Задача 3.2

Пусть XX — банахово пространство, ff — линейный функционал на XX. Доказать, что

?
(1)

Ker ff — линейное множество, причём если f∈X∗f \in X^{*}, то Ker⁡f\operatorname {Ker} f является подпространством XX;

(2)

если z∈X\Ker⁡fz \in X \backslash \operatorname {Ker} f, то

∀x∈X∃!y∈Ker⁡f∃!λ∈K:x=y+λz. \forall x \in X \exists !y \in \operatorname {Ker} f \exists !\lambda \in \mathbb {K}: x = y+\lambda z.
Задача 3.3

Используя описание соответствующих сопряжённых пространств, доказать линейность и непрерывность данных функционалов. Найти нормы непрерывных линейных функционалов.

?
(1)

X=C([−1,1]),f(x)=∫−11tx(t)dt−x(0)X = C(\left[-1,1\right]), f(x) = \int_{-1}^{1} t x(t) d t-x(0);

(2)

X=C([a,b]),f(x)=x(a+b2)X = C(\left[a, b\right]), f(x) = x\left(\frac{a+b}{2}\right);

(3)

X=C([0,3]),f(x)=∫01x(t)dt+∫23tx(t)dtX = C(\left[0,3\right]), f(x) = \int_{0}^{1} x(t) d t+\int_{2}^{3} t x(t) d t;

(4)

X=l2,f(x)=∑k=1∞12k(xk+xk+1)X = l_{2}, f(x) = \sum_{k = 1}^{\infty } \frac{1}{2^{k}}\left(x_{k}+x_{k+1}\right);

(5)

X=lp,1≤p≤+∞,f(x)=xj+xj+1,jX = l_{p}, 1 \leq p \leq +\infty , f(x) = x_{j}+x_{j+1}, j фиксировано;

(6)

X=lp,1≤p≤+∞,f(x)=∑k=1∞xk3kX = l_{p}, 1 \leq p \leq +\infty , f(x) = \sum_{k = 1}^{\infty } \frac{x_{k}}{3^{k}};

(7)

X=Lp([0,1]),f(x)=∫012x(t)dt−∫231x(t)dtX = L_{p}(\left[0,1\right]), f(x) = \int_{0}^{\frac{1}{2}} x(t) d t-\int_{\frac{2}{3}}^{1} x(t) d t.

Задача 3.4

Пусть 1≤p<+∞1 \leq p < +\infty фиксировано. При каких α∈R\alpha \in \mathbb {R} функционалы принадлежат соответствующим сопряжённым пространствам? Вычислить нормы непрерывных линейных функционалов.

?
(1)

X=Lp([1,+∞)),f(x)=∫1+∞x(t)tαdtX = L_{p}([1,+\infty )), f(x) = \int_{1}^{+\infty } \frac{x(t)}{t^{\alpha }} d t;

(2)

X=lp,f(x)=∑n=1∞αnxnX = l_{p}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } \alpha^{n} x_{n}.

§
3.2 · Задачи[46/83%]
Задача 3.5

Пусть XX — НЛП над полем K\mathbb {K}. Доказать, что множество значений ненулевого линейного функционала на XX совпадает с K\mathbb {K}.

?
Задача 3.6

Пусть XX — НЛП, f,g∈X∗f, g \in X^{*}. Доказать, что для любых α,β∈K\alpha , \beta \in \mathbb {K} функционал αf+βg\alpha f+\beta g, где (αf+βg)(x):=αf(x)+βg(x),x∈X(\alpha f+\beta g)(x): = \alpha f(x)+\beta g(x), x \in X, также принадлежит X∗X^{*}.

?
Задача 3.7

Пусть XX — НЛП, f∈X∗f \in X^{*}. Доказать, что

?
(1)

∥f∥=sup⁡∥x∥≤1∣f(x)∣\left\| f\right\| = \sup_{\left\| x\right\| \leq 1}\left|f(x)\right|;

(2)

∥f∥=sup⁡∥x∥=1∣f(x)∣\left\| f\right\| = \sup_{\left\| x\right\| = 1}\left|f(x)\right|;

(3)

∥f∥=min⁡{C≥0∣∣f(x)∣≤C∥x∥,x∈X}\left\| f\right\| = \min \left\{ C \geq 0 \mid \left|f(x)\right| \leq C\left\| x\right\| , x \in X\right\};

(4)

∥f∥=sup⁡∥x∥≤1f(x)\left\| f\right\| = \sup_{\left\| x\right\| \leq 1} f(x), если пространство XX действительное;

(5)

∥f∥=sup⁡x∈M,x≠0∣f(x)∣∥x∥\left\| f\right\| = \sup_{x \in M, x \neq 0} \frac{\left|f(x)\right|}{\left\| x\right\| }, где MM — плотное подмножество XX.

Задача 3.8

Пусть XX — НЛП, fn∈X∗f_{n} \in X^{*} и ∥fn∥≤1,n≥1\left\| f_{n}\right\| \leq 1, n \geq 1. Положим

f(x)=∑n=1∞1n2fn(x),x∈X f(x) = \sum _{n = 1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}} f_{n}(x), x \in X

Доказать, что f∈X∗f \in X^{*}.

