Банк задач по математике

Задача 10.1

Определить, являются ли следующие множества предкомпактными (компактными) в соответствующих пространствах:

?

(1)

$M = \left\{ e_{n}: n \geq 1\right\}$ в $l_{p}, 1 \leq p < +\infty ;$

(2)

$M = \left\{ x_{n}(t) = e^{-n t}, t \in [0,1]: n \geq 1\right\}$ в $C(\left[0,1\right])$ , в $L_{p}(\left[0,1\right]), 1 \leq p < +\infty ;$

(3)

$M = \left\{ x_{\alpha }(t) = \cos \alpha t, t \in [0, \pi ] \mid \alpha \in [0,2]\right\}$ в $C(\left[0, \pi \right])$ , в $L_{p}(\left[0, \pi \right]), 1 \leq p < +\infty ;$

(4)

$M = \left\{ x_{n}(t) = \cos n t, t \in [0, \pi ]: n \geq 1\right\}$ в $C(\left[0, \pi \right])$ , в $L_{p}(\left[0, \pi \right]), 1 \leq p < +\infty ;$

(5)

$M$ — ограниченное множество в $C(\left[0,1\right])$ , состоящее из многочленов степени не выше $n$ , где $n$ фиксировано;

(6)

$M = \left\{ x \in C^{1}(\left[0,1\right])\left|\int_{0}^{1}\right| x(t)\left|d t \leq 1,\left|x^{\prime }(t)\right| \leq 3, t \in [0,1]\right\} \right.$ в $C(\left[0,1\right])$ .

Задача 10.2

Пусть $H = L_{2}(\left[a, b\right]),\left\{ p_{k} \mid 1 \leq k \leq n\right\}$ и $\left\{ q_{k} \mid 1 \leq k \leq n\right\}$ — конечные наборы функций из $L_{2}(\left[a, b\right])$ . Доказать, что оператор, определённый формулой

(A x)(t) = \int _{a}^{b}\left(\sum _{k = 1}^{n} p_{k}(t) q_{k}(s)\right) x(s) d s

компактен в $H$ .

?

Задача 10.3

Пусть $\left\{ a_{n}: n \geq 1\right\}$ — ограниченная последовательность комплексных чисел. Рассмотрим оператор $A: l_{2} \rightarrow l_{2}, A x = \left(a_{1} x_{1}, a_{2} x_{2}, \ldots \right)$ . Доказать, что $A$ компактен тогда и только тогда, когда $\lim_{n \rightarrow \infty } a_{n} = 0$ .

?

Задача 10.4

Пусть $K \in C\left(\left[a, b\right]^{2}\right)$ и $(A x)(t) = \int_{a}^{b} K(t, s) x(s) d s, t \in [a, b], x \in C(\left[a, b\right])$ . Доказать, что $A \in S_{\infty }(C(\left[a, b\right]))$ .

?

Примеры с решениями