Примеры с решениями

Пусть $1 \leq p < +\infty$. Оператор $A \in \mathcal{L}\left(l_{p}\right)$ определён формулой $A x = \left(\alpha_{1} x_{1}, \alpha_{2} x_{2}, \ldots \right), x \in l_{p}$, где $\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \right) \in l_{\infty }$. Доказать, что

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A \in \mathcal{L}(H)$. Доказать, что

Пусть $X = L_{2}(\left[a, b\right]),(A x)(t) = t x(t), t \in [a, b]$. Найти $\sigma (A), \sigma_{p}(A), \sigma_{c}(A)$ и $\sigma_{r}(A)$.

Пусть $X = l_{2}$. Операторы $A, B \in \mathcal{L}\left(l_{2}\right)$ определены следующим образом:

Найти $\sigma (A), \sigma_{p}(A), \sigma_{c}(A), \sigma_{r}(A)$ и то же самое для оператора $B$.

Пусть $X = L_{2}(\mathbb {R}),(A x)(t) = x(t+1), t \in \mathbb {R}$. Найти $\sigma (A), \sigma_{p}(A), \sigma_{c}(A)$ и $\sigma_{r}(A)$.