Банк задач по математике

Задача 22.1

Предположим, что $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — независимая последовательность и $Y$ измерима относительно $\sigma \left(X_{n}, X_{n+1}, \ldots \right)$ при каждом $n$ . Покажите, что существует константа $a$ такая, что $\mathbb {P}\left(Y=a\right)=1$ .

?

Задача 22.2

Предположим, что $\left\{ X_{n}\right\}$ независимы, и определим $X_{n}^{(c)}$ как в Теореме 22.8. Докажите, что для сходимости $\sum \left|X_{n}\right|$ с вероятностью 1 необходимо, чтобы $\sum \mathbb {P}\left(\left|X_{n}\right|>c\right)$ и $\sum \mathbb {E}\left[\mid X_{n}^{(c)}\right] \mid$ сходились при всех положительных $c$ , и достаточно, чтобы они сходились при некотором положительном $c$ . Если три ряда (22.13) сходятся, но $\Sigma \mathbb {E}\left[\left|X_{n}^{(c)}\right|\right]=\infty$ , то с вероятностью 1 $\sum X_{n}$ сходится условно, но не абсолютно.

?

Задача 22.3

(a)(b)

?

(a)

$\uparrow$ Обобщите леммы Бореля—Кантелли: Предположим, что $X_{n}$ неотрицательны. Если $\sum \mathbb {E}\left[X_{n}\right]<\infty$ , то $\sum X_{n}$ сходится с вероятностью 1. Если $X_{n}$ независимы и равномерно ограничены, и если $\sum \mathbb {E}\left[X_{n}\right]=\infty$ , то $\sum X_{n}$ расходится с вероятностью 1.

(b)

Постройте независимые неотрицательные $X_{n}$ такие, что $\sum X_{n}$ сходится с вероятностью 1, но $\sum \mathbb {E}\left[X_{n}\right]$ расходится. Для крайнего примера устройте так, чтобы $\mathbb {P}\left(X_{n}>0 \text{ б.ч.}\right)=0$ , но $\mathbb {E}\left[X_{n}\right] \equiv \infty$ .

Задача 22.4

Покажите, что при гипотезе Теоремы 22.6 $\sum X_{n}$ имеет конечную дисперсию, и распространите Теорему 22.4 на бесконечные последовательности.

?

Задача 22.5

(a)(b)

$20.1422 .1 \uparrow$ Предположим, что $X_{1}, X_{2}, \ldots$ независимы и каждая имеет распределение Коши (20.45) с общим значением $u$ .

?

(a)

Покажите, что $n^{-1} \sum_{k=1}^{n} X_{k}$ не сходится с вероятностью 1. Сопоставьте с Теоремой 22.1.

(b)

Покажите, что $\mathbb {P}\left(n^{-1} \max_{k \leq n} X_{k} \leq x\right) \rightarrow e^{-u / \pi x}$ при $x>0$ . Свяжите с Теоремой 14.3.

Задача 22.6

Если $X_{1}, X_{2}, \ldots$ независимы и одинаково распределены, и если $\mathbb {P}\left(X_{1} \geq 0\right)=1$ и $\mathbb {P}\left(X_{1}>0\right)>0$ , то $\sum_{n} X_{n}=\infty$ с вероятностью 1. Выведите это из Теоремы 22.1 и следствия из неё, а также непосредственно: найдите положительное $\epsilon$ такое, что $X_{r}>c$ бесконечно часто с вероятностью 1.

?

Задача 22.7

Предположим, что $X_{1}, X_{2}, \ldots$ независимы и одинаково распределены и $\mathbb {E}\left[\left|X_{1}\right|\right]=\infty$ . Используйте (21.9), чтобы показать, что $\sum_{n} \mathbb {P}\left(\left|X_{n}\right| \geq a n\right)=\infty$ для каждого $a$ , и заключите, что $\sup_{n} n^{-1}\left|X_{n}\right|=\infty$ с вероятностью 1. Теперь покажите, что $\sup_{n} n^{-1}\left|S_{n}\right| =\infty$ с вероятностью 1. Сравните со следствием из Теоремы 22.1.

?

Задача 22.8

(a)(b)

Уравнение Вальда. Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ независимы и одинаково распределены с конечным математическим ожиданием, и положим $S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}$ . Предположим, что $\tau$ — момент остановки: $\tau$ принимает положительные целые значения и $[\tau =n] \in \sigma \left(X_{1}, \ldots , X_{n}\right)$ ; примеры см. в Разделе 7. Предположим также, что $\mathbb {E}\left[\tau \right]<\infty$ .

?

(a)

Докажите, что

\mathbb {E}\left[S_{\tau }\right]=\mathbb {E}\left[X_{1}\right] \mathbb {E}\left[\tau \right]. \tag {22.21}

(b)

Предположим, что $X_{n}$ равна $\pm 1$ с вероятностями $p$ и $q, p \neq q$ , пусть $\tau$ — первое $n$ , для которого $S_{n}$ равно $-a$ или $b$ ( $a$ и $b$ — положительные целые числа), и вычислите $\mathbb {E}\left[\tau \right]$ . Это даёт математическое ожидание продолжительности игры в задаче о разорении игрока для неравных $p$ и $q$ .

Задача 22.9

$20.9 \uparrow$ Пусть $Z_{n}$ равно 1 или 0 в зависимости от того, наступает или нет рекорд в момент $n$ в смысле Задачи 20.9. Пусть $R_{n}=Z_{1}+\cdots +Z_{n}$ — число рекордов до момента $n$ . Покажите, что $R_{n} / \log n \rightarrow_{P} 1$ .

?

Задача 22.10

(a)(b)

?

