Банк задач по математике

Задача 12.3

Какие из следующих множеств могут быть спектром компактного оператора в $l_{2}$ :

?

(1)

$\left[0,1\right]$

(2)

$\left\{ 0,1\right\}$

(3)

$\left\{ 0\right\}$

(4)

$\left\{ 1\right\}$

(5)

$\left\{ \frac{1}{n}: n \geq 1\right\}$

(6)

$\left\{ 0\right\} \cup \left\{ \frac{1}{n}: n \geq 1\right\}$

(7)

$\left\{ 0\right\} \cup \left\{ \frac{i}{n}: n \geq 1\right\}$

?

Задача 12.4

(1)(2)

Определить, компактен ли оператор $(A x)(t) = \int_{0}^{1} t s^{3} x(s) d s$ , и найти его спектр:

?

(1)

в пространстве $L_{2}(\left[0,1\right])$ ;

(2)

в пространстве $C(\left[0,1\right])$ .

Задача 12.5

(1)(2)

Пусть $u, v \in C(\left[a, b\right])$ . Определить, компактен ли оператор

(A x)(t) = \int _{a}^{b} u(t) v(s) x(s) d s

и найти его спектр:

?

(1)

в пространстве $L_{2}(\left[a, b\right])$ ;

(2)

в пространстве $C(\left[a, b\right])$ .

Задача 12.6

Найти спектр оператора $A$ в $C(\left[0,1\right])$ .

?

(1)

$(A x)(t) = \int_{0}^{1} e^{t-s} x(s) d s$ ;

(2)

$(A x)(t) = t^{3} \int_{0}^{1} s^{2} x(s) d s$ ;

(3)

$(A x)(t) = t \int_{0}^{1} \sin s x(s) d s$ ;

(4)

$(A x)(t) = \sin t \cdot x\left(\frac{\pi }{6}\right)$ ;

(5)

$(A x)(t) = \int_{0}^{1} s^{\alpha } x(s) d s, \alpha \geq 0 ;$

(6)

$(A x)(t) = e^{t} \int_{0}^{1} s x(s) d s$ ;

(7)

$(A x)(t) = 2 x(0)+t x(1)$ ;

(8)

$(A x)(t) = t \int_{0}^{1} \frac{x(s)}{1+s^{2}} d s$ .

Задача 12.7

Найти спектр оператора $A$ в $L_{2}(\left[0,1\right])$ .

?

(1)

$(A x)(t) = t^{\alpha } \int_{0}^{1} x(s) d s, \alpha > -\frac{1}{2}$ ;

(2)

$(A x)(t) = e^{2 t} \int_{0}^{1} s x(s) d s$ ;

(3)

$(A x)(t) = t^{5} \int_{0}^{1} s x(s) d s$ ;

(4)

$(A x)(t) = \int_{0}^{1} e^{t-3 s} x(s) d s$ ;

(5)

$(A x)(t) = t^{2} \int_{0}^{1} s^{2} x(s) d s$ ;

(6)

$(A x)(t) = t \int_{0}^{1} \frac{x(s)}{1+s} d s$ ;

(7)

$(A x)(t) = t^{\alpha } \int_{0}^{1} s^{\beta } x(s) d s, \alpha , \beta \geq 0 ;$

(8)

$(A x)(t) = \chi_{\left[\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right]}(t) \cdot \int_{0}^{1} e^{s} x(s) d s$ .

Задача 12.8

(1)(2)(3)(4)

Найти спектр оператора $A \in \mathcal{L}(X)$ .

?

(1)

$(A x)(t) = \int_{-1}^{1}\left(3 t^{2} s-2 t s^{3}\right) x(s) d s, X = C(\left[-1,1\right]) ;$

(2)

$(A x)(t) = \int_{0}^{1}\left(4 t^{4} s^{3}+t\right) x(s) d s, X = L_{p}(\left[0,1\right]), 1 \leq p \leq +\infty ;$

(3)

$(A x)(t) = \int_{0}^{1}\left(8 t^{3}+5 s^{4}\right) x(s) d s, X = C(\left[0,1\right]) ;$

(4)

$(A x)(t) = \int_{0}^{1}\left(s-3 t^{2} s^{3}\right) x(s) d s, X = L_{p}(\left[0,1\right]), 1 \leq p \leq +\infty$ .

Задача 12.9

Определить, компактен ли оператор $A$ в $L_{2}(\left[a, b\right])$ , найти его спектр и норму.

?

