Производные на прямой*

Обобщите Примеры 31.1 и 31.3: пусть $p_{0}, \ldots , p_{r-1}$ — неотрицательные числа, дающие в сумме 1, где $r \geq 2$; предположим, что нет такого $i$, что $p_{i}=1$. Пусть $X_{1}$, $X_{2}, \ldots$ — независимые, одинаково распределённые случайные величины, такие что $\mathbb {P}\left(X_{n}=i\right)=p_{i}, 0 \leq i<r$, и положим $X=\sum_{n=1}^{\infty } X_{n} r^{-n}$. Пусть $F$ — функция распределения $X$. Покажите, что $F$ непрерывна. Покажите, что $F$ строго возрастает на единичном интервале тогда и только тогда, когда все $p_{i}$ строго положительны. Покажите, что $F(x) \equiv x$ при $0 \leq x \leq 1$, если $p_{i} \equiv r^{-1}$, и что в противном случае $F$ сингулярна; докажите сингулярность, обобщив рассуждения как из Примера 31.1, так и из Примера 31.3. Каков аналог (31.17)?

$\uparrow$ В Задаче 31.1 возьмите $r=3$ и $p_{0}=p_{2}=\frac{1}{2}, p_{1}=0$. Соответствующая $F$ называется функцией Кантора. Дополнение в $[0,1]$ множества Кантора (см. Задачи 1.5 и 3.16) состоит из среднего третьего интервала $\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)$, средних третей $\left(\frac{1}{9}, \frac{2}{9}\right)$ и $\left(\frac{7}{9}, \frac{8}{9}\right)$, и так далее. Покажите, что $F$ равна $\frac{1}{2}$ на первом из этих интервалов, $\frac{1}{4}$ на втором, $\frac{3}{4}$ на третьем, и так далее. Покажите непосредственным рассуждением, что $F^{\prime }=0$ всюду, кроме множества лебеговой меры 0.

Вещественная функция $f$ вещественной переменной является лебеговой функцией, если $[x: f(x) \leq \alpha ]$ — лебегово множество при каждом $\alpha$.

$\uparrow$ Произвольная функция $f$ на $(0,1]$ может быть представлена как композиция лебеговой функции $f_{1}$ и борелевской функции $f_{2}$. Для $x$ из $(0,1]$ пусть $d_{n}(x)$ — $n$-я цифра в её бесконечном двоичном разложении, и определим $f_{2}(x)= \sum_{n=1}^{\infty } 2 d_{n}(x) / 3^{n}$. Покажите, что $f_{2}$ возрастает и что $f_{2}(0,1]$ содержится в множестве Кантора. Пусть $f_{1}(x)$ равна $f\left(f_{2}^{-1}(x)\right)$, если $x \in f_{2}(0,1]$, и 0, если $x \in (0,1]-f_{2}(0,1]$. Теперь покажите, что $f=f_{1} f_{2}$.

Пусть $r_{1}, r_{2}, \ldots$ — некоторая нумерация рациональных чисел в $(0,1)$, и положим $F(x)= \Sigma_{k r_{k} \leq x} 2^{-k}$. Определите $\varphi$ формулой (14.5) и докажите, что она непрерывна и сингулярна.

Предположим, что $\mu$ и $F$ связаны соотношением (31.18). Если $F$ не абсолютно непрерывна, то $\mu (A)>0$ для некоторого множества $A$ лебеговой меры 0. Интересен, однако, тот факт, что почти все сдвиги $A$ должны иметь $\mu$-меру 0. Используя теорему Фубини и тот факт, что $\lambda$ инвариантна относительно сдвига и отражения через 0, покажите, что если $\lambda (A)=0$ и $\mu$ $\sigma$-конечна, то $\mu (A+x)=0$ для $x$ вне некоторого множества лебеговой меры 0.

$17.431 .6 \uparrow$ Покажите, что $F$ абсолютно непрерывна тогда и только тогда, когда для каждого борелевского множества $A$ функция $\mu (A+x)$ непрерывна по $x$.

Пусть $F_{*}(x)=\lim_{\delta \rightarrow 0} \inf (F(v)-F(u)) /(v-u)$, где инфимум берётся по $u$ и $v$, таким что $u<x<v$ и $v-u<\delta$. Определим $F^{*}(x)$ как этот же предел с инфимумом, заменённым супремумом. Покажите, что в Теореме 31.4 $F^{\prime }$ может быть заменена на $F^{*}$ в пункте (i) и на $F_{*}$ в пункте (ii). Покажите, что в Теореме 31.6 ${ }_{F} D$ может быть заменена на $F_{*}$ (заметьте, что $F_{*}(x) \leq { }_{F} D(x)$ ).

Теорема Лебега о плотности. Точка $x$ называется точкой плотности борелевского множества $A$, если $\lambda ((u, v] \cap A) /(v-u) \rightarrow 1$ при $u \uparrow x$ и $v \downarrow x$. Из Теорем 31.2 и 31.4 выведите, что почти все точки $A$ являются точками плотности. Аналогично, $\lambda ((u, v] \cap A) /(v-u) \rightarrow 0$ почти всюду на $A^{c}$.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow R^{k}$ — дуга; $f(t)=\left(f_{1}(t), \ldots , f_{k}(t)\right)$. Покажите, что дуга спрямляема тогда и только тогда, когда каждая $f_{i}$ имеет ограниченную вариацию на $[a, b]$.

