Задачи

Пусть $A \in \mathcal{L}(X)$. Доказать, что для $\left|\lambda \right| > \left\| A\right\|$ выполняется неравенство $\left\| R_{\lambda }(A)\right\| \leq (\left|\lambda \right|- \left\| A\right\| )^{-1}$.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{L}(X), \lambda \in \rho (A)$. Доказать, что $A$ и $R_{\lambda }(A)$ коммутируют.

Оператор $A \in \mathcal{L}\left(l_{\infty }\right)$ определён формулой $A x = \left(\alpha_{1} x_{1}, \alpha_{2} x_{2}, \ldots \right)$, $x \in l_{\infty }$, где $\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \right) \in l_{\infty }$. Найти $\sigma (A), \sigma_{p}(A), \sigma_{c}(A), \sigma_{r}(A)$, резольвенту и спектральный радиус оператора $A$.

Найти спектр, множество собственных значений, спектральный радиус и резольвенту оператора $A: l_{p} \rightarrow l_{p}, 1 \leq p \leq +\infty$.

Найти норму, спектральный радиус, множество собственных значений и спектр оператора $A: l_{2} \rightarrow l_{2}$.

Найти $\sigma (A), \sigma_{p}(A), \sigma_{c}(A), \sigma_{r}(A)$ и $R_{\lambda }(A)$.

Пусть $X = L_{p}(T, \mu ), 1 \leq p < +\infty$, где $\mu$ — $\sigma$-конечная мера на $T, a \in L_{\infty }(T, \mu ),(A x)(t) = a(t) x(t), t \in T, x \in X$. Доказать, что

(это множество называется существенным множеством значений функции $a$). Найти множество собственных значений оператора $A$.

Пусть $X$ — банахово пространство, оператор $A \in \mathcal{L}(X)$ имеет непрерывный обратный оператор $A^{-1}$. Доказать, что

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{L}(X)$. Доказать, что

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{L}(X)$ и существует ненулевой многочлен $P$ такой, что $P(A) = 0$. Доказать, что

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{L}(X)$ и $A^{2} = A$. Доказать, что $\sigma (A) \subset \left\{ 0,1\right\}$. Привести примеры операторов $A$, для которых $A^{2} = A$ и

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A \in \mathcal{L}(H)$ и $A^{*} = A$. Доказать, что если $\sigma (A) \subset \left\{ 0,1\right\}$, то $A$ — ортогональный проектор.

Пусть $X = C(\left[-1,1\right])$. Найти спектры операторов

Пусть $X = C(\left[-1,1\right])$. Найти собственные значения, собственные векторы и спектр оператора $A \in \mathcal{L}(X)$, определённого формулой $(A x)(t) = x(-t), t \in [-1,1], x \in X$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A \in \mathcal{L}(H)$ — нормальный оператор (например, самосопряжённый или унитарный). Доказать, что

Пусть $X = L_{2}(\left[-1,1\right]), a, b \in \mathbb {C}$. Найти собственные значения, спектр и резольвенту оператора $A \in \mathcal{L}(X)$, определённого формулой $(A x)(t) = a x(t)+b x(-t), t \in [-1,1], x \in X$.

Доказать, что любое непустое компактное подмножество $\mathbb {C}$ является спектром некоторого непрерывного линейного оператора.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{L}(X)$ — оператор такой, что $\left\| A x\right\| = \left\| x\right\| , x \in X$, и $0 \in \rho (A)$. Доказать, что

Пусть $X = C(\left[0,1\right])$ и $(A x)(t) = x\left(t^{2}\right), t \in [0,1]$. Доказать, что $\sigma (A) \subset \left\{ \lambda \in \mathbb {C} \mid \left|\lambda \right| = 1\right\}$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $P$ — ортогональный проектор в $H, P \neq 0$ и $P \neq I$. Доказать, что $\sigma (P) = \sigma_{p}(P) = \left\{ 0,1\right\}$, причём

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{L}(X)$. Доказать, что

Пусть $\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1, A x = \left(x_{2}, x_{3}, \ldots \right), x \in l_{p}, B x = \left(0, x_{1}, x_{2}, \ldots \right), x \in l_{q}$. Найти $\sigma (A), \sigma_{p}(A), \sigma_{c}(A), \sigma_{r}(A)$ и то же самое для оператора $B$, если

Найти $\sigma (A), \sigma_{p}(A), \sigma_{c}(A), \sigma_{r}(A)$, резольвенту и спектральный радиус оператора $A: l_{p} \rightarrow l_{p}, 1 < p < +\infty$, если

Пусть $y, z$ — фиксированные элементы гильбертова пространства $H$. Оператор $A \in \mathcal{L}(H)$ определён формулой $A x = (x, y) z$. Найти $\sigma_{p}(A), \sigma (A), R_{\lambda }(A), A^{n}$ для всех $n \geq 1$, и $r(A)$.