(1)

$(A x)(t) = \int_{0}^{2 \pi }(\cos t \cos s+1) x(s) d s,\left[a, b\right] = \left[0,2 \pi \right] ;$

(2)

$(A x)(t) = \int_{0}^{2 \pi } \sin (t-s) x(s) d s,\left[a, b\right] = \left[0,2 \pi \right] ;$

(3)

$(A x)(t) = \int_{0}^{\pi } \cos (t+s) x(s) d s,\left[a, b\right] = \left[0, \pi \right] ;$

(4)

$(A x)(t) = 2 x(t)+\int_{-1}^{1}\left(t s-2 t^{4} s^{4}\right) x(s) d s,\left[a, b\right] = \left[-1,1\right] ;$

(5)

$(A x)(t) = \int_{0}^{1}\left(3 t s+4 t^{2} s^{2}\right) x(s) d s,\left[a, b\right] = \left[0,1\right] ;$

(6)

$(A x)(t) = \int_{-1}^{1}\left(t^{2} s-t s^{2}\right) x(s) d s,\left[a, b\right] = \left[-1,1\right] ;$

(7)

$(A x)(t) = 3 i x(t)+\int_{0}^{\pi } 2(\cos t-\cos s) x(s) d s,\left[a, b\right] = \left[0, \pi \right] ;$

(8)

$(A x)(t) = \int_{0}^{1}\left(t^{4}+s^{4}\right) x(s) d s,\left[a, b\right] = \left[0,1\right] ;$

(9)

$(A x)(t) = x(t)+\int_{-1}^{1}\left(t s+3 t^{2} s^{2}\right) x(s) d s,\left[a, b\right] = \left[-1,1\right] ;$

(10)

$(A x)(t) = -x(t)+\int_{-\pi }^{\pi } \cos (t-s) x(s) d s,\left[a, b\right] = \left[-\pi , \pi \right]$ .

Задача 12.10

(1)(2)(3)(4)

Определить, компактен ли оператор $A$ в $l_{p}, 1 \leq p \leq +\infty$ , найти его спектр. Также найти норму оператора в случае $p = 2$ .

?

(1)

$A x = \left(x_{1}+3 x_{2}, 3 x_{1}+x_{2}, 2 x_{3}, 5 x_{4}, 5 x_{5}, \ldots \right)$ ;

(2)

$A x = \left(i x_{2},-i x_{1}, 2 i x_{4},-2 i x_{3}, x_{5}, 0,0, \ldots \right)$ ;

(3)

$A x = \left(x_{1}+x_{3}, x_{2}+2 x_{4}, x_{1}+x_{3}, 2 x_{2}+x_{4}, 0,0, \ldots \right)$ ;

(4)

$A x = \left(x_{2}+x_{3}, x_{1}+x_{3}, x_{1}+x_{2}, 2 x_{4}, 2 x_{5}, \ldots \right)$ .

Задача 12.11

Найти спектр, спектральный радиус и норму оператора $A$ в $l_{2}$ , определённого формулой $A x = \left(2 x_{1}+\sqrt{2} x_{2}, 3 x_{2}, 0, \ldots \right)$ .

?

Задача 12.12

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in S_{\infty }(X)$ и $\lambda \neq 0$ . Доказать, что $R(A-\lambda I)$ является замкнутым подпространством в $X$ .

?

Задача 12.13

(1)(2)(3)

Привести пример компактного оператора в $l_{2}$ , для которого

?

(1)

0 не является собственным значением;

(2)

0 является собственным значением конечной кратности;

(3)

0 является собственным значением бесконечной кратности.

Задача 12.14

Пусть $A$ — компактный самосопряжённый оператор в бесконечномерном гильбертовом пространстве. Доказать, что если $A$ имеет конечное число собственных значений, то 0 является собственным значением оператора $A$ бесконечной кратности.

?

Задача 12.15

Пусть $\left\{ \varphi_{n}: n \geq 1\right\}$ — ортонормированный базис в гильбертовом пространстве $H, A \in \mathcal{L}(H)$ и $A \varphi_{n} = \lambda_{n} \varphi_{n}, n \geq 1$ , где $\left\{ \lambda_{n}: n \geq 1\right\}$ — ограниченная числовая последовательность. Доказать, что $A x = \sum_{n = 1}^{\infty } \lambda_{n}\left(x, \varphi_{n}\right) \varphi_{n}$ для всех $x \in H$ .

?

Задача 12.16

Пусть $A \in \mathcal{L}\left(L_{2}(\left[0, \pi \right])\right),\left(A \varphi_{n}\right)(t) = \frac{1}{n^{2}} \varphi_{n}(t), t \in [0, \pi ]$ , где $\varphi_{n}(t) = \sin n t, n \geq 1$ . Доказать, что $A$ — интегральный оператор Гильберта-Шмидта. Найти его ядро $K$ .

?

Задача 12.17

(1)(2)(3)

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $\left\{ \varphi_{n}: n \geq 1\right\}$ — ортонормированная последовательность в $H,\left\{ \lambda_{n}: n \geq 1\right\} \subset \mathbb {C} \backslash \left\{ 0\right\}$ — ограниченная последовательность, $A x = \sum_{n = 1}^{\infty } \lambda_{n}\left(x, \varphi_{n}\right) \varphi_{n}, x \in H$ .