?
Задача 3.9

Определить, являются ли данные функционалы на C([0,1])C(\left[0,1\right]) линейными и непрерывными. Для непрерывных линейных функционалов вычислить их норму, используя определение:

?
(1)

f(x)=x(0)f(x) = x(0);

(2)

f(x)=∫01x(t)dtf(x) = \int_{0}^{1} x(t) d t;

(3)

f(x)=∫01∣x(t)∣dtf(x) = \int_{0}^{1}\left|x(t)\right| d t;

(4)

f(x)=∥x∥f(x) = \left\| x\right\|;

(5)

f(x)=∑n=1∞12nx(12n)f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{2^{n}} x\left(\frac{1}{2^{n}}\right);

(6)

f(x)=∫01tx(t)dtf(x) = \int_{0}^{1} t x(t) d t;

(7)

f(x)=∫01x(t)sign⁡(t−12)dtf(x) = \int_{0}^{1} x(t) \operatorname {sign}\left(t-\frac{1}{2}\right) d t;

(8)

f(x)=∫01sign⁡x(t)dtf(x) = \int_{0}^{1} \operatorname {sign} x(t) d t;

(9)

f(x)=∫01tx2(t)dtf(x) = \int_{0}^{1} t x^{2}(t) d t;

(10)

f(x)=∫01(1−2t)x(t)dt;f(x) = \int_{0}^{1}(1-2 t) x(t) d t ;

(11)

f(x)=∫01x(t)cos⁡πtdtf(x) = \int_{0}^{1} x(t) \cos \pi t d t;

(12)

f(x)=∫01x(t)sin⁡πtdtf(x) = \int_{0}^{1} x(t) \sin \pi t d t;

(13)

f(x)=∫01∣x(t)∣cos⁡πtdtf(x) = \int_{0}^{1}\left|x(t)\right| \cos \pi t d t;

(14)

f(x)=∫01x(t)dt−x(0)f(x) = \int_{0}^{1} x(t) d t-x(0);

(15)

f(x)=∫013x(t)dt−∫131x(t)dt;f(x) = \int_{0}^{\frac{1}{3}} x(t) d t-\int_{\frac{1}{3}}^{1} x(t) d t ;

(16)

f(x)=∑k=1nλkx(tk)f(x) = \sum_{k = 1}^{n} \lambda_{k} x\left(t_{k}\right), где t1,…,tnt_{1}, \ldots , t_{n} — набор различных точек из [0,1],λ1,…,λn\left[0,1\right], \lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n} — набор действительных чисел.

Задача 3.10

Определить, являются ли данные функционалы линейными и непрерывными. Для непрерывных линейных функционалов вычислить их норму, используя определение:

?
(1)

X=l1,f(x)=∑n=1∞xnX = l_{1}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } x_{n};

(2)

X=l1,f(x)=∑n=1∞(1−1n)xnX = l_{1}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty }\left(1-\frac{1}{n}\right) x_{n};

(3)

X=l1,f(x)=∑n=1∞xnynX = l_{1}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } x_{n} y_{n}, где y∈l∞y \in l_{\infty } фиксировано;

(4)

X=l2,f(x)=∑n=1∞∣xn∣2X = l_{2}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty }\left|x_{n}\right|^{2};

(5)

X=l2,f(x)=∑n=1∞xnn(n+1)X = l_{2}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{x_{n}}{\sqrt{n(n+1)}};

(6)

X=l2,f(x)=∑n=1∞(−1)nxnnX = l_{2}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n} \frac{x_{n}}{n};

(7)

X=l43,f(x)=∑n=1∞x2n3n/4X = l_{\frac{4}{3}}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{x_{2 n}}{3^{n / 4}};

(8)

X=l1,f(x)=∑n=1∞(1−(−1)n)n−1nxnX = l_{1}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty }\left(1-(-1)^{n}\right) \frac{n-1}{n} x_{n};

(9)

X=lp,1≤p<+∞,f(x)=∑n=1∞xnnX = l_{p}, 1 \leq p < +\infty , f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{x_{n}}{n};

(10)

X=lp,1≤p≤+∞,f(x)=∑n=1∞xn2nX = l_{p}, 1 \leq p \leq +\infty , f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{x_{n}}{2^{n}};

(11)

X=lp,1≤p≤+∞,f(x)=sign⁡(x1)X = l_{p}, 1 \leq p \leq +\infty , f(x) = \operatorname {sign}\left(x_{1}\right);

(12)

X=lp,1≤p<+∞,f(x)=∑n:xn≠0e−1∣xn∣X = l_{p}, 1 \leq p < +\infty , f(x) = \sum_{n: x_{n} \neq 0} e^{-\frac{1}{\left|x_{n}\right|}};

(13)

X=lp,1≤p≤+∞,f(x)=xj,j∈NX = l_{p}, 1 \leq p \leq +\infty , f(x) = x_{j}, j \in \mathbb {N} фиксировано;

(14)

X=lp,1≤p≤+∞,f(x)=xj+xj+1,j∈NX = l_{p}, 1 \leq p \leq +\infty , f(x) = x_{j}+x_{j+1}, j \in \mathbb {N} фиксировано;

(15)

X=lp,1≤p≤+∞,f(x)=x1+2x2X = l_{p}, 1 \leq p \leq +\infty , f(x) = x_{1}+2 x_{2}.

