Банк задач по математике

Задача 29.1

(a)(b)(c)

Вещественная функция $f$ на $R^{k}$ всюду полунепрерывна сверху (см. Задачу 13.8), если для каждых $x$ и $\epsilon$ найдётся такое $\delta$ , что $\left|x-y\right|<\delta$ влечёт $f(y)<f(x)+\epsilon ; f$ полунепрерывна снизу, если $-f$ полунепрерывна сверху.

?

(a)

Используя условие (iii) Теоремы 29.1, лемму Фату и (21.9), покажите, что если $\mu_{n} \Rightarrow \mu$ и $f$ ограничена и полунепрерывна снизу, то

\lim \inf _{n} \int f d \mu _{n} \geq \int f d \mu \tag {29.9}

(b)

Покажите, что если (29.9) выполняется для всех ограниченных, полунепрерывных снизу функций $f$ , то $\mu_{n} \Rightarrow \mu$ .

(c)

Докажите аналогичные результаты для полунепрерывных сверху функций.

Задача 29.2

(a)(b)(c)(d)

?

(a)

Покажите для вероятностных мер на прямой, что $\mu_{n} \times \nu_{n} \Rightarrow \mu \times \nu$ тогда и только тогда, когда $\mu_{n} \Rightarrow \mu$ и $\nu_{n} \Rightarrow \nu$ .

(b)

Предположим, что $X_{n}$ и $Y_{n}$ независимы и что $X$ и $Y$ независимы. Покажите, что если $X_{n} \Rightarrow X$ и $Y_{n} \Rightarrow Y$ , то $\left(X_{n}, Y_{n}\right) \Rightarrow (X, Y)$ , а следовательно, $X_{n}+Y_{n} \Rightarrow X+Y$ .

(c)

Покажите, что пункт (b) не выполняется без независимости.

(d)

Если $F_{n} \Rightarrow F$ и $G_{n} \Rightarrow G$ , то $F_{n} * G_{n} \Rightarrow F * G$ . Докажите это с помощью пункта (b), а также с помощью характеристических функций.

Задача 29.3

(a)(b)

?

(a)

Покажите, что $\left\{ \mu_{n}\right\}$ плотно тогда и только тогда, когда для каждого $\epsilon$ найдётся компактное множество $K$ , такое что $\mu_{n}(K)>1-\epsilon$ для всех $n$ .

(b)

Покажите, что $\left\{ \mu_{n}\right\}$ плотно тогда и только тогда, когда каждая из $k$ последовательностей маргинальных распределений плотна на прямой.

Задача 29.4

Предположим относительно $\left(X_{n}, Y_{n}\right)$ , что $X_{n} \Rightarrow X$ и $Y_{n} \Rightarrow c$ . Покажите, что $\left(X_{n}, Y_{n}\right) \Rightarrow (X, c)$ . Это пример к Задаче 29.2(b), где $X_{n}$ и $Y_{n}$ не обязательно предполагаются независимыми.

?

Задача 29.5

Докажите аналоги для $R^{k}$ следствий из Теоремы 26.3.

?

Задача 29.6

Предположим, что $f(X)$ и $g(Y)$ некоррелированы для всех ограниченных непрерывных $f$ и $g$ . Покажите, что $X$ и $Y$ независимы. Указание: используйте характеристические функции.

?

Задача 29.7

$20.16 \uparrow$ Предположим, что случайный вектор $X$ имеет центрированное $k$ -мерное нормальное распределение, ковариационная матрица которого имеет 1 в качестве собственного значения кратности $r$ и 0 в качестве собственного значения кратности $k-r$ . Покажите, что $|X|^{2}$ имеет распределение хи-квадрат с $r$ степенями свободы.

?

Задача 29.8

(a)(b)

$\uparrow$ Полиномиальная выборка. Пусть $p_{1}, \ldots , p_{k}$ положительны и в сумме дают 1, и пусть $Z_{1}, Z_{2}, \ldots$ — независимые $k$ -мерные случайные векторы, такие что $Z_{n}$ с вероятностью $p_{i}$ имеет 1 в $i$ -й компоненте и 0 в остальных. Тогда $f_{n}= \left(f_{n 1}, \ldots , f_{n k}\right)=\sum_{m=1}^{n} Z_{m}$ — частотный подсчёт для выборки объёма $n$ из полиномиальной совокупности с вероятностями ячеек $p_{i}$ . Положим $X_{n i}=\left(f_{n i}-n p_{i}\right) / \sqrt{n p_{i}}$ и $X_{n}=\left(X_{n 1}, \ldots , X_{n k}\right)$ .

?

(a)

Покажите, что $X_{n}$ имеет средние значения 0 и ковариации $\sigma_{i j}=\left(\delta_{i j} p_{j}-p_{i} p_{j}\right) / \sqrt{p_{i} p_{j}}$ .

