Примеры с решениями

Пусть $\varphi$ — ненулевая функция из $\mathcal{D}(\mathbb {R})$. Сходится ли последовательность $\varphi_{n}(x) = \frac{1}{n} \varphi \left(\frac{x}{n}\right)$, $x \in \mathbb {R}, n \geq 1$, в $\mathcal{D}(\mathbb {R})$?

Пусть $n \in \mathbb {N}, \xi \in \mathcal{D}(\mathbb {R})$ такова, что $\xi (x) = 1$ в некоторой окрестности нуля, и $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb {R})$. Доказать, что функция

доопределённая по непрерывности в точке $x = 0$, принадлежит пространству $\mathcal{D}(\mathbb {R})$.

Используя определение, доказать, что следующие функционалы являются обобщёнными функциями:

Доказать, что функционал $\mathcal{P} \frac{1}{x}$, определённый формулой

является сингулярной обобщённой функцией.

Доказать, что ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n} \delta_{n}$ сходится в $\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})$ для любых $a_{n} \in \mathbb {C}$.

Пусть для $n \in \mathbb {N}$ функция $\mathcal{P} \frac{\cos n x}{x}$ определена формулой

$\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb {R})$. Доказать, что $\mathcal{P} \frac{\cos n x}{x} \xrightarrow {\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})} 0, n \rightarrow \infty$.

Доказать, что обобщённая функция $f = \sum_{k = 0}^{n-1} c_{k} \delta_{0}^{(k)}, c_{0}, \ldots , c_{n-1} \in \mathbb {C}$, является общим решением в $\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})$ уравнения $x^{n} f(x) = 0, n \in \mathbb {N}$.

Пусть $f \in \mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})$ и $f(x+a) = f(x)$ для всех $a \in \mathbb {R}$. Доказать, что $f =$ const, т.е. существует $C \in \mathbb {C}$ такое, что $\left\langle f, \varphi \right\rangle = C \int_{\mathbb {R}} \varphi (x) d x, \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb {R})$.

Доказать, что равенство $\left|\sin x\right|^{\prime \prime }+\left|\sin x\right| = 2 \sum_{k \in \mathbb {Z}} \delta_{k \pi }$ выполняется в $\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})$.

Найти общее решение уравнения $(x+1) y^{\prime \prime } = 0$ в $\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})$.

Пусть $a \in \mathbb {R} \backslash \left\{ 0\right\} , \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb {R})$. Найти общее решение уравнения $\frac{d^{2} u}{d x^{2}}+ a^{2} u = \varphi$.

Доказать, что $\mathcal{D}(\mathbb {R}) \subset \mathcal{S}(\mathbb {R})$, и $\mathcal{D}(\mathbb {R})$ плотно в $\mathcal{S}(\mathbb {R})$.

Доказать, что ряд $\sum_{k \in \mathbb {Z}} e^{k^{2}} \delta_{k}$ сходится в $\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})$, но расходится в $\mathcal{S}^{\prime }(\mathbb {R})$.

Доказать, что для всех $f \in L_{2}(\mathbb {R})$ равенство $\left(F^{2}\left[f\right]\right)(x) = f(-x)$ выполняется для почти всех $x \in \mathbb {R}$.

Доказать, что $F\left[\delta_{0}\right] = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }}$ и $F\left[1\right] = \sqrt{2 \pi } \delta_{0}$, где $F$ действует в $\mathcal{S}^{\prime }(\mathbb {R})$.

Пусть $\theta \left(x_{1}, \ldots , x_{m}\right) = \theta \left(x_{1}\right) \theta \left(x_{2}\right) \ldots \theta \left(x_{m}\right)$, где $\theta \left(x_{i}\right)$ — функция Хевисайда. Доказать, что в пространстве $\mathcal{D}^{\prime }\left(\mathbb {R}^{m}\right)$ выполняется следующее равенство:

где $x = \left(x_{1}, \ldots , x_{m}\right)$.