Оператор $A \in \mathcal{L}(X)$, где $X$ — банахово пространство, называется квазинильпотентным, если $\lim_{n \rightarrow \infty }\left\| A^{n}\right\|^{\frac{1}{n}} = 0$. Доказать, что $A$ квазинильпотентен тогда и только тогда, когда $\sigma (A) = \left\{ 0\right\}$.

Рассмотрим оператор $A \in \mathcal{L}\left(L_{2}(\left[0,1\right])\right)$, определённый формулой $(A x)(t) = \int_{0}^{t} x(s) d s, t \in [0,1]$.

Найти спектр оператора Вольтерра в $L_{2}(\left[0,1\right])$ с непрерывным ядром $K$, т.е. оператора $(A x)(t) = \int_{0}^{t} K(t, s) x(s) d s, t \in [0,1], x \in L_{2}(\left[0,1\right])$, где $K \in C(\left\{ (t, s) \mid 0 \leq s \leq t \leq 1\right\} )$.

Найти спектр оператора $A \in \mathcal{L}\left(L_{2}(\left[-1,1\right])\right)$, определённого формулой $(A x)(t) = \int_{-t}^{t} x(s) d s, t \in [-1,1]$.

Пусть $X_{1}, X_{2}$ — банаховы пространства, $A_{1} \in \mathcal{L}\left(X_{1}\right)$ и $A_{2} \in \mathcal{L}\left(X_{2}\right)$. Операторы $A_{1}$ и $A_{2}$ называются подобными, если существует непрерывно обратимый оператор $B$ : $X_{2} \rightarrow X_{1}$ такой, что $A_{2} = B^{-1} A_{1} B$. Пусть операторы $A_{1}$ и $A_{2}$ подобны. Доказать, что

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{L}(X)$. Доказать, что множества $\sigma (A), \sigma_{p}(A)$, $\sigma_{c}(A), \sigma_{r}(A)$ остаются неизменными, если норму в $X$ заменить любой эквивалентной нормой.

Пусть $s \in \mathbb {R} \backslash \left\{ 0\right\}$ — фиксированное число. Оператор $A_{s}$ в $L_{2}(\mathbb {R})$ определён формулой $\left(A_{s} x\right)(t) = x(t+s), t \in \mathbb {R}$. Доказать, что $\sigma_{p}\left(A_{s}\right) = \sigma_{r}\left(A_{s}\right) = \varnothing$, и $\sigma \left(A_{s}\right) = \sigma_{c}\left(A_{s}\right) = \left\{ \lambda \in \mathbb {C} \mid \left|\lambda \right| = 1\right\}$.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A, B \in \mathcal{L}(X)$ и $A B = B A$. Доказать, что

Пусть $X = C\left(\left[0, \frac{1}{2}\right]\right)$ и $(A x)(t) = t x\left(t^{2}\right), t \in \left[0, \frac{1}{2}\right], x \in X$. Доказать, что $r(A) = 0$.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{L}(X)$. Доказать, что если для $\lambda \in \mathbb {C}$ существует последовательность $\left\{ x_{n}: n \geq 1\right\} \subset X$, такая что $\left\| x_{n}\right\| = 1$ для $n \geq 1$ и

то $\lambda \in \sigma (A)$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A \in \mathcal{L}(H), A = A^{*}$. Доказать, что

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A \in \mathcal{L}(H), A = A^{*}$. Доказать, что если $R(A-\lambda I) = H$, то $\lambda \in \rho (A)$.

Оператор $A$ в $C(\left[0,1\right])$ определён формулой

Доказать, что $r(A) = 1$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A \in \mathcal{L}(H), A = A^{*}, \lambda \in \rho (A) \cap \mathbb {R}$. Доказать, что резольвента $(A-\lambda I)^{-1}$ является самосопряжённым оператором.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A, B \in \mathcal{L}(X)$. Доказать, что для всех $\lambda \in \rho (A) \cap \rho (B)$ выполняется следующее тождество:

Доказать, что $r(A B) = r(B A)$ для всех $A, B \in \mathcal{L}(X)$.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A, B \in \mathcal{L}(X)$. Доказать, что $\sigma (A B) \backslash \left\{ 0\right\} = \sigma (B A) \backslash \left\{ 0\right\}$ и для всех $\lambda \in \rho (A B) \backslash \left\{ 0\right\}$ выполняется тождество

Пусть $X$ — банахово пространство, $A, B \in \mathcal{L}(X)$ и $A B-B A = c I$ для некоторого $c \in \mathbb {C}$. Доказать, что $c = 0$.