$\uparrow$ Предположим, что $F$ непрерывна и не убывает и что $F(0)=0$, $F(1)=1$. Тогда $f(x)=(x, F(x))$ задаёт дугу $f:[0,1] \rightarrow R^{2}$. Легко видеть из монотонности, что дуга спрямляема и что, более того, её длина удовлетворяет $L(f) \leq 2$. Также легко, при заданном $\epsilon$, построить функции $F$, для которых $L(f)>2-\epsilon$. Покажите с помощью рассуждений из доказательства Теоремы 31.4, что $L(f)=2$, если $F$ сингулярна.

Предположим, что характеристическая функция $F$ удовлетворяет $\limsup_{t \rightarrow \infty }\left|\varphi (t)\right|=1$. Покажите, что $F$ сингулярна. Сравните со случаем решётчатого распределения (Задача 26.1). Указание: используйте разложение Лебега и теорему Римана—Лебега.

Предположим, что $X_{1}, X_{2}, \ldots$ независимы и принимают значения $\pm 1$ с вероятностью $\frac{1}{2}$ каждое, и пусть $X=\sum_{n=1}^{\infty } X_{n} / 2^{n}$. Покажите, что $X$ равномерно распределена на $[-1,+1]$. Вычислите характеристические функции $X$ и $X_{n}$ и выведите (1.40). Обратно, установите (1.40) с помощью тригонометрии и заключите, что $X$ равномерно распределена на $[-1,+1]$.

31.2 ↑ Покажите, что функция Кантора является функцией распределения $\sum_{n=1}^{\infty } X_{n} / 3^{n}$, где $X_{n}$ независимы и принимают значения 0 и 2 с вероятностью $\frac{1}{2}$ каждое. Выразите её характеристическую функцию в виде бесконечного произведения.

Покажите для $F$ из Примера 31.1, что ${ }_{F} D(1)=\infty$ и $D^{F}(0)=0$, если $p_{0}<\frac{1}{2}$. Из (31.17) выведите, что ${ }_{F} D(x)=\infty$ и $D^{F}(x)=0$ для всех двоично-рациональных $x$. Проанализируйте случай $p_{0}>\frac{1}{2}$ и нарисуйте график

$6.14 \uparrow$ Пусть $F$ такова, как в Примере 31.1, и пусть $\mu$ — соответствующая вероятностная мера на единичном интервале. Пусть $d_{n}(x)$ — $n$-я цифра в непериодическом двоичном разложении $x$, и пусть $s_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n} d_{k}(x)$. Если $I_{n}(x)$ — двоичный интервал порядка $n$, содержащий $x$, то

Непрерывная, нигде не дифференцируемая функция ван дер Вардена — это $f(x)= \sum_{k=0}^{\infty } a_{k}(x)$, где $a_{0}(x)$ — расстояние от $x$ до ближайшего целого числа, а $a_{k}(x)=2^{-k} a_{0}\left(2^{k} x\right)$. Покажите с помощью признака Вейерштрасса, что $f$ непрерывна. Используя (31.8) и идеи Примера 31.1, покажите, что $f$ нигде не дифференцируема. ${ }^{\dagger }$ Условие Липшица порядка $\alpha$ выполняется в точке $x$, если $F(x+h)-F(x)=O\left(|h|^{\alpha }\right)$ при $h \rightarrow 0$; при $\alpha >1$ это влечёт $F^{\prime }(x)=0$, а при $0<\alpha <1$ это условие гладкости сильнее непрерывности, но слабее дифференцируемости.

Покажите (см. (31.31)), что (с точностью до прибавления констант) функция может иметь только одно представление $F_{1}+F_{2}$, где $F_{1}$ абсолютно непрерывна, а $F_{2}$ сингулярна.

Покажите, что $F_{\mathrm{s}}$ в разложении Лебега можно далее разбить на $F_{\mathrm{d}}+F_{\mathrm{cs}}$, где $F_{\mathrm{cs}}$ непрерывна и сингулярна, а $F_{\mathrm{d}}$ возрастает только скачками в том смысле, что соответствующая мера дискретна. Полное разложение тогда имеет вид $F=F_{\mathrm{ac}}+F_{\mathrm{cs}}+F_{\mathrm{d}}$.

$14.4 \uparrow$ Если $f$ неотрицательна и интегрируема по Лебегу, то по Теореме 31.3 и (31.8), за исключением $x$ из множества лебеговой меры 0,

если $u \leq x \leq v$, $u<v$ и $u, v \rightarrow x$. Существует аналог, в котором лебегова мера заменена общей вероятностной мерой $\mu$: если $f$ неотрицательна и интегрируема относительно $\mu$, то при $h \downarrow 0$

на множестве $\mu$-меры 1. Пусть $F$ — функция распределения, соответствующая $\mu$, и положим $\varphi (u)=\inf [x: u \leq F(x)]$ при $0<u<1$ (см. (14.5)). Выведите (31.36) из (31.35) заменой переменной и с помощью Задачи 14.4.