Произведение мер и теорема Фубини

Покажите с помощью теоремы 18.1, что если $A \times B$ непусто и лежит в $\mathscr {X} \times \mathscr {Y}$, то $A \in \mathscr {X}$ и $B \in \mathscr {Y}$.

$2.9 \uparrow$ Предположим, что $X=Y$ несчётно и $\mathscr {X}=\mathscr {Y}$ состоит из счётных и косчётных множеств. Покажите, что диагональ $E=[(x, y): x=y]$ не лежит в $\mathscr {X} \times \mathscr {Y}$, хотя $[y:(x, y) \in E] \in \mathscr {Y}$ и $[x:(x, y) \in E] \in \mathscr {X}$ для всех $x$ и $y$.

$10.518 .1 \uparrow$ Пусть $(X, \mathscr {X}, \mu )=(Y, \mathscr {Y}, \nu )$ — пополнение $\left(R^{!}, \mathscr {R}^{!}, \lambda \right)$. Покажите, что $(X \times Y, \mathscr {X} \times \mathscr {Y}, \mu \times \nu )$ не полно.

Предположение о $\sigma$-конечности в теореме 18.2 существенно: пусть $\mu$ — мера Лебега на прямой, $\nu$ — считающая мера на прямой, и возьмём $E=[(x, y): x=y]$. Тогда (18.1) и (18.2) не согласуются.

Пример 18.2 фактически связывает $\pi$ как площадь единичного круга $D_{1}$ с $\pi$ из тригонометрии.

Предположим, что $f$ неотрицательна на $\sigma$-конечном пространстве с мерой $(\Omega , \mathscr {F}, \mu )$. Покажите, что

Докажите, что множество справа измеримо. Это даёт «площадь под кривой». Если предполагается существование $\mu \times \lambda$ на $\Omega \times R^{1}$, можно использовать правую часть этого равенства как альтернативное определение интеграла.

Вернитесь к задаче 12.12.

Предположим, что $\nu [y:(x, y) \in E]=\nu [y:(x, y) \in F]$ для всех $x$, и покажите, что $(\mu \times \nu )(E)=(\mu \times \nu )(F)$. Это общая версия принципа Кавальери.

Приведите пример, в котором (18.12) не выполняется из-за того, что $F$ и $G$ имеют общую точку разрыва.

Докажите (18.16) для случая, когда все функции непрерывны, дифференцируя по верхнему пределу интегрирования.

Докажите для функций распределения $F$, что $\int_{-\infty }^{\infty }(F(x+c)-F(x)) d x=c$.

Докажите для непрерывных функций распределения, что $\int_{-\infty }^{\infty } F(x) d F(x)=\frac{1}{2}$.

Предположим, что число $f_{n}$ определено для каждого $n \geq n_{0}$, и положим $F(x)= \Sigma_{n_{0} \leq n \leq x} f_{n}$. Выведите из (18.15), что

если $G(y)-G(x)=\int_{x}^{y} g(t) d t$, что будет выполняться, если $G$ имеет непрерывную производную $g$. Сначала предположите, что $f_{n}$ неотрицательны.

$\uparrow$ Возьмите $n_{0}=1, f_{7}=1$ и $G(x)=1 / x$, и выведите $\sum_{n \leq x} n^{-1}=\log x+\gamma + O(1 / x)$, где $\gamma =1-\int_{1}^{\infty }(t-\lfloor t\rfloor ) t^{-2} d t$ — постоянная Эйлера.

$5.2018 .15 \uparrow$ Используя (18.17) и (5.51), докажите, что существует константа $c$, такая что

Гамма-функция Эйлера определяется для положительных $t$ формулой $\Gamma (t)=\int_{0}^{\infty } x^{t-1} e^{-x} d x$.

Интегрированием по частям докажите, что $\int_{0}^{\infty }\left((\sin x) / x\right)^{2} d x=\pi / 2$ и $\int_{-\infty }^{\infty }(1- \cos x) x^{-2} d x=\pi$.

Предположим, что $\mu$ — вероятностная мера на $(X, \mathscr {X})$, и что для