Задача 3.11

Определить, являются ли данные функционалы линейными и непрерывными. Для непрерывных линейных функционалов вычислить их норму, используя определение:

?
(1)

X=L2([0,1]),f(x)=∫01tx(t)dt;X = L_{2}(\left[0,1\right]), f(x) = \int_{0}^{1} t x(t) d t ;

(2)

X=L2([0,1]),f(x)=∫01x(t)sign⁡(t−12)dtX = L_{2}(\left[0,1\right]), f(x) = \int_{0}^{1} x(t) \operatorname {sign}\left(t-\frac{1}{2}\right) d t;

(3)

X=L2([0,1]),f(x)=∫01x(t)t4dtX = L_{2}(\left[0,1\right]), f(x) = \int_{0}^{1} \frac{x(t)}{\sqrt[4]{t}} d t;

(4)

X=L2([0,1]),f(x)=∫01∣x(t)∣34dtX = L_{2}(\left[0,1\right]), f(x) = \int_{0}^{1}\left|x(t)\right|^{\frac{3}{4}} d t;

(5)

X=Lp([0,1]),1≤p≤+∞,f(x)=∫01tx(t)dt;X = L_{p}(\left[0,1\right]), 1 \leq p \leq +\infty , f(x) = \int_{0}^{1} t x(t) d t ;

(6)

X=Lp([0,π2]),1≤p≤+∞,f(x)=∫0π2x(t)sin⁡tdt;X = L_{p}\left(\left[0, \frac{\pi }{2}\right]\right), 1 \leq p \leq +\infty , f(x) = \int_{0}^{\frac{\pi }{2}} x(t) \sin t d t ;

(7)

X=Lp([0,1]),1≤p≤+∞,f(x)=∫012tx(t)dt;X = L_{p}(\left[0,1\right]), 1 \leq p \leq +\infty , f(x) = \int_{0}^{\frac{1}{2}} t x(t) d t ;

(8)

X=Lp([0,2]),1≤p≤+∞,f(x)=∫01x(t)dt−3∫12x(t)dtX = L_{p}(\left[0,2\right]), 1 \leq p \leq +\infty , f(x) = \int_{0}^{1} x(t) d t-3 \int_{1}^{2} x(t) d t;

(9)

X=L1(R),f(x)=∫Rx(t)arctg⁡tdtX = L_{1}(\mathbb {R}), f(x) = \int_{\mathbb {R}} x(t) \operatorname {arctg} t d t.

Задача 3.12

Определить, являются ли данные функционалы линейными и непрерывными. Для непрерывных линейных функционалов вычислить их норму, используя определение:

?
(1)

X=C1([0,1])X = C^{1}(\left[0,1\right]) с нормой ∥x∥=max⁡t∈[0,1]∣x(t)∣+max⁡t∈[0,1]∣x′(t)∣,f(x)=x′(0);\left\| x\right\| = \max_{t \in [0,1]}\left|x(t)\right|+\max_{t \in [0,1]}\left|x^{\prime }(t)\right|, f(x) = x^{\prime }(0) ;

(2)

X=C1([0,1])X = C^{1}(\left[0,1\right]) с равномерной нормой, f(x)=x′(0)f(x) = x^{\prime }(0);

(3)

X=C1([0,1])X = C^{1}(\left[0,1\right]) с равномерной нормой, f(x)=∫01x′(t)sin⁡πtdtf(x) = \int_{0}^{1} x^{\prime }(t) \sin \pi t d t;

(4)

X=C1([0,1])X = C^{1}(\left[0,1\right]) с нормой ∥x∥=max⁡t∈[0,1]∣x(t)∣+max⁡t∈[0,1]∣x′(t)∣,f(x)=x′(0)+x(1);\left\| x\right\| = \max_{t \in [0,1]}\left|x(t)\right|+\max_{t \in [0,1]}\left|x^{\prime }(t)\right|, f(x) = x^{\prime }(0)+ x(1) ;

(5)

X=C([0,1]),f(x)=∫01x(t)dtX = C(\left[0,1\right]), f(x) = \int_{0}^{1} x(\sqrt{t}) d t;

(6)

X=C([0,1]),f(x)=∫01x(t2)dtX = C(\left[0,1\right]), f(x) = \int_{0}^{1} x\left(t^{2}\right) d t;

(7)

X={x∈L2([0,1])∣∫01∣x(tα)∣dt<+∞},α>0,∥⋅∥X=∥⋅∥L2([0,1])X = \left\{ x \in L_{2}(\left[0,1\right])\left|\int_{0}^{1}\right| x\left(t^{\alpha }\right) \mid d t < +\infty \right\} , \alpha > 0,\left\| \cdot \right\|_{X} = \left\| \cdot \right\|_{L_{2}(\left[0,1\right])},

f(x)=∫01x(tα)dt f(x) = \int _{0}^{1} x\left(t^{\alpha }\right) d t
(8)

X=C([0,1]),f(x)=lim⁡n→∞∫01x(tn)dtX = C(\left[0,1\right]), f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty } \int_{0}^{1} x\left(t^{n}\right) d t;

(9)

X=c,f(x)=lim⁡n→∞xnX = c, f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty } x_{n};

(10)

X={x∈l2∣∑n=1∞xnsin⁡n сходится},∥⋅∥X=∥⋅∥l2,f(x)=∑n=1∞xnsin⁡nX = \left\{ x \in l_{2} \mid \sum_{n = 1}^{\infty } x_{n} \sin n \text{ сходится}\right\} , \left\| \cdot \right\|_{X} = \left\| \cdot \right\|_{l_{2}}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } x_{n} \sin n;

(11)

X={x∈l2∣∑n=1∞xn2 сходится},∥⋅∥X=∥⋅∥l2,f(x)=∑n=1∞xn2X = \left\{ x \in l_{2} \mid \sum_{n = 1}^{\infty } x_{n^{2}} \text{ сходится}\right\} , \left\| \cdot \right\|_{X} = \left\| \cdot \right\|_{l_{2}}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } x_{n^{2}};

(12)

X={x∈l∞∣∑n=1∞xnyn сходится}X = \left\{ x \in l_{\infty } \mid \sum_{n = 1}^{\infty } x_{n} y_{n} \text{ сходится}\right\}, где {yn:n≥1}\left\{ y_{n}: n \geq 1\right\} — фиксированная последовательность такая, что ряд ∑n=1∞yn\sum_{n = 1}^{\infty } y_{n} сходится условно, ∥⋅∥X=∥⋅∥l∞,f(x)=∑n=1∞xnyn\left\| \cdot \right\|_{X} = \left\| \cdot \right\|_{l_{\infty }}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } x_{n} y_{n}.