Доказать, что

?

(1)

$A \in \mathcal{L}(H)$ ;

(2)

$\sigma_{p}(A) \backslash \left\{ 0\right\} = \left\{ \lambda_{n}: n \geq 1\right\}$ ;

(3)

$0 \notin \sigma_{p}(A)$ тогда и только тогда, когда $\left\{ \varphi_{n}: n \geq 1\right\}$ является базисом в $H$ .

При каких условиях на последовательность $\left\{ \lambda_{n}: n \geq 1\right\}$ оператор $A$ является самосопряжённым? неотрицательным? нормальным? компактным? оператором Гильберта-Шмидта?

Задача 12.18

(1)(2)

Пусть $A$ — самосопряжённый компактный оператор в гильбертовом пространстве $H, A = \sum_{n = 1}^{\infty } \lambda_{n}\left(\cdot , \varphi_{n}\right) \varphi_{n}$ — его разложение Шмидта. Доказать, что

?

(1)

$\forall k \geq 1: A^{k} x = \sum_{n = 1}^{\infty } \lambda_{n}^{k}\left(x, \varphi_{n}\right) \varphi_{n}, x \in H$ ;

(2)

$\forall \lambda \in \mathbb {C} \backslash \left\{ 0, \lambda_{n}, n \geq 1\right\}$ :

R_{\lambda }(A) y = \sum _{n = 1}^{\infty } \frac{\left(y, \varphi _{n}\right)}{\lambda _{n}-\lambda } \varphi _{n}-\frac{1}{\lambda } P y = \frac{1}{\lambda }\left(\sum _{n = 1}^{\infty } \frac{\lambda _{n}\left(y, \varphi _{n}\right)}{\lambda _{n}-\lambda } \varphi _{n}-y\right), y \in H

где $P$ — ортогональный проектор на $\operatorname {Ker} A$ .

Задача 12.19

(1)(2)

Пусть $H$ — сепарабельное гильбертово пространство, $A$ — компактный самосопряжённый оператор в $H,\left\{ \varphi_{n}: n \geq 1\right\}$ — ортонормированный базис в $H$ , такой что $A \varphi_{n} = \lambda_{n} \varphi_{n}, n \geq 1$ . Для фиксированных $\lambda \in \mathbb {C} \backslash \left\{ 0\right\}$ и $y \in H$ рассмотрим уравнение $(A-\lambda I) x = y$ . Доказать, что

?

(1)

если $\lambda_{n} \neq \lambda$ для всех $n \geq 1$ , то решение единственно и имеет вид

x = \frac{1}{\lambda }\left(\sum _{n = 1}^{\infty } \frac{\lambda _{n}}{\lambda _{n}-\lambda }\left(y, \varphi _{n}\right) \varphi _{n}-y\right)

(2)

если $J = \left\{ n \geq 1 \mid \lambda_{n} = \lambda \right\} \neq \varnothing$ (множество $J$ конечно, так как оператор $A$ компактен), то решение существует тогда и только тогда, когда $\left(y, \varphi_{n}\right) = 0$ для всех $n \in J$ . В этом случае общее решение имеет вид

x = \frac{1}{\lambda }\left(\sum _{n \in \mathbb {N} \backslash J} \frac{\lambda _{n}}{\lambda _{n}-\lambda }\left(y, \varphi _{n}\right) \varphi _{n}-y\right)+\sum _{n \in J} C_{n} \varphi _{n},

где $C_{n}, n \in J$ , — произвольные постоянные.

Задача 12.20

Пусть $A$ — неотрицательный компактный оператор в гильбертовом пространстве $H$ . Доказать, что существует единственный неотрицательный компактный оператор $B$ такой, что $B^{2} = A$ . При этом, если $A = \sum_{n = 1}^{\infty } \lambda_{n}\left(\cdot , \varphi_{n}\right) \varphi_{n}$ — разложение Шмидта, то $B = \sum_{n = 1}^{\infty } \sqrt{\lambda_{n}}\left(\cdot , \varphi_{n}\right) \varphi_{n}$ .

?

Примечание.

?

Оператор $B$ называется квадратным корнем оператора $A$ . Квадратный корень оператора $A$ обозначается $B = \sqrt{A}$ или $B = A^{\frac{1}{2}}$ . В задаче 9.52* существование и единственность квадратного корня произвольного неотрицательного оператора $A$ доказано другим методом без предположения, что оператор $A$ компактен.

