Условная вероятность

20.27 ↑ Парадокс Бореля. Предположим, что случайная точка на сфере задаётся долготой $\Theta$ и широтой $\Phi$, но $\Theta$ ограничена условием $0 \leq \Theta <\pi$, так что $\Theta$ задаёт весь меридианный круг (а не полукруг), содержащий точку, и в качестве компенсации $\Phi$ пробегает ( $-\pi , \pi$ ].

$20.16 \uparrow$ Пусть $X$ и $Y$ независимы и каждая имеет стандартное нормальное распределение, и пусть $(R, \Theta )$ — полярные координаты для $(X, Y)$.

↑ Парадоксы несколько похожего рода возникают и в очень простых случаях.

$\uparrow$

$\uparrow$ Предположим, что $T=X$ — случайная величина, $\left(\Omega^{\prime }, \mathscr {F}^{\prime }\right)=\left(R^{1}, \mathscr {R}^{1}\right)$, а $x$ — произвольная точка $R^{1}$. В этом случае $p(A \mid x)$ иногда записывают как $\mathbb {P}\left( A \mid X=x \right)$. В чём проблема с этим обозначением?

Для пуассоновского процесса (см. Пример 33.1) покажите, что при $0<s<t$,

Таким образом, условное распределение (в смысле Теоремы 33.3) $N_{s}$ при заданном $N_{t}$ является биномиальным с параметрами $N_{t}$ и $s / t$.

$29.12 \uparrow$ Предположим, что $\left(X_{1}, X_{2}\right)$ имеет центрированное нормальное распределение-имеет на плоскости распределение с плотностью (29.10). Запишите квадратичную форму в экспоненте в виде

проинтегрируйте по $x_{2}$ и покажите, что

где $\tau =\sigma_{22}-\sigma_{12}^{2} \sigma_{11}^{-1}$. Опишите условное распределение $X_{2}$ при заданном $X_{1}$.

↑ Выведите из (33.16), что условное распределение $X$ при заданном $M$ равно

где $\mu$ — распределение, соответствующее $F$ (положительной и непрерывной). Указание: сначала проверьте случай $H=(-\infty , x]$.

$4.1012 .4 \uparrow$ Следующая конструкция показывает, что условные вероятности могут не задавать меры. Восполните детали.

В Задаче 4.10 показано, что существуют вероятностное пространство $(\Omega , \mathscr {F}, P)$, $\sigma$-алгебра $\mathscr {G}$ в $\mathscr {F}$ и множество $H$ в $\mathscr {F}$, такие что $\mathbb {P}\left(H\right)=\frac{1}{2}, H$ и $\mathscr {G}$ независимы, $\mathscr {G}$ содержит все одноточечные множества, и $\mathscr {G}$ порождается счётным подклассом. Счётный подкласс, порождающий $\mathscr {G}$, можно выбрать в виде $\pi$-системы $\mathscr {P}=\left\{ B_{1}, B_{2}, \ldots \right\}$ (перейдя к конечным пересечениям множеств из исходного класса).

Предположим, что можно выбрать версии $P[A \| \mathscr {G}]$ так, чтобы $P[A \| \mathscr {G}]_{\omega }$ при каждом $\omega$ была вероятностной мерой при изменении $A$ по $\mathscr {F}$. Пусть $C_{n}$ — множество $\omega$, для которых $P\left[B_{n} \| \mathscr {G}\right]_{\omega }=I_{B_{n}}(\omega )$; покажите (Пример 33.3), что $C=\bigcap_{n} C_{n}$ имеет вероятность 1. Покажите, что из $\omega \in C$ следует $P[G \| \mathscr {A}]_{\omega }=I_{G}(\omega )$ для всех $G$ из $\mathscr {I}$, и, следовательно, $P[\left\{ \omega \right\} \| \mathscr {G}]_{\omega }=1$.

Теперь из $\omega \in H \cap C$ следует $P[H \| \mathscr {G}]_{\omega } \geq P[\left\{ \omega \right\} \| \mathscr {G}]_{\omega }=1$, а из $\omega \in H^{c} \cap C$ следует $P[H \| \mathscr {G}]_{\omega } \leq P[\Omega -\left\{ \omega \right\} \| \mathscr {G}]_{\omega }=0$. Таким образом, из $\omega \in C$ следует $P[H \| \mathscr {G}]_{\omega }=I_{H}(\omega )$. Но поскольку $H$ и $\mathscr {G}$ независимы, $P[H \| \mathscr {G}]_{\omega }= \mathbb {P}\left(H\right)=\frac{1}{2}$ с вероятностью 1, что противоречиво.