Задача 3.13

Доказать, что l1⊂l∞∗l_{1} \subset l_{\infty }^{*}, т.е. для каждого элемента a=(a1,…,an,…)∈l1a = \left(a_{1}, \ldots , a_{n}, \ldots \right) \in l_{1} функционал

fa(x)=∑n=1∞anxn,x=(x1,…,xn,…)∈l∞ f_{a}(x) = \sum _{n = 1}^{\infty } a_{n} x_{n}, x = \left(x_{1}, \ldots , x_{n}, \ldots \right) \in l_{\infty }

линеен и непрерывен на l∞l_{\infty }, и ∥fa∥=∥a∥1\left\| f_{a}\right\| = \left\| a\right\|_{1}.

?
Задача 3.14

Доказать, что L1(T,μ)⊂(L∞(T,μ))∗L_{1}(T, \mu ) \subset \left(L_{\infty }(T, \mu )\right)^{*}, т.е. для каждого элемента h∈L1(T,μ)h \in L_{1}(T, \mu ) функционал f(x)=∫Th(t)x(t)dμ(t),x∈L∞(T,μ)f(x) = \int_{T} h(t) x(t) d \mu (t), x \in L_{\infty }(T, \mu ), линеен и непрерывен на L∞(T,μ)L_{\infty }(T, \mu ), и ∥f∥=∥h∥1\left\| f\right\| = \left\| h\right\|_{1}.

?
Задача 3.15

Используя описание сопряжённого пространства (C([a,b]))∗(C(\left[a, b\right]))^{*}, доказать линейность и непрерывность данных функционалов на C([a,b])C(\left[a, b\right]) и вычислить их нормы:

?
(1)

X=C([a,b]),f(x)=12(x(a)+x(b))X = C(\left[a, b\right]), f(x) = \frac{1}{2}(x(a)+x(b));

(2)

X=C([0,1]),f(x)=x(0)X = C(\left[0,1\right]), f(x) = x(0);

(3)

X=C([−1,1]),f(x)=x(0)−2ix(−1)+(4+3i)x(1)X = C(\left[-1,1\right]), f(x) = x(0)-2 i x(-1)+(4+3 i) x(1);

(4)

X=C([0,1]),f(x)=x(0)+∫01t2x(t)dtX = C(\left[0,1\right]), f(x) = x(0)+\int_{0}^{1} t^{2} x(t) d t;

(5)

X=C([−1,1]),f(x)=∫−10x(t)dt−∫01x(t)dt;X = C(\left[-1,1\right]), f(x) = \int_{-1}^{0} x(t) d t-\int_{0}^{1} x(t) d t ;

(6)

X=C([0,2]),f(x)=∫01tx(t)dtX = C(\left[0,2\right]), f(x) = \int_{0}^{1} t x(t) d t;

(7)

X=C([0,2]),f(x)=∫01(1−2t)x(t)dt−ix(0)+2x(2);X = C(\left[0,2\right]), f(x) = \int_{0}^{1}(1-2 t) x(t) d t-i x(0)+2 x(2) ;

(8)

X=C([0,π]),f(x)=∫0πx(t)cos⁡tdt;X = C(\left[0, \pi \right]), f(x) = \int_{0}^{\pi } x(t) \cos t d t ;

(9)

X=C([0,π]),f(x)=∫0πx(t)∣cos⁡t∣dt;X = C(\left[0, \pi \right]), f(x) = \int_{0}^{\pi } x(t)\left|\cos t\right| d t ;

(10)

X=C([0,π]),f(x)=∫0πx(t)cos⁡tdt+i∫0πx(t)sin⁡tdt;X = C(\left[0, \pi \right]), f(x) = \int_{0}^{\pi } x(t) \cos t d t+i \int_{0}^{\pi } x(t) \sin t d t ;

(11)

X=C([0,1]),f(x)=∫0ln⁡2etx(t)dt+2ix(1);X = C(\left[0,1\right]), f(x) = \int_{0}^{\ln 2} e^{t} x(t) d t+2 i x(1) ;

(12)

X=C([−1,2]),f(x)=∫−11∣t∣x(t)dt+3∫12x(t)dt−2x(0);X = C(\left[-1,2\right]), f(x) = \int_{-1}^{1}\left|t\right| x(t) d t+3 \int_{1}^{2} x(t) d t-2 x(0) ;

(13)

X=C([0,1]),f(x)=∑n=1∞(−1)nn2x(1n)X = C(\left[0,1\right]), f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{n^{2}} x\left(\frac{1}{n}\right);

(14)

X=C([0,1]),f(x)=∑n=1∞1(4n+1)(4n+5)x(1n2)X = C(\left[0,1\right]), f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{(4 n+1)(4 n+5)} x\left(\frac{1}{n^{2}}\right);

(15)

X=C([0,1]),f(x)=∑n=1∞(−1)n2nx(1−1n)X = C(\left[0,1\right]), f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{2^{n}} x\left(1-\frac{1}{n}\right);

(16)

X=C([a,b]),f(x)=∑k=1nλkx(tk)X = C(\left[a, b\right]), f(x) = \sum_{k = 1}^{n} \lambda_{k} x\left(t_{k}\right), где t1,…,tnt_{1}, \ldots , t_{n} — набор различных точек из [a,b],λ1,…,λn\left[a, b\right], \lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n} — набор комплексных чисел;

(17)

X=C([0,1]),f(x)=∫01x(t2)dtX = C(\left[0,1\right]), f(x) = \int_{0}^{1} x\left(t^{2}\right) d t.