Задача 12.21

(1)(2)(3)

Пусть $K(t, s) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}} \sin n \pi t \sin n \pi s, t, s \in [-1,1]$ . Рассмотрим оператор $A$ в $L_{2}(\left[-1,1\right])$ , определённый формулой

(A x)(t) = \int _{-1}^{1} K(t, s) x(s) d s, t \in [-1,1]

?

(1)

Доказать, что $A$ — самосопряжённый оператор Гильберта-Шмидта (в частности, $A$ — компактный оператор).

(2)

Найти $\sigma (A), r(A)$ и $\left\| A\right\|$ , а также ортонормированную последовательность собственных функций оператора $A$ .

(3)

Найти разложение Шмидта оператора $A$ .

Задача 12.22

(1)(2)(3)

Пусть $K$ — чётная $2 \pi$ -периодическая вещественнозначная функция, принадлежащая $L_{2}(\left[-\pi , \pi \right]), K(t) = \sum_{n \in \mathbb {Z}} c_{n} e^{i n t}, t \in \mathbb {R}$ — её ряд Фурье. Рассмотрим оператор $A$ в $L_{2}(\left[-\pi , \pi \right])$ , определённый формулой

(A x)(t) = \int _{-\pi }^{\pi } K(t-s) x(s) d s, t \in [-\pi , \pi ]

?

(1)

Доказать, что $A$ — самосопряжённый оператор Гильберта-Шмидта, а функции $\varphi_{n}(t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} e^{i n t}, t \in [-\pi , \pi ], n \in \mathbb {Z}$ , образующие ортонормированный базис в пространстве $L_{2}(\left[-\pi , \pi \right])$ , являются собственными функциями оператора $A$ .

(2)

Найти $\sigma_{p}(A), \sigma (A), r(A)$ и $\left\| A\right\|$ .

(3)

Найти разложение Шмидта оператора $A$ .

Задача 12.23

(1)(2)(3)

Пусть $K$ — чётная $2 \pi$ -периодическая вещественнозначная функция, принадлежащая $L_{2}(\left[-\pi , \pi \right]), K(t) = \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n} \cos n t, t \in \mathbb {R}$ — её ряд Фурье. Рассмотрим оператор $A$ в $L_{2}(\left[-\pi , \pi \right])$ , определённый формулой

(A x)(t) = \int _{-\pi }^{\pi } K(t+s) x(s) d s, t \in [-\pi , \pi ]

?

(1)

Доказать, что $A$ — самосопряжённый оператор Гильберта-Шмидта со следующими собственными значениями и ортонормированными собственными функциями: $\lambda_{0} = \pi a_{0}, \varphi_{0}(t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} ; \lambda_{n}^{(1)} = \pi a_{n}, \varphi_{n}^{(1)}(t) = \frac{\cos n t}{\sqrt{\pi }} ; \lambda_{n}^{(2)} = -\pi a_{n}, \varphi_{n}^{(2)}(t) = \frac{\sin n t}{\sqrt{\pi }}, n \geq 1$ .

(2)

Найти $\sigma (A), r(A)$ и $\left\| A\right\|$ .

(3)

Найти разложение Шмидта оператора $A$ .

Задача 12.24

Пусть $A$ — интегральный оператор в $L_{2}(\left[-\pi , \pi \right])$ с ядром $K(t, s)$ . Найти норму и спектр оператора $A$ , а также собственные функции, соответствующие ненулевым собственным значениям.

?

(1)

$K(t, s) = \sum_{n = 1}^{N} \lambda_{n} \cos n(t-s), N \in \mathbb {N}, \lambda_{1}, \ldots , \lambda_{N} \in \mathbb {C} \backslash \left\{ 0\right\}$ ;

(2)

$K(t, s) = \cos^{4}(t-s)$ ;

(3)

$K(t, s) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}} \cos n t \cos n s$ ;

(4)

$K(t, s) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}} \sin (2 n+1) t \sin (2 n+1) s$ ;

(5)

$K(t, s) = \sum_{n = 0}^{\infty } \frac{1}{(2 n+1)^{2}} \cos (2 n+1) t \cos (2 n+1) s$ ;

(6)

$K(t, s) = \sum_{n = 0}^{\infty } \frac{1}{(2 n+1)^{2}} \cos (2 n+1)(t-s)$ .

Задача 12.25

Найти норму, спектр, собственные значения и собственные функции оператора $A$ в $L_{2}(\left[a, b\right])$ , определённого формулой $(A x)(t) = \int_{a}^{b} K(t, s) x(s) d s, t \in \left[a, b\right]$ , в следующих случаях:

?

