Банк задач по математике

Задача 24.1

Зафиксируем $(\Omega , \mathscr {F})$ и $T$ , измеримое относительно $\mathscr {F} / \mathscr {F}$ . Вероятностные меры на $(\Omega , \mathscr {F})$ , сохраняемые $T$ , образуют выпуклое множество $C$ . Покажите, что $T$ эргодично относительно $P$ тогда и только тогда, когда $P$ — крайняя точка $C$ , то есть не может быть представлена в виде собственной выпуклой комбинации различных элементов $C$ .

?

Задача 24.2

Покажите, что $T$ эргодично тогда и только тогда, когда $n^{-1} \sum_{k=1}^{n-1} \mathbb {P}\left(A \cap T^{-k} B\right) \rightarrow \mathbb {P}\left(A\right) \mathbb {P}\left(B\right)$ для всех $A$ и $B$ (или для всех $A$ и $B$ из $\pi$ -системы, порождающей $\mathscr {F}$ ).

?

Задача 24.3

↑ Преобразование $T$ называется перемешивающим, если

\mathbb {P}\left(A \cap T^{-n} B\right) \rightarrow \mathbb {P}\left(A\right) \mathbb {P}\left(B\right) \tag {24.39}

для всех $A$ и $B$ .

?

(a)

Покажите, что перемешивание влечёт эргодичность.

(b)

Покажите, что $T$ перемешивающее, если (24.39) выполняется для всех $A$ и $B$ из $\pi$ -системы, порождающей $\mathscr {F}$ .

(c)

Покажите, что сдвиг Бернулли перемешивающий.

(d)

Покажите, что циклическая перестановка эргодична, но не перемешивающая.

(e)

Покажите, что если $c$ не является корнем из единицы, то вращение (Пример 24.4) эргодично, но не перемешивающее.

Задача 24.4

(a)(b)(c)

$\uparrow$ Запишем $T^{-n} \mathscr {F}=\left[T^{-n} A: A \in \mathscr {F}\right]$ и назовём $\sigma$ -алгебру $\mathscr {F}_{\infty }=\bigcap_{n=1}^{\infty } T^{-n} \mathscr {F}$ тривиальной, если каждое множество в ней имеет вероятность либо 0, либо 1. (Если $T$ обратимо, то $\mathscr {F}_{\infty }$ есть $\mathscr {F}$ и, следовательно, тривиальна лишь в неинтересных случаях.)

?

(a)

Покажите, что если $\mathscr {F}_{\infty }$ тривиальна, то $T$ эргодично. (Циклическая перестановка эргодична, хотя $\mathscr {F}_{\infty }$ не тривиальна.)

(b)

Покажите, что если выполнены гипотезы Леммы 2, то $\mathscr {F}_{\infty }$ тривиальна.

(c)

С помощью теории мартингалов можно показать, что если $\mathscr {F}_{\infty }$ тривиальна, то $T$ перемешивающее; см. Задачу 35.20. Пересмотрите Задачу 24.3(c).

Задача 24.5

(a)(b)(c)

$8.35 \quad 24.4 \uparrow$

?

(a)

Покажите, что сдвиг, соответствующий неприводимой апериодической марковской цепи, перемешивающий. Сделайте это сначала с помощью Задачи 835, а затем с помощью Задачи 24.4(b), (c).

(b)

Покажите, что если цепь неприводима, но имеет период больше 1, то сдвиг эргодичен, но не перемешивающий.

(c)

Предположим, что пространство состояний разбивается на два замкнутых непересекающихся непустых подмножества и что начальное (стационарное) распределение даёт положительный вес каждому из них. Покажите, что соответствующий сдвиг не эргодичен.

Задача 24.6

Покажите, что если $T$ эргодично и $f$ неотрицательна и $\mathbb {E}\left[f\right]=\infty$ , то $n^{-1} \sum_{k=1}^{n} f\left(T^{k-1} \omega \right) \rightarrow \infty$ с вероятностью 1.

?

Задача 24.7

24.3 ↑ Предположим, что $\mathbb {P}_{0}\left(A\right)=\int_{A} \delta d P$ для всех $A(\delta \geq 0)$ и что $T$ перемешивающее относительно $P$ ( $T$ не обязано сохранять $P_{0}$ ). Используйте (21.9), чтобы доказать

\mathbb {P}_{0}\left(T^{-n} A\right)=\int _{T^{-n} A} \delta d P \rightarrow \mathbb {P}\left(A\right)

?

Задача 24.8

(a)(b)

?

(a)

$24.6 \uparrow$ Покажите, что

\frac{1}{n} \sum _{k=1}^{n} a_{k}(x) \rightarrow \infty

и

\sqrt[n]{a_{1}(x) \cdots a_{n}(x)} \rightarrow \prod _{k=1}^{\infty }\left(1+\frac{1}{k^{2}+2 k}\right)^{(\log k) /(\log 2)}

почти всюду.

(b)

Покажите, что

\frac{1}{n} \log \left(q_{n}(x)\left|x-\frac{p_{n}(x)}{q_{n}(x)}\right|\right) \rightarrow -\frac{\pi ^{2}}{12 \log 2}

Задача 24.9

(a)(b)

?

(a)

Покажите, что преобразование непрерывной дроби перемешивающее.

(b)

Покажите, что

\lambda \left[x: T^{n} x \leq t\right] \rightarrow \frac{\log (1+t)}{\log 2}, \quad 0 \leq t \leq 1

Эргодическая теорема*