(a)

$22.1 \uparrow$ Покажите, что для независимой последовательности $\left\{ X_{n}\right\}$ радиус сходимости случайного ряда Тейлора $\sum_{n} X_{n} z^{n}$ равен $r$ с вероятностью 1 для некоторого неслучайного $r$ .

(b)

Предположим, что $X_{n}$ имеют одно и то же распределение и $\mathbb {P}\left(X_{1} \neq 0\right)>0$ . Покажите, что $r$ равно 1 или 0 в зависимости от того, имеет ли $\log^{+}\left|X_{1}\right|$ конечное математическое ожидание или нет.

Задача 22.11

Предположим, что $X_{0}, X_{1}, \ldots$ независимы и каждая равномерно распределена на $[0,2 \pi ]$ . Покажите, что с вероятностью 1 ряд $\sum_{n} e^{i X_{n}} z^{n}$ имеет единичную окружность в качестве своей естественной границы.

?

Задача 22.12

Докажите (что по существу является законом нуля и единицы Колмогорова), что если $A$ независимо от $\pi$ -системы $\mathscr {P}$ и $A \in \sigma (\mathscr {P})$ , то $\mathbb {P}\left(A\right)$ равно либо 0, либо 1.

?

Задача 22.13

Предположим, что $\mathscr {A}$ — полукольцо, содержащее $\Omega$ .

?

(a)

Покажите, что если $\mathbb {P}\left(A \cap B\right) \leq b \mathbb {P}\left(B\right)$ для всех $B \in \mathscr {A}$ , и если $b<1$ и $A \in \sigma (\mathscr {A})$ , то $\mathbb {P}\left(A\right)=0$ .

(b)

Покажите, что если $\mathbb {P}\left(A \cap B\right) \leq \mathbb {P}\left(A\right) \mathbb {P}\left(B\right)$ для всех $B \in \mathscr {A}$ , и если $A \in \sigma (\mathscr {A})$ , то $\mathbb {P}\left(A\right)$ равно 0 или 1.

(c)

Покажите, что если $a \mathbb {P}\left(B\right) \leq \mathbb {P}\left(A \cap B\right)$ для всех $B \in \mathscr {A}$ , и если $a>0$ и $A \in \sigma (\mathscr {A})$ , то $\mathbb {P}\left(A\right)=1$ .

(d)

Покажите, что если $\mathbb {P}\left(A\right) \mathbb {P}\left(B\right) \leq \mathbb {P}\left(A \cap B\right)$ для всех $B \in \mathscr {A}$ , и если $A \in \sigma (\mathscr {A})$ , то $\mathbb {P}\left(A\right)$ равно 0 или 1.

(e)

Пересмотрите Задачу 3.20.

Задача 22.14

(a)(b)(c)

$22.12 \uparrow$ Теорема Бурстина. Пусть $f$ — борелевская функция на $[0,1]$ со сколь угодно малыми периодами: для каждого $\epsilon$ найдётся $p$ такое, что $0<p<\epsilon$ и $f(x)=f(x+p)$ при $0 \leq x \leq 1-p$ . Покажите, что такая $f$ постоянна почти всюду:

?

(a)

Покажите, что достаточно доказать, что $\mathbb {P}\left(f^{-1} B\right)$ равно 0 или 1 для каждого борелевского множества $B$ , где $P$ — мера Лебега на единичном интервале.

(b)

Покажите, что $f^{-1} B$ независимо от каждого интервала $[0, x]$ , и заключите, что $\mathbb {P}\left(f^{-1} B\right)$ равно 0 или 1.

(c)

Покажите на примере, что $f$ не обязана быть постоянной.

Задача 22.15

(a)(b)(c)(d)

Предположим, что $X_{1}, \ldots , X_{n}$ независимы и $s, t, \alpha$ неотрицательны. Пусть

\begin{aligned} L(s) & =\max _{k \leq n} \mathbb {P}\left(\left|S_{k}\right| \geq s\right), R(s)=\max _{k \leq n} \mathbb {P}\left(\left|S_{n}-S_{k}\right|>s\right), \\ M(s) & =\mathbb {P}\left(\max _{k \leq n}\left|S_{k}\right| \geq s\right), T(s)=\mathbb {P}\left(\left|S_{n}\right| \geq s\right). \end{aligned}

?

(a)

Следуя первой части доказательства (22.10), покажите, что

M(s+t) \leq T(t)+M(s+t) R(s) \tag {22.22}

(b)

Возьмите $s=2 \alpha$ и $t=\alpha$ ; используйте (22.22) вместе с неравенствами $T(s) \leq L(s)$ и $R(2 s) \leq 2 L(s)$ , чтобы доказать неравенство Этемади (22.10) в виде

M(3 \alpha ) \leq B_{E}(\alpha )=1 \wedge 3 L(\alpha ). \tag {22.23}

(c)

Перенесите крайний правый член в (22.22) в левую часть, возьмите $s=t=\alpha$ и докажите неравенство Оттавиани:

M(2 \alpha ) \leq B_{O}(\alpha )=1 \wedge \frac{T(\alpha )}{1-R(\alpha )} \tag {22.24}

(d)

Докажите

B_{E}(\alpha ) \leq 3 B_{O}(\alpha / 2), \quad B_{O}(\alpha ) \leq 3 B_{E}(\alpha / 6).

Это показывает, что неравенства Этемади и Оттавиани обладают одинаковой силой для большинства целей (например, для доказательств Теоремы 22.7 и (37.9)). Неравенство Этемади представляется более естественным из двух. Ни одно из этих неравенств не может заменить (9.39) в доказательстве закона повторного логарифма.

Суммы независимых случайных величин