(1)

$K(t, s) = \begin{cases} t(1-s), & t \leq s, \\ s(1-t), & s \leq t, \end{cases} \quad a = 0, b = 1$ ;

(2)

$K(t, s) = \begin{cases} \sin t \cos s, & t \leq s, \\ \cos t \sin s, & s \leq t, \end{cases} \quad a = 0, b = \pi$ ;

(3)

$K(t, s) = \begin{cases} \cos t \sin s, & t \leq s, \\ \sin t \cos s, & s \leq t, \end{cases} \quad a = 0, b = \pi$ ;

(4)

$K(t, s) = \begin{cases} (t+1) s, & t \leq s, \\ t(s+1), & s \leq t, \end{cases} \quad a = 0, b = 1$ ;

(5)

$K(t, s) = \begin{cases} \sin t \sin (1-s), & t \leq s, \\ \sin (1-t) \sin s, & s \leq t, \end{cases} \quad a = 0, b = 1$ ;

(6)

$K(t, s) = \begin{cases} (1+t)(1-s), & t \leq s, \\ (1-t)(1+s), & s \leq t, \end{cases} \quad a = -1, b = 1$ .

Задача 12.26

Найти норму оператора $A$ в $L_{2}(\left[0,1\right])$ , определённого формулой $(A x)(t) = \int_{0}^{t} x(s) d s$ .

?

Задача 12.27

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A \in \mathcal{L}(H)$ и $A^{*} = A$ . Доказать, что если $\sigma (A)$ — счётное множество без ненулевых предельных точек, и каждая ненулевая точка его спектра является собственным значением конечной кратности, то оператор $A$ компактен.

?

Задача 12.28

(1)(2)(3)

(Никольский) Доказать, что теорема 12.1 остаётся верной для оператора $A \in \mathcal{L}(X)$ , где $X$ — банахово пространство, если условие $A \in S_{\infty }(X)$ заменить условием $A^{k} \in S_{\infty }(X)$ для некоторого $k \in \mathbb {N}$ .

Теорема 12.1: Пусть $A$ — компактный оператор в бесконечномерном банаховом пространстве. Тогда

?

(1)

$0 \in \sigma (A) ;$

(2)

$\sigma (A)$ — счётное множество, единственной возможной предельной точкой которого является 0;

(3)

любая ненулевая точка спектра является собственным значением конечной кратности, т.е. если $\lambda \in \sigma (A) \backslash \left\{ 0\right\}$ , то $0 < \operatorname {dimKer}(A-\lambda I) < +\infty$ .

Задача 12.29

(1)(2)

(Судаков)

?

(1)

Пусть $X$ — банахово пространство, $M \subset X, A \in \mathcal{L}(X), 1 \notin \sigma_{p}(A), A^{k} \in S_{\infty }(X)$ для некоторого $k \in \mathbb {N}$ , и существует $C > 0$ такое, что $\left\| A x-x\right\| < C$ для всех $x \in M$ . Доказать, что множество $M$ ограничено.

(2)

Доказать, что в критериях компактности в $L_{p}(\left[a, b\right])$ Колмогорова и М. Рисса (см. задачи 10.81 и 10.82) условие (a) следует из условия (b).

Задача 12.30

(1)(2)(3)

Пусть $H$ — сепарабельное гильбертово пространство, $\left\{ \varphi_{n}: n \geq 1\right\}$ и $\left\{ \psi_{n}: n \geq 1\right\}$ — ортонормированные последовательности в $H,\left\{ s_{n}: n \geq 1\right\}$ — числовая последовательность такая, что $\lim_{n \rightarrow \infty } s_{n} = 0$ . Для любого $x \in H$ положим $A_{n} x = \sum_{k = 1}^{n} s_{k}\left(x, \varphi_{k}\right) \psi_{k}, n \geq 1$ , и $A x = \sum_{n = 1}^{\infty } s_{n}\left(x, \varphi_{n}\right) \psi_{n}$ . Доказать, что

?

(1)

$A_{n} \rightrightarrows A, n \rightarrow \infty$ ;

(2)

$A$ — компактный оператор в $H$ ;

(3)

$A$ — оператор Гильберта-Шмидта тогда и только тогда, когда $\sum_{n = 1}^{\infty }\left|s_{n}\right|^{2} < \infty$ .

Задача 12.31

Пусть $A$ — оператор из задачи $12.30^{\circ }$ . Найти $A^{*}, A A^{*}, A^{*} A$ .

?

Задача 12.32

Доказать, что любой компактный оператор $A$ в гильбертовом пространстве $H$ может быть представлен в виде

A = \sum _{n = 1}^{N} s_{n}\left(\cdot , \varphi _{n}\right) \psi _{n},

где $N \leq +\infty ,\left\{ \varphi_{n}: 1 \leq n \leq N\right\}$ и $\left\{ \psi_{n}: 1 \leq n \leq N\right\}$ — ортонормированные последовательности, а $\left\{ s_{n}: 1 \leq n \leq N\right\}$ — положительные собственные значения оператора $\left|A\right| = \sqrt{A^{*} A}$ (квадратный корень определён в задаче 12.20). При этом, если $N = +\infty$ , то ряд сходится по операторной норме. Числа $s_{n}, 1 \leq n \leq N$ , называются сингулярными числами оператора $A$ .