Задача 3.16

Пусть 1≤p≤+∞1 \leq p \leq +\infty фиксировано. Используя описания соответствующих сопряжённых пространств, доказать линейность и непрерывность данных функционалов и вычислить их нормы:

?
(1)

X=l1,f(x)=∑n=1∞xnnX = l_{1}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{x_{n}}{n};

(2)

X=l1,f(x)=∑n=1∞xnarctg⁡nX = l_{1}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } x_{n} \operatorname {arctg} n;

(3)

X=l2,f(x)=∑n=1∞xnn(n+1)X = l_{2}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{x_{n}}{\sqrt{n(n+1)}};

(4)

X=l∞,f(x)=∑n=2∞xnn2−1X = l_{\infty }, f(x) = \sum_{n = 2}^{\infty } \frac{x_{n}}{n^{2}-1};

(5)

X=l43,f(x)=x1+34ix3X = l_{\frac{4}{3}}, f(x) = x_{1}+\sqrt[4]{3} i x_{3};

(6)

X=l75,f(x)=∑n=1∞x3nn47X = l_{\frac{7}{5}}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{x_{3 n}}{\sqrt[7]{n^{4}}};

(7)

X=lp,f(x)=xjX = l_{p}, f(x) = x_{j}, где j∈Nj \in \mathbb {N} фиксировано;

(8)

X=lp,f(x)=2ix1+4x2X = l_{p}, f(x) = 2 i x_{1}+4 x_{2};

(9)

X=lp,f(x)=∑n=1∞xn2nX = l_{p}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{x_{n}}{2^{n}};

(10)

X=l2,f(x)=∑n=1∞n2n/2xnX = l_{2}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\sqrt{n}}{2^{n / 2}} x_{n};

(11)

X=L1(R),f(x)=∫Rx(t)arcctg⁡tdt;X = L_{1}(\mathbb {R}), f(x) = \int_{\mathbb {R}} x(t) \operatorname {arcctg} t d t ;

(12)

X=L2([0,2π]),f(x)=∫0πx(t)eitsin⁡tdt;X = L_{2}(\left[0,2 \pi \right]), f(x) = \int_{0}^{\pi } x(t) e^{i t} \sin t d t ;

(13)

X=Lp([1,4]),f(x)=∫12tx(t)dt−2∫34x(t)dtX = L_{p}(\left[1,4\right]), f(x) = \int_{1}^{2} t x(t) d t-2 \int_{3}^{4} x(t) d t;

(14)

X=Lp(R),f(x)=∫Re−t2x(t)dt;X = L_{p}(\mathbb {R}), f(x) = \int_{\mathbb {R}} e^{-t^{2}} x(t) d t ;

(15)

X=L∞([0,+∞)),f(x)=∫0+∞sin⁡2tt2x(t)dtX = L_{\infty }([0,+\infty )), f(x) = \int_{0}^{+\infty } \frac{\sin^{2} t}{t^{2}} x(t) d t.

Задача 3.17

Пусть 1≤p<+∞1 \leq p < +\infty фиксировано. При каких α∈R\alpha \in \mathbb {R} следующие функционалы принадлежат соответствующим сопряжённым пространствам? Вычислить нормы этих функционалов.

?
(1)

X=lp,f(x)=∑n=1∞xnnαX = l_{p}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{x_{n}}{n^{\alpha }};

(2)

X=lp,f(x)=∑n=1∞xn((n+1)α−nα)X = l_{p}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } x_{n}\left((n+1)^{\alpha }-n^{\alpha }\right);

(3)

X=Lp([0,1]),f(x)=∫01x(t)tαdtX = L_{p}(\left[0,1\right]), f(x) = \int_{0}^{1} \frac{x(t)}{t^{\alpha }} d t;

(4)

X=Lp([0,+∞)),f(x)=∫0+∞tαe−tx(t)dtX = L_{p}([0,+\infty )), f(x) = \int_{0}^{+\infty } t^{\alpha } e^{-t} x(t) d t;

(5)

X=Lp([0,π2]),f(x)=∫0π2x(t)sin⁡αtdtX = L_{p}\left(\left[0, \frac{\pi }{2}\right]\right), f(x) = \int_{0}^{\frac{\pi }{2}} x(t) \sin^{\alpha } t d t.

Задача 3.18
?
(1)

Установить общий вид линейного функционала на конечномерном НЛП и доказать, что каждый линейный функционал на этом пространстве непрерывен.

(2)

Описать все подмножества M⊂R2M \subset \mathbb {R}^{2}, для которых существует ненулевой линейный функционал ff на R2\mathbb {R}^{2} такой, что Ker⁡f=M\operatorname {Ker} f = M. Также решить эту задачу для подмножеств R3\mathbb {R}^{3}.

Задача 3.19

Доказать, что c0∗=l1c_{0}^{*} = l_{1}, и каждый непрерывный линейный функционал на c0c_{0} задаётся формулой f(x)=∑n=1∞xnan,x∈c0f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } x_{n} a_{n}, x \in c_{0}, где a=(a1,…,an,…)∈l1a = \left(a_{1}, \ldots , a_{n}, \ldots \right) \in l_{1} — фиксированный элемент, ∥f∥=∥a∥1\left\| f\right\| = \left\| a\right\|_{1}.