Этот пример связан с Примером 4.10, но касается математического факта, а не эвристической интерпретации.

Пусть $\alpha$ и $\beta$ — $\sigma$-конечные меры на прямой, и пусть $f(x, y)$ — вероятностная плотность относительно $\alpha \times \beta$. Определим

если знаменатель не обращается в нуль; в противном случае положим, скажем, $g_{x}(y)=0$. Покажите, что если $(X, Y)$ имеет плотность $f$ относительно $\alpha \times \beta$, то условное распределение $Y$ при заданном $X$ имеет плотность $g_{X}(y)$ относительно $\beta$. Это обобщает Примеры 33.5 и 33.12, где $\alpha$ и $\beta$ — лебеговы меры.

$18.20 \uparrow$ Предположим, что $\mu$ и $\nu_{x}$ (по одной для каждого вещественного $x$ ) — вероятностные меры на прямой, и предположим, что $\nu_{x}(B)$ является борелевской функцией по $x$ для каждого $B \in \mathscr {R}^{1}$. Тогда (см. Задачу 18 20)

задаёт вероятностную меру на $(R^{2}, \mathscr {R}^{2})$. Предположим, что $(X, Y)$ имеет распределение $\pi$, и покажите, что $\nu_{X}$ является версией условного распределения $Y$ при заданном $X$.

$\uparrow$ Пусть $\alpha$ и $\beta$ — $\sigma$-конечные меры на прямой. Конкретизируем постановку Задачи 33.13, предположив, что $\mu$ имеет плотность $f(x)$ относительно $\alpha$, а $\nu$ имеет плотность $g_{x}(y)$ относительно $\beta$. Предположим, что $g_{x}(y)$ измерима $\mathscr {R}^{2}$ по паре $(x, y)$, так что $\nu_{x}(B)$ автоматически измерима по $x$. Покажите, что (33.35) имеет плотность $f(x) g_{x}(y)$ относительно $\alpha \times \beta : \pi (E)= \iint_{E} f(x) g_{x}(y) \alpha (d x) \beta (d y)$. Покажите, что (33.34) согласуется с $f(x, y)= f(x) g_{x}(y)$. Положим

Предположим, что $(X, Y)$ имеет плотность $f(x) g_{x}(y)$ относительно $\alpha \times \beta$, и покажите, что $p_{Y}(x)$ является плотностью относительно $\alpha$ для условного распределения $X$ при заданном $Y$.

На языке Байеса $f(x)$ — априорная плотность параметра $x, g_{x}(y)$ — условная плотность наблюдения $y$ при заданном параметре, а $p_{y}(x)$ — апостериорная плотность параметра при заданном наблюдении.

$\uparrow$ Теперь предположим, что $\alpha$ и $\beta$ — лебеговы меры, что $f(x)$ положительна, непрерывна и ограничена, и что $g_{x}(y)=e^{-(y-x)^{2} n / 2} / \sqrt{2 \pi / n}$. Таким образом, наблюдение распределено как среднее $n$ независимых нормальных величин со средним $x$ и дисперсией 1. Покажите, что

при фиксированных $x$ и $y$. Таким образом, апостериорная плотность приближённо совпадает с плотностью нормального распределения со средним $y$ и дисперсией $1 / n$.

$32.13 \uparrow$ Предположим, что $X$ имеет распределение $\mu$. Тогда $P[A \| X]_{\omega }=f(X(\omega ))$ для некоторой борелевской функции $f$. Покажите, что $\lim_{h \rightarrow 0} \mathbb {P}\left( A \mid x-h<X \leq x+h \right)=f(x)$ для $x$ из множества $\mu$-меры 1. Грубо говоря, $\mathbb {P}\left( A \mid x-h<X \leq x+h \right) \rightarrow \mathbb {P}\left( A \mid X =x \right)$. Указание: возьмите $\nu (B)=\mathbb {P}\left(A \cap [X \in B]\right)$ в Задаче 32.13.