?

Задача 12.33

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A \in S_{\infty }(H),\left\| A^{*} x\right\| \leq \left\| A x\right\| , x \in H$ . Доказать, что $A^{*} A = A A^{*}$ .

?

Задача 12.34

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A \in S_{\infty }(H), A^{*} = A,\left\{ \lambda_{n}^{+}: 1 \leq n \leq N^{+}\right\} ,\left\{ \lambda_{n}^{-}: 1 \leq n \leq N^{-}\right\}$ , где $N^{+}, N^{-} \leq +\infty$ , — последовательности положительных и отрицательных собственных значений оператора $A$ , пронумерованные с учётом их кратностей, и $\lambda_{1}^{-} \leq \lambda_{2}^{-} \leq \ldots < 0 < \ldots \leq \lambda_{2}^{+} \leq \lambda_{1}^{+}$ (одна или обе последовательности $\left\{ \lambda_{n}^{+}\right\} ,\left\{ \lambda_{n}^{-}\right\}$ могут быть пустыми). Также пусть $\varphi_{n}^{ \pm }$ — единичные собственные векторы, соответствующие собственным значениям $\lambda_{n}^{ \pm }$ . Доказать, что

\begin{aligned} & \lambda _{1}^{+} = \max \left\{ (A x, x) \mid \left\| x\right\| = 1\right\} = \left(A \varphi _{1}^{+}, \varphi _{1}^{+}\right) \\ & \lambda _{n}^{+} = \max \left\{ (A x, x) \mid \left\| x\right\| = 1,\left(x, \varphi _{k}^{+}\right) = 0,1 \leq k \leq n-1\right\} = \\ & = \left(A \varphi _{n}^{+}, \varphi _{n}^{+}\right), 2 \leq n \leq N^{+}. \end{aligned}

?

Примечание.

?

Для чисел $\lambda_{n}^{-}$ верны аналогичные формулы с заменой max на $\min$ , так как $\left\{ -\lambda_{n}^{-}: n \geq 1\right\}$ — положительные собственные значения оператора $-A$ .

Задача 12.35

(1)(2)

Пусть $\mathcal{L}_{n}$ — семейство всех $n$ -мерных подпространств $H, n \geq 1$ . В обозначениях задачи 12.34 доказать, что для всех $1 \leq n \leq N^{+}$

?

(1)

$\lambda_{n}^{+} = \min_{L \in \mathcal{L}_{n-1}} \max_{x \in L^{\perp },\left\| x\right\| = 1}(A x, x)$ ;

(2)

$\lambda_{n}^{+} = \max_{L \in \mathcal{L}_{n}} \min_{x \in L,\left\| x\right\| = 1}(A x, x)$ .

Задача 12.36

(Теорема о переплетении Коши) Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A$ — компактный самосопряжённый оператор в $H, G \subset H$ — подпространство коразмерности 1 (т.е. $\operatorname {dim} G^{\perp } =$ 1), $P$ — ортогональный проектор на $G$ . Доказать, что собственные значения $\lambda_{n}^{ \pm }$ оператора $A$ и собственные значения $\mu_{n}^{ \pm }$ оператора $P A P$ , пронумерованные так же, как в задаче 12.34, удовлетворяют следующим неравенствам: $\lambda_{1}^{+} \geq \mu_{1}^{+} \geq \lambda_{2}^{+} \geq \mu_{2}^{+} \geq \ldots > 0$ , если $A$ имеет положительные собственные значения, $\lambda_{1}^{-} \leq \mu_{1}^{-} \leq \lambda_{2}^{-} \leq \mu_{2}^{-} \leq \ldots < 0$ , если $A$ имеет отрицательные собственные значения.

?

Задача 12.37

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A \in S_{\infty }(H)$ . Обозначим через $s_{n}(A), 1 \leq n \leq N_{A}, N_{A} \leq +\infty$ , сингулярные числа оператора $A$ (см. задачу 12.32), записанные в порядке убывания с учётом их кратностей. В случае $N_{A} < +\infty$ положим $s_{n}(A) = 0, n > N_{A}$ . Доказать, что

?