?
Задача 3.20

Доказать, что c∗=l1c^{*} = l_{1}, и каждый непрерывный линейный функционал на cc задаётся формулой f(x)=a0lim⁡n→∞xn+∑n=1∞anxn,x∈cf(x) = a_{0} \lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}+\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n} x_{n}, x \in c, где a=(a0,a1,…,an,…)∈l1a = \left(a_{0}, a_{1}, \ldots , a_{n}, \ldots \right) \in l_{1} — фиксированный элемент, ∥f∥=∥a∥1\left\| f\right\| = \left\| a\right\|_{1}.

?
Задача 3.21

Описать все непрерывные линейные функционалы на c0c_{0}, которые достигают своей нормы на Bˉ(0,1)\bar{B}(0,1).

?
Задача 3.22
?
(1)

Найти общий вид непрерывного линейного функционала в действительном банаховом пространстве C1([a,b])C^{1}(\left[a, b\right]).

(2)

Найти общий вид непрерывного линейного функционала в действительном банаховом пространстве Cn([a,b])C^{n}(\left[a, b\right]), где n∈Nn \in \mathbb {N} фиксировано.

Задача 3.23

Доказать, что f(x)=∫abp(t)x(t)dt,x∈C([a,b])f(x) = \int_{a}^{b} p(t) x(t) d t, x \in C(\left[a, b\right]) является непрерывным линейным функционалом, и вычислить его норму, если

?
(1)

p∈C([a,b])p \in C(\left[a, b\right]) — фиксированная функция;

(2)

p∈L1([a,b])p \in L_{1}(\left[a, b\right]) — фиксированная функция.

Задача 3.24

Привести пример функционала f∈C([0,1])∗f \in C(\left[0,1\right])^{*}, для которого

?
(1)

не существует элемента x0∈C([0,1])x_{0} \in C(\left[0,1\right]) такого, что ∥x0∥=1\left\| x_{0}\right\| = 1 и f(x0)=∥f∥f\left(x_{0}\right) = \left\| f\right\|;

(2)

существует бесконечно много таких элементов;

(3)

существует ровно один такой элемент.

Задача 3.25

В пространствах l1l_{1} и cc привести примеры непрерывных линейных функционалов, которые достигают и которые не достигают своей нормы на замкнутом единичном шаре.

?
Задача 3.26

Пусть XX — НЛП.

?
(1)

Может ли существовать функционал f∈X∗f \in X^{*}, для которого

(a) ∃!x0∈Bˉ(0,1):∣f(x0)∣=∥f∥\exists !x_{0} \in \bar{B}(0,1):\left|f\left(x_{0}\right)\right| = \left\| f\right\|?

(b) ∃!x0∈Bˉ(0,1):f(x0)=∥f∥\exists !x_{0} \in \bar{B}(0,1): f\left(x_{0}\right) = \left\| f\right\|?

(2)

Пусть f∈X∗\{0}f \in X^{*} \backslash \left\{ 0\right\}. Верно ли, что

(a) если x∈X,∣f(x)∣=∥f∥x \in X,\left|f(x)\right| = \left\| f\right\|, то ∥x∥=1\left\| x\right\| = 1?

(b) если x∈Bˉ(0,1),∣f(x)∣=∥f∥x \in \bar{B}(0,1),\left|f(x)\right| = \left\| f\right\|, то ∥x∥=1\left\| x\right\| = 1?

(3)

Пусть f∈X∗f \in X^{*}. Рассмотрим следующие утверждения:

(a) ∃x∈X,x≠0:∣f(x)∣=∥f∥⋅∥x∥\exists x \in X, x \neq 0:\left|f(x)\right| = \left\| f\right\| \cdot \left\| x\right\|;

(b) ∃x∈Bˉ(0,1):∣f(x)∣=∥f∥\exists x \in \bar{B}(0,1):\left|f(x)\right| = \left\| f\right\|;

(c) ∃x∈Bˉ(0,1):f(x)=∥f∥\exists x \in \bar{B}(0,1): f(x) = \left\| f\right\|.

Какие из этих утверждений равносильны?

Задача 3.27

Пусть X1,X2X_{1}, X_{2} — два нормированных линейных пространства такие, что X1⊂X2X_{1} \subset X_{2}, и сходимость xn→xx_{n} \rightarrow x в X1X_{1} влечёт сходимость xn→xx_{n} \rightarrow x в X2X_{2}. Для заданного f∈X2∗f \in X_{2}^{*} положим g(x)=f(x),x∈X1g(x) = f(x), x \in X_{1}. Доказать, что g∈X1∗g \in X_{1}^{*}.

?
Задача 3.28

Пусть XX — НЛП, f∈X∗\{0},L:={x∈X∣f(x)=1}f \in X^{*} \backslash \left\{ 0\right\} , L: = \left\{ x \in X \mid f(x) = 1\right\}. Доказать, что 1∥f∥=inf⁡x∈L∥x∥\frac{1}{\left\| f\right\| } = \inf_{x \in L}\left\| x\right\|.

?
Задача 3.29

Пусть XX — НЛП над полем K,f\mathbb {K}, f — линейный функционал на XX. Доказать, что каждое из следующих условий равносильно непрерывности ff:

?
(1)

существует R>0R > 0 такое, что множество f(Bˉ(0,R))f(\bar{B}(0, R)) ограничено;

(2)

для любой последовательности {xn:n≥1}⊂X\left\{ x_{n}: n \geq 1\right\} \subset X, сходящейся к нулю, множество {f(xn):n≥1}\left\{ f\left(x_{n}\right) : n \geq 1\right\} ограничено;

(3)

для любой фундаментальной последовательности {xn:n≥1}⊂X\left\{ x_{n}: n \geq 1\right\} \subset X последовательность чисел {f(xn):n≥1}\left\{ f\left(x_{n}\right) : n \geq 1\right\} сходится в K\mathbb {K}.

