Центральная предельная теорема

Докажите Теорему 23.2 с помощью характеристических функций. Указание: используйте (27.5), чтобы сравнить характеристическую функцию $\sum_{k=1}^{r_{n}} Z_{n k}$ с $\exp \left[\sum_{k} p_{n k}\left(e^{i t}-1\right)\right]$.

Если $\left\{ X_{n}\right\}$ независимы и все $X_{n}$ имеют одинаковое распределение с конечным первым моментом, то $n^{-1} S_{n} \rightarrow \mathbb {E}\left[X_{1}\right]$ с вероятностью 1 (Теорема 22.1), так что $n^{-1} S_{n} \Rightarrow \mathbb {E}\left[X_{1}\right]$. Докажите последний факт с помощью характеристических функций. Указание: используйте (27.5).

Для пуассоновской величины $Y_{\lambda }$ со средним $\lambda$ покажите, что $\left(Y_{\lambda }-\lambda \right) / \sqrt{\lambda } \Rightarrow N$ при $\lambda \rightarrow \infty$. Покажите, что (22.3) не выполняется при $t=1$.

Предположим, что $\left|X_{n k}\right| \leq M_{n}$ с вероятностью 1 и $M_{n} / s_{n} \rightarrow 0$. Проверьте условие Ляпунова, а затем условие Линдеберга.

Предположим, что случайные величины в любой отдельной строке треугольного массива одинаково распределены. К чему сводятся условия Линдеберга и Ляпунова?

Предположим, что $Z_{1}, Z_{2}, \ldots$ независимы и одинаково распределены со средним 0 и дисперсией 1, и пусть $X_{n k}=\sigma_{n k} Z_{k}$. Запишите условие Линдеберга и покажите, что оно выполняется, если $\max_{k \leq r_{n}} \sigma_{n k}^{2}=o\left(\sum_{k=1}^{r_{n k}} \sigma_{n k}^{2}\right)$.

Постройте пример, в котором условие Линдеберга выполняется, а условие Ляпунова — нет.

$22.9 \uparrow$ Докажите центральную предельную теорему для числа рекордов $R_{n}$ до момента $n$.

$6.3 \uparrow$ Пусть $S_{n}$ — число инверсий в случайной перестановке $n$ элементов. Докажите центральную предельную теорему для $S_{n}$.

$\delta$-метод. Предположим, что Теорема 27.1 применима к $\left\{ X_{n}\right\}$, так что $\sqrt{n} \sigma^{-1}\left(\bar{X}_{n}-c\right) \Rightarrow N$, где $\bar{X}_{n}=n^{-1} \sum_{k=1}^{n} X_{k}$. Используя Теорему 25.6, как в Примере 27.2, покажите, что если $f(x)$ имеет ненулевую производную в точке $c$, то $\sqrt{n}\left(f\left(\bar{X}_{n}\right)-f(c)\right) / \sigma \left|f^{\prime }(c)\right| \Rightarrow N$: величина $\bar{X}_{n}$ приближённо нормальна со средним $c$ и стандартным отклонением $\sigma / \sqrt{n}$, а $f\left(\bar{X}_{n}\right)$ приближённо нормальна со средним $f(c)$ и стандартным отклонением $\left|f^{\prime }(c)\right| \sigma / \sqrt{n}$. Пример 27.2 — это случай $f(x)=1 / x$.

Предположим, что независимые $X_{n}$ имеют плотность $|x|^{-3}$ вне $(-1,+1)$. Покажите, что $(n \log n)^{-1 / 2} S_{n} \Rightarrow N$.

Асимптотическая нормальность может иметь место, даже если моментов вообще не существует. Постройте простой пример.

Пусть $d_{n}(\omega )$ — двоичные цифры точки $\omega$, выбранной случайно из единичного интервала. Для набора $(u_{1}, \ldots , u_{k})$ из 0 и 1 пусть $N_{n}\left(u_{1}, \ldots , u_{k} ; \omega \right)$ — число $m \leq n$, для которых $\left(d_{m}(\omega ), \ldots , d_{m+k-1}(\omega )\right)=\left(u_{1}, \ldots , u_{k}\right)$. Докажите центральную предельную теорему для $N_{n}\left(u_{1}, \ldots , u_{k} ; \omega \right)$. (См. Задачу 6.12.)

Центральная предельная теорема для случайного числа слагаемых. Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — независимые, одинаково распределённые случайные величины со средним 0 и дисперсией $\sigma^{2}$, и пусть $S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}$. Для каждого положительного $t$ пусть $\nu_{t}$ — случайная величина, принимающая положительные целые значения; она не обязана быть независимой от $X_{n}$. Предположим, что существуют положительные константы $a_{t}$ и $\theta$, такие что

при $t \rightarrow \infty$. Следующими шагами покажите, что

$21.21 \quad 23.10 \quad 23.14 \uparrow$ Центральная предельная теорема в теории восстановления. Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — независимые, одинаково распределённые положительные случайные величины со средним $m$ и дисперсией $\sigma^{2}$, и, как в Задаче 23.10, пусть $N_{t}$ — наибольшее $n$, при котором $S_{n} \leq t$. Следующими шагами докажите, что

Покажите с помощью интегрирования по частям, что

при $x \rightarrow \infty$.

$\uparrow$ Предположим, что $X_{1}, X_{2}, \ldots$ независимы и одинаково распределены со средним 0 и дисперсией 1, и предположим, что $a_{n} \rightarrow \infty$. Формально объединив центральную предельную теорему и (27.28), получите

где $\zeta_{n} \rightarrow 0$, если $a_{n} \rightarrow \infty$. Случай, когда это действительно так, см. Теорему 9.4.

$21.2 \uparrow$ Формула Стирлинга. Пусть $S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}$, где $X_{n}$ независимы и каждая имеет распределение Пуассона с параметром 1. Докажите последовательно.

Пусть $l_{n}(\omega )$ — длина серии нулей, начинающейся с $n$-го места в двоичном разложении точки $\omega$, выбранной случайно из единичного интервала; см. Пример 4.1.

Докажите, что при гипотезах Теоремы 27.4 $S_{n} / n \rightarrow 0$ с вероятностью 1. Указание: используйте (27.25).

$26.1 \quad 26.29 \uparrow$ Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ независимы и одинаково распределены, и предположим, что общее для $X_{n}$ распределение сосредоточено на $[0,2 \pi ]$ и не является решётчатым. Пусть $S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}$, где сумма приведена по модулю $2 \pi$. Покажите, что $S_{n} \Rightarrow U$, где $U$ равномерно распределена на $[0,2 \pi ]$.