(b)

Покажите, что статистика хи-квадрат $\sum_{i=1}^{k}\left(f_{n i}-n p_{i}\right)^{2} / n p_{i}$ асимптотически имеет распределение хи-квадрат с $k-1$ степенями свободы.

Задача 29.9

(a)(b)

$20.26 \uparrow$ Теорема Пуанкаре.

?

(a)

Предположим, что $X_{n}=\left(X_{n 1}, \ldots , X_{n n}\right)$ равномерно распределён на поверхности сферы радиуса $\sqrt{n}$ в $R^{n}$ . Зафиксируйте $t$ и покажите, что $X_{n 1}, \ldots , X_{n t}$ в пределе независимы, причём каждая имеет стандартное нормальное распределение. Указание: если компоненты $Y_{n}=\left(Y_{n 1}, \ldots , Y_{n n}\right)$ независимы, причём каждая имеет стандартное нормальное распределение, то $X_{n}$ имеет то же распределение, что и $\sqrt{n} Y_{n} /\left|Y_{n}\right|$ .

(b)

Предположим, что распределение $X_{n}=\left(X_{n 1}, \ldots , X_{n n}\right)$ сферически симметрично в том смысле, что $X_{n} /\left|X_{n}\right|$ равномерно распределена на единичной сфере. Предположим, что $\left|X_{n}\right|^{2} / n \Rightarrow 1$ , и покажите, что $X_{n 1}, \ldots , X_{n t}$ асимптотически независимы и нормальны.

Задача 29.10

Пусть $X_{n}=\left(X_{n 1}, \ldots , X_{n k}\right), n=1,2, \ldots$ , — случайные векторы, удовлетворяющие условию перемешивания (27.19) с $\alpha_{n}=O\left(n^{-5}\right)$ . Предположим, что последовательность стационарна (распределение $\left(X_{n}, \ldots , X_{n+j}\right)$ одно и то же для всех $n$ ), что $\mathbb {E}\left[X_{n u}\right]=0$ и что $X_{n u}$ равномерно ограничены. Покажите, что если $S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}$ , то $S_{n} / \sqrt{n}$ в пределе имеет центрированное нормальное распределение с ковариациями

\mathbb {E}\left[X_{1 u} X_{1 \iota }\right]+\sum _{j=1}^{\infty } \mathbb {E}\left[X_{1 u} X_{1+j, \iota }\right]+\sum _{j=1}^{\infty } \mathbb {E}\left[X_{1+j, u} X_{1 \iota }\right]

Указание: используйте метод Крамера—Вольда.

?

Задача 29.11

$\uparrow$ Как и в Примере 27.6, пусть $\left\{ Y_{n}\right\}$ — марковская цепь с конечным пространством состояний $S=\left\{ 1, \ldots , s\right\}$ , скажем. Предположим, что вероятности перехода $p_{u \iota }$ все положительны, а начальные вероятности $p_{u}$ являются стационарными. Пусть $f_{n u}$ — число таких $i$ , что $1 \leq i \leq n$ и $Y_{i}=u$ . Покажите, что нормированный частотный подсчёт

n^{-1 / 2}\left(f_{n 1}-n p_{1}, \ldots , f_{n k}-n p_{k}\right)

в пределе имеет центрированное нормальное распределение с ковариациями

\delta _{u \iota }-p_{u} p_{\iota }+\sum _{j=1}^{\infty }\left(p_{u \iota }^{(j)}-p_{u} p_{\iota }\right)+\sum _{j=1}^{\infty }\left(p_{\iota u}^{(j)}-p_{\iota } p_{u}\right).

?

Задача 29.12

Предположим, что

\Sigma =\left[\begin{array}{ll} \sigma _{11} & \sigma _{12} \\ \sigma _{12} & \sigma _{22} \end{array}\right]

положительно определена; обратите её явно и покажите, что соответствующая двумерная нормальная плотность равна

f\left(x_{1}, x_{2}\right)=\frac{1}{2 \pi D^{1 / 2}} \exp \left[-\frac{1}{2 D}\left(\sigma _{22} x_{1}^{2}-2 \sigma _{12} x_{1} x_{2}+\sigma _{11} x_{2}^{2}\right)\right] \tag {29.10}

где $D=\sigma_{11} \sigma_{22}-\sigma_{12}^{2}$ .

?

Задача 29.13

(a)(b)

Предположим, что $Z$ имеет стандартное нормальное распределение в $R^{1}$ . Пусть $\mu$ — смесь с равными весами распределений $(Z, Z)$ и $(Z,-Z)$ , и пусть $(X, Y)$ имеет распределение $\mu$ . Докажите:

?

(a)

Хотя каждая из величин $X$ и $Y$ нормальна, они не являются совместно нормальными.

(b)

Хотя $X$ и $Y$ некоррелированы, они не являются независимыми.

Предельные теоремы в RkR^{k}Rk

Предельные теоремы в $R^{k}$