(4)

для любого действительного c∈Rc \in \mathbb {R} множество {x∣f(x)<c}\left\{ x \mid f(x) < c\right\} является открытым множеством (в случае K=R\mathbb {K} = \mathbb {R});

(5)

существует C>0C > 0 такое, что множество {x∣∣f(x)∣≤C}\left\{ x \mid \left|f(x)\right| \leq C\right\} имеет внутренние точки.

Задача 3.30

Пусть XX — НЛП над полем K\mathbb {K}, а ff — линейный неограниченный функционал на XX. Доказать, что ff принимает все значения из поля K\mathbb {K} в любой окрестности нуля. Верно ли, что ff принимает все значения из поля K\mathbb {K} в любой окрестности любой точки?

?
Задача 3.31

Пусть XX — НЛП над полем K\mathbb {K}, а f,g∈X∗f, g \in X^{*} таковы, что Ker⁡f⊂Ker⁡g\operatorname {Ker} f \subset \operatorname {Ker} g. Доказать, что существует α∈K\alpha \in \mathbb {K} такое, что g=αfg = \alpha f.

?
Задача 3.32

Пусть XX — НЛП, f,f1,…,fnf, f_{1}, \ldots , f_{n} — линейные функционалы на XX. Доказать, что ff является линейной комбинацией функционалов f1,…,fnf_{1}, \ldots , f_{n} тогда и только тогда, когда

⋂k=1nKer⁡fk⊂Ker⁡f. \bigcap _{k = 1}^{n} \operatorname {Ker} f_{k} \subset \operatorname {Ker} f.
?
Задача 3.33

В каких нормированных линейных пространствах XX существует функционал f∈X∗f \in X^{*}

?
(1)

такой, что ∣f(x)∣=∥f∥⋅∥x∥,x∈X\left|f(x)\right| = \left\| f\right\| \cdot \left\| x\right\| , x \in X?

(2)

такой, что Ker⁡f={0}\operatorname {Ker} f = \left\{ 0\right\}?

Задача 3.34

Пусть на НЛП XX заданы функционалы f,g∈X∗f, g \in X^{*} такие, что Ker⁡f∩Ker⁡g={0}\operatorname {Ker} f \cap \operatorname {Ker} g = \left\{ 0\right\}. Доказать, что dim⁡X≤2\operatorname {dim} X \leq 2.

?
Задача 3.35

Пусть XX — НЛП над полем K,f\mathbb {K}, f — ненулевой линейный функционал на XX. Доказать, что ff — открытое отображение, т.е. образ любого открытого множества в XX при отображении ff является открытым множеством в K\mathbb {K}.

?
Задача 3.36

Пусть XX — НЛП, ff — линейный функционал на XX. Доказать, что f∈X∗f \in X^{*} тогда и только тогда, когда Ker⁡f\operatorname {Ker} f — замкнутое множество.

?
Задача 3.37

Пусть XX — НЛП над полем K\mathbb {K}, ff — линейный функционал на XX. Доказать, что

?
(1)

Ker⁡f\operatorname {Ker} f замкнуто в XX или плотно в XX;

(2)

если множество {x∈X∣f(x)=c0}\left\{ x \in X \mid f(x) = c_{0}\right\} замкнуто при некотором c0∈Kc_{0} \in \mathbb {K}, то множество {x∈X∣f(x)=c}\left\{ x \in X \mid f(x) = c\right\} замкнуто при каждом c∈Kc \in \mathbb {K}.

Задача 3.38

Пусть XX — НЛП, f∈X∗f \in X^{*}. Доказать, что ∣f(x)∣=∥f∥⋅ρ(x,Ker⁡f)\left|f(x)\right| = \left\| f\right\| \cdot \rho (x, \operatorname {Ker} f) для всех x∈Xx \in X, где ρ(x,Ker⁡f)=inf⁡y∈Ker⁡f∥x−y∥\rho (x, \operatorname {Ker} f) = \inf_{y \in \operatorname {Ker} f}\left\| x-y\right\|.

?
Задача 3.39

Пусть XX — НЛП над полем K=R,f∈X∗\mathbb {K} = \mathbb {R}, f \in X^{*}, а элементы x0,y0∈Xx_{0}, y_{0} \in X таковы, что f(x0)⋅f(y0)<0f\left(x_{0}\right) \cdot f\left(y_{0}\right) < 0. Доказать, что

∥x0−y0∥≥ρ(x0,Ker⁡f)+ρ(y0,Ker⁡f) \left\| x_{0}-y_{0}\right\| \geq \rho \left(x_{0}, \operatorname {Ker} f\right)+\rho \left(y_{0}, \operatorname {Ker} f\right)
?
Задача 3.40

Пусть XX — НЛП, f∈X∗,f≠0f \in X^{*}, f \neq 0.

?
(1)

Доказать, что следующие утверждения равносильны:

(a) существует элемент z∈Bˉ(0,1)z \in \bar{B}(0,1) такой, что ∣f(z)∣=∥f∥\left|f(z)\right| = \left\| f\right\|;

(b) для каждого x∈Xx \in X существует y∈Ker⁡fy \in \operatorname {Ker} f такой, что ρ(x,Ker⁡f)=∥x−y∥\rho (x, \operatorname {Ker} f) = \left\| x-y\right\| (т.е. yy — элемент наилучшего приближения для xx в Ker⁡f\operatorname {Ker} f);

(c) для некоторого x∈X\Ker⁡fx \in X \backslash \operatorname {Ker} f существует y∈Ker⁡fy \in \operatorname {Ker} f такой, что ρ(x,Ker⁡f)=∥x−y∥\rho (x, \operatorname {Ker} f) = \left\| x-y\right\|.

