Банк задач по математике

Задача 30.1

Исходя из центральной предельной теоремы при условии (30.5), получите полную теорему Линдеберга с помощью рассуждения об усечении.

?

Задача 30.2

Для выборки объёма $k_{n}$ с возвращением из совокупности объёма $n$ вероятность отсутствия повторов равна $\prod_{j=0}^{k_{n}-1}(1-j / n)$ . При дополнительном к (30.10) предположении $k_{n} / \sqrt{n} \rightarrow 0$ выведите асимптотическую нормальность $S_{n}$ путём сведения к независимому случаю.

?

Задача 30.3

Адаптировав доказательство (21.24), покажите, что производящая функция моментов $\mu$ на произвольном интервале определяет $\mu$ .

?

Задача 30.4

$25.13 \quad 30.3 \uparrow$ Предположим, что производящая функция моментов $\mu_{n}$ сходится к производящей функции моментов $\mu$ на некотором интервале. Покажите, что $\mu_{n} \Rightarrow \mu$ .

?

Задача 30.5

(a)(b)

Пусть $\mu$ — вероятностная мера на $R^{k}$ , для которой $\int_{R^{k}}\left|x_{i}\right|^{r} \mu (d x)<\infty$ при $i= 1, \ldots , k$ и $r=1,2, \ldots$ . Рассмотрим смешанные моменты

\alpha \left(r_{1}, \ldots , r_{k}\right)=\int _{R^{k}} x_{1}^{r_{1}} \cdots x_{k}^{r_{k}} \mu (d x)

для неотрицательных целых $r_{i}$ .

?

(a)

Предположим, что для каждого $i$

\sum _{r} \frac{\theta ^{r}}{r!} \int _{R^{k}}\left|x_{i}\right|^{r} \mu (d x) \tag {30.27}

имеет положительный радиус сходимости как степенной ряд по $\theta$ . Покажите, что $\mu$ определяется своими моментами в том смысле, что если вероятностная мера $\nu$ удовлетворяет $\alpha \left(r_{1}, \ldots , r_{k}\right)=\int x_{1}^{r_{1}} \cdots x_{k}^{r_{k}} \nu (d x)$ для всех $r_{1}, \ldots , r_{k}$ , то $\nu$ совпадает с $\mu$ .

(b)

Покажите, что $k$ -мерное нормальное распределение определяется своими моментами.

Задача 30.6

$\uparrow$ Пусть $\mu_{n}$ и $\mu$ — вероятностные меры на $R^{k}$ . Предположим, что для каждого $i$ (30.27) имеет положительный радиус сходимости. Предположим, что

\int _{R^{k}} x_{1}^{r_{1}} \cdots x_{k}^{r_{k}} \mu _{n}(d x) \rightarrow \int _{R^{k}} x_{1}^{r_{1}} \cdots x_{k}^{r_{k}} \mu (d x)

для всех неотрицательных целых $r_{1}, \ldots , r_{k}$ . Покажите, что $\mu_{n} \Rightarrow \mu$ .

?

Задача 30.7

$30.5 \uparrow$ Предположим, что $X$ и $Y$ — ограниченные случайные величины и что $X^{m}$ и $Y^{n}$ некоррелированы при $m, n=1,2, \ldots$ . Покажите, что $X$ и $Y$ независимы.

?

Задача 30.8

(a)(b)(c)(d)

?

(a)

$26.17 \quad 30.6 \uparrow$ В обозначениях (26.32) покажите для $\lambda \neq 0$ , что

M\left[(\cos \lambda x)^{r}\right]=\binom {r}{r / 2} \frac{1}{2^{r}} \tag {30.28}

при чётном $r$ и что среднее равно 0 при нечётном $r$ . Отсюда методом моментов следует, что $\cos \lambda x$ обладает распределением в смысле (25.18), и на самом деле, разумеется, относительная мера равна

\rho [x: \cos \lambda x \leq u]=1-\frac{1}{\pi } \arccos u, \quad -1<u<1. \tag {30.29}

(b)

Предположим, что $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots$ линейно независимы над полем рациональных чисел в том смысле, что если $n_{1} \lambda_{1}+\cdots +n_{m} \lambda_{m}=0$ для целых $n_{\nu }$ , то $n_{1}=\cdots = n_{m}=0$ . Покажите, что

M\left[\prod _{\nu =1}^{k}\left(\cos \lambda _{\nu } x\right)^{r_{\nu }}\right]=\prod _{\nu =1}^{k} M\left[\left(\cos \lambda _{\nu } x\right)^{r_{\nu }}\right] \tag {30.30}

для неотрицательных целых $r_{1}, \ldots , r_{k}$ .

(c)

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ независимы и имеют функцию распределения, стоящую справа в (30.29). Покажите, что

\rho \left[x: \sum _{j=1}^{k} \cos \lambda _{j} x \leq u\right]=\mathbb {P}\left(X_{1}+\cdots +X_{k} \leq u\right). \tag {30.31}

(d)

Покажите, что

\lim _{k \rightarrow \infty } \rho \left[x: u_{1}<\sqrt{\frac{2}{k}} \sum _{j=1}^{k} \cos \lambda _{j} x \leq u_{2}\right]=\frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \int _{u_{1}}^{u_{2}} e^{-v^{2} / 2} d v. \tag {30.32}

Для сигнала, представляющего собой сумму большого числа чистых косинусоидальных сигналов с несоизмеримыми частотами, (30.32) описывает относительную долю времени, в течение которого сигнал находится между $u_{1}$ и $u_{2}$ .

Задача 30.9

$6.16 \uparrow$ Из (30.16) выведите ещё раз теорему Харди—Рамануджана (см. (6.10)).

?

Задача 30.10

(a)(b)

?

(a)

Докажите, что (если $P_{n}$ придаёт вероятность $1 / n$ каждому из $1, \ldots , n$ )

\lim _{n} P_{n}\left[m:\left|\frac{\log \log m-\log \log n}{\sqrt{\log \log n}}\right| \geq \epsilon \right]=0. \tag {30.33}

(b)

Из (30.16) выведите, что (обозначения см. в (2.35))

D\left[m: \frac{g(m)-\log \log m}{\sqrt{\log \log m}} \leq x\right]=\frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \int _{-\infty }^{x} e^{-u^{2} / 2} d u. \tag {30.34}

Задача 30.11

(a)(b)(c)(d)

$\uparrow$ Пусть $G(m)$ — число простых множителей числа $m$ с учётом кратности. В обозначениях Задачи 5.19, $G(m)=\sum_{p} \alpha_{p}(m)$ .

?

(a)

Покажите, что при $k \geq 1$ выполняется $P_{n}\left[m: \alpha_{p}(m)-\delta_{p}(m) \geq k\right] \leq 1 / p^{k+1}$ ; следовательно, $E_{n}\left[\alpha_{p}-\delta_{p}\right] \leq 2 / p^{2}$ .

(b)

Покажите, что $E_{n}[G-g]$ ограничено.

(c)

Выведите из (30.16), что

P_{n}\left[m: \frac{G(m)-\log \log n}{\sqrt{\log \log n}} \leq x\right] \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \int _{-\infty }^{x} e^{-u^{2} / 2} d u.

(d)

Докажите для $G$ аналог (30.34).

Задача 30.12

$\uparrow$ Докажите теорему Харди—Рамануджана в форме

D\left[m:\left|\frac{g(m)}{\log \log m}-1\right| \geq \epsilon \right]=0.

Докажите это с $G$ вместо $g$ .

?

Метод моментов*