(1)

$s_{n}\left(A^{*}\right) = s_{n}(A), n \geq 1 ;$

(2)

$s_{n}(A) = \min_{L: \operatorname {dim} L \leq n-1} \max_{x \in L^{\perp },\left\| x\right\| = 1}\left\| A x\right\| , 1 \leq n \leq \operatorname {dim} H$ , в частности, $s_{1}(A) = \left\| A\right\|$ ;

(3)

если $B \in \mathcal{L}(H)$ , то

s_{n}(B A) \leq \left\| B\right\| s_{n}(A), s_{n}(A B) \leq \left\| B\right\| s_{n}(A), n \geq 1 ;

(4)

если $B \in S_{\infty }(H), A \geq B \geq 0$ , то $s_{n}(A) \geq s_{n}(B), n \geq 1$ ;

(5)

$s_{n}(A) = \min \left\| A-T\right\|$ , где минимум берётся по всем операторам $T \in S_{0}(H)$ , для которых $\operatorname {rank} T = \operatorname {dim} R(T) \leq n-1, n \geq 1 ;$

(6)

если $B \in S_{\infty }(H)$ , то $s_{m+n-1}(A+B) \leq s_{m}(A)+s_{n}(B), n, m \geq 1$ ;

(7)

если $B \in S_{\infty }(H)$ , то $\left|s_{n}(A)-s_{n}(B)\right| \leq \left\| A-B\right\| , n \geq 1$ .

Задача 12.38

Пусть $H$ — сепарабельное гильбертово пространство, $A \in S_{\infty }(H),\left\{ s_{n}(A): n \geq 1\right\}$ — последовательность сингулярных чисел оператора $A$ , пронумерованных с учётом их кратностей и, возможно, дополненных нулями. Доказать, что $A$ — оператор Гильберта-Шмидта тогда и только тогда, когда $\sum_{n = 1}^{\infty } s_{n}^{2}(A) < +\infty$ . При этом $\left\| A\right\|_{2} = \left(\sum_{n = 1}^{\infty } s_{n}^{2}(A)\right)^{1 / 2}$ .

?

Задача 12.39

Пусть $H$ — сепарабельное гильбертово пространство, $A \in S_{\infty }(H),\left\{ s_{n}(A): n \geq 1\right\}$ — последовательность сингулярных чисел оператора $A$ . Говорят, что оператор $A$ принадлежит классу Шаттена $S_{p}(H)$ , где $1 \leq p < +\infty$ , если $\left\| A\right\|_{p}: = \left(\sum_{n = 1}^{\infty } s_{n}^{p}(A)\right)^{1 / p} < +\infty$ . Доказать, что

?

(1)

$A \in S_{p}(H)$ тогда и только тогда, когда $A^{*} \in S_{p}(H)$ ;

(2)

$\left\| A\right\|_{p} \geq \left\| A\right\| , A \in S_{p}(H)$ ;

(3)

если $A \in S_{p}(H)$ и $B \in \mathcal{L}(H)$ , то $A B, B A \in S_{p}(H)$ , и

\left\| A B\right\| _{p} \leq \left\| A\right\| _{p} \cdot \left\| B\right\| , \quad \left\| B A\right\| _{p} \leq \left\| A\right\| _{p} \cdot \left\| B\right\| ;

(4)

$\left\| A\right\|_{p} = \max \left(\sum_{n = 1}^{\infty }\left|\left(A e_{n}, g_{n}\right)\right|^{p}\right)^{1 / p}, A \in S_{\infty }(H)$ , где максимум берётся по всем парам ортонормированных базисов $\left\{ e_{n}: n \geq 1\right\} ,\left\{ g_{n}: n \geq 1\right\}$ ;

(5)

если $A, B \in S_{p}(H)$ , то $A+B \in S_{p}(H)$ и

\left\| A+B\right\| _{p} \leq \left\| A\right\| _{p}+\left\| B\right\| _{p}

(6)

$S_{p}(H)$ , снабжённое нормой $\left\| \cdot \right\|_{p}$ , является банаховым пространством;

(7)

множество конечномерных операторов $S_{0}(H)$ плотно в $S_{p}(H)$ .

Примечание.

?

В силу задачи 12.38, определение класса Шаттена $S_{p}(H)$ при $p = 2$ согласуется с определением множества операторов Гильберта-Шмидта $S_{2}(H)$ .

Задача 12.40

Пусть $H$ — сепарабельное гильбертово пространство. Оператор $A$ , принадлежащий классу Шаттена $S_{1}(H)$ , называется ядерным (или оператором со следовым классом), а число $\left\| A\right\|_{1}$ называется ядерной нормой. Доказать следующие утверждения:

?

(1)

Если $A \in S_{1}(H)$ и $\left\{ e_{n}: n \geq 1\right\}$ — полный ортонормированный базис в $H$ , то ряд $\sum_{n = 1}^{\infty }\left(A e_{n}, e_{n}\right)$ сходится абсолютно, и его сумма не зависит от выбора базиса $\left\{ e_{n}: n \geq 1\right\}$ . Эта сумма обозначается $\operatorname {tr} A$ и называется следом оператора $A$ .