(2)

При каких условиях на функционал ff для каждого элемента x∈Xx \in X существует не более одного элемента наилучшего приближения в Ker⁡f\operatorname {Ker} f?

Задача 3.41

Привести примеры подпространств LL в X=C([0,1])X = C(\left[0,1\right]) и в X=c0X = c_{0} таких, что

?
(1)

для любого x0∉Lx_{0} \notin L не существует элемента наилучшего приближения в LL;

(2)

для любого x0∉Lx_{0} \notin L существует бесконечно много элементов наилучшего приближения в LL.

Задача 3.42

Линейный функционал ff на пространстве C([a,b])C(\left[a, b\right]) называется неотрицательным, если для каждой x∈C([a,b])x \in C(\left[a, b\right]) такой, что x(t)≥0,t∈[a,b]x(t) \geq 0, t \in [a, b], выполняется неравенство f(x)≥0f(x) \geq 0. Доказать следующие утверждения.

?
(1)

Неотрицательный функционал ff на действительном пространстве C([a,b])C(\left[a, b\right]) непрерывен, и ∥f∥=f(e0)\left\| f\right\| = f\left(e_{0}\right), где e0(t)=1,t∈[a,b]e_{0}(t) = 1, t \in [a, b].

(2)

Утверждение пункта (1) верно и в комплексном пространстве C([a,b])C(\left[a, b\right]).

(3)

Если функционал f∈(C([a,b]))∗f \in (C(\left[a, b\right]))^{*} таков, что ∥f∥=f(e0)\left\| f\right\| = f\left(e_{0}\right), то ff неотрицателен.

Задача 3.43

Установить необходимое и достаточное условие на функцию g∈BV0([a,b])g \in B V_{0}(\left[a, b\right]), при котором функционал f(x)=∫abx(t)dg(t)f(x) = \int_{a}^{b} x(t) d g(t) неотрицателен.

?
Задача 3.44

Доказать, что для каждого функционала f∈(C([a,b]))∗f \in (C(\left[a, b\right]))^{*}, где C([a,b])C(\left[a, b\right]) — действительное пространство, существуют неотрицательные функционалы f1f_{1} и f2f_{2} такие, что f=f1−f2f = f_{1}-f_{2}.

?
Задача 3.45

Линейный функционал ff на действительном пространстве C([a,b])C(\left[a, b\right]) называется мультипликативным, если f(xy)=f(x)f(y),x,y∈C([a,b])f(x y) = f(x) f(y), x, y \in C(\left[a, b\right]). Доказать, что

?
(1)

для фиксированного τ∈[a,b]\tau \in [a, b] функционал f(x)=x(τ),x∈C([a,b])f(x) = x(\tau ), x \in C(\left[a, b\right]), мультипликативен;

(2)

каждый ненулевой мультипликативный функционал непрерывен и имеет норму, равную единице;

(3)

если ff — ненулевой мультипликативный функционал, то существует τ∈[a,b]\tau \in [a, b] такое, что f(x)=x(τ),x∈C([a,b])f(x) = x(\tau ), x \in C(\left[a, b\right]).

Задача 3.46

Пусть X1,X2X_{1}, X_{2} — два нормированных линейных пространства, X:=X1⨁X2X: = X_{1} \bigoplus X_{2} — их прямая сумма с нормой

∥(x1,x2)∥p=(∥x1∥X1p+∥x2∥X2p)1p,1≤p<+∞. \left\| \left(x_{1}, x_{2}\right)\right\| _{p} = \left(\left\| x_{1}\right\| _{X_{1}}^{p}+\left\| x_{2}\right\| _{X_{2}}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}, 1 \leq p < +\infty .

Доказать, что каждый функционал h∈X∗h \in X^{*} единственным образом представляется в виде

h((x,y))=f1(x)+f2(y),(x,y)∈X, h((x, y)) = f_{1}(x)+f_{2}(y), \quad (x, y) \in X,

где fi∈Xi∗,i=1,2f_{i} \in X_{i}^{*}, i = 1,2.

?
Задача 3.47

Доказать, что в бесконечномерном НЛП существуют линейные разрывные функционалы.

?
Задача 3.48

Пусть XX — НЛП, M⊂XM \subset X — выпуклое плотное подмножество в XX и f∈X∗f \in X^{*}. Доказать, что множество M∩Ker⁡fM \cap \operatorname {Ker} f плотно в Ker⁡f\operatorname {Ker} f.

?
Задача 3.49

(Ямабэ) Пусть XX — НЛП, M⊂XM \subset X — выпуклое плотное подмножество в X,x∈X,ε>0,f1,…,fn∈X∗X, x \in X, \varepsilon > 0, f_{1}, \ldots , f_{n} \in X^{*}. Доказать, что ∃y∈M,∥x−y∥<ε:fi(y)=fi(x),1≤i≤n\exists y \in M,\left\| x-y\right\| < \varepsilon : f_{i}(y) = f_{i}(x), 1 \leq i \leq n.

?
Задача 3.50

Доказать, что для любой функции x∈C([a,b])x \in C(\left[a, b\right]), любых точек t1,…,tn∈[a,b]t_{1}, \ldots , t_{n} \in [a, b] и любого ε>0\varepsilon > 0 существует многочлен pp такой, что max⁡t∈[a,b]∣x(t)−p(t)∣<ε\max_{t \in [a, b]}\left|x(t)-p(t)\right| < \varepsilon, и p(ti)=x(ti),1≤i≤np\left(t_{i}\right) = x\left(t_{i}\right), 1 \leq i \leq n.

?