(2)

Если $A \in S_{1}(H)$ и $A \geq 0$ , то $\operatorname {tr} A = \sum_{n = 1}^{\infty } \lambda_{n}$ , где $\lambda_{n}, n \geq 1$ , — собственные значения оператора $A$ , пронумерованные с учётом их кратностей.

(3)

Если $A, B \in S_{2}(H)$ , то $A B, B A \in S_{1}(H)$ ,

\left\| A B\right\| _{1} \leq \left\| A\right\| _{2} \cdot \left\| B\right\| _{2}, \quad \left\| B A\right\| _{1} \leq \left\| A\right\| _{2} \cdot \left\| B\right\| _{2}.

(4)

Если $A, B \in S_{2}(H)$ , то $\operatorname {tr} A B = \operatorname {tr} B A$ .

(5)

Для любого $A \in S_{1}(H)$ существуют $B, C \in S_{2}(H)$ такие, что $A = B C$ .

(6)

Норма $\left\| A\right\|_{2}$ определяется скалярным произведением $(A, B): = \operatorname {tr} B^{*} A$ .

(7)

$S_{2}(H)$ — сепарабельное гильбертово пространство с ортонормированным базисом, состоящим из одномерных операторов $A_{m, n} = \left(\cdot , e_{n}\right) g_{m}, m, n \in \mathbb {N}$ , где $\left\{ e_{n}: n \geq 1\right\}$ и $\left\{ g_{n}: n \geq 1\right\}$ — ортонормированные базисы в $H$ .

Примечание.

?

(2)

Теорема Лидского утверждает, что равенство $\operatorname {tr} A = \sum_{n = 1}^{\infty } \lambda_{n}$ верно для всех $A \in S_{1}(H)$ . В частности, если оператор $A$ не имеет собственных значений, то $\operatorname {tr} A = 0$ .

Задача 12.41

Пусть $H = L_{2}(T, \mu )$ — сепарабельное гильбертово пространство. Доказать, что $A \in S_{2}(H)$ тогда и только тогда, когда $A$ — интегральный оператор вида $(A x)(t) = \int_{T} K(t, s) x(s) d \mu (s), t \in T, x \in H$ , где $K \in L_{2}(T \times T, \mu \times \mu )$ . При этом $\left\| A\right\|_{2}^{2} = \int_{T} \int_{T}\left|K(t, s)\right|^{2} d \mu (t) d \mu (s)$ .

?

Задача 12.42

(1)(2)(3)

Пусть $H_{1}, H_{2}$ — сепарабельные гильбертовы пространства, $\left\{ e_{n}: n \geq 1\right\} ,\left\{ f_{n}: n \geq 1\right\}$ — ортонормированные базисы в $H_{1}$ и $H_{2}$ соответственно. Оператор $A \in \mathcal{L}\left(H_{1}, H_{2}\right)$ называется оператором Гильберта-Шмидта, если его норма Гильберта-Шмидта $\left\| A\right\|_{2} = \left(\sum_{j, k = 1}^{\infty }\left|\left(A e_{k}, f_{j}\right)\right|^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$ конечна. Доказать, что

?

(1)

норма Гильберта-Шмидта не зависит от выбора ортонормированных базисов в пространствах $H_{1}$ и $H_{2}$ ;

(2)

функции $\sinh t, e^{i k t}, t \in [-\pi , \pi ], k \in \mathbb {Z}$ , образуют полную ортогональную систему в пространстве $W_{2}^{1}(\left[-\pi , \pi \right])$ (см. задачи $2.32^{\circ }, 2.33^{*})$ ;

(3)

оператор вложения пространства $W_{2}^{1}(\left[-\pi , \pi \right])$ в $L_{2}(\left[-\pi , \pi \right])$ является оператором Гильберта-Шмидта.

Задача 12.43

(1)(2)(3)

Пусть $\alpha = \left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \right), \alpha_{k} \geq 1$ для всех $k \geq 1, l_{2, \alpha }$ — гильбертово пространство всех последовательностей $x = \left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right)$ , удовлетворяющих условию

\left\| x\right\| _{\alpha } = \left(\sum _{n = 1}^{\infty } \alpha _{n} x_{n}^{2}\right)^{\frac{1}{2}} < \infty

снабжённое соответствующим скалярным произведением. Доказать следующие утверждения:

?

(1)

$l_{2, \alpha } \subset l_{2}$ , и норма оператора вложения $A: l_{2, \alpha } \rightarrow l_{2}, A x = x$ , не превосходит единицы;

(2)

оператор $A$ компактен тогда и только тогда, когда $\lim_{n \rightarrow \infty } \alpha_{n} = \infty$ ;

(3)

$A: l_{2, \alpha } \rightarrow l_{2}$ является оператором Гильберта-Шмидта тогда и только тогда, когда $\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{\alpha_{n}} < \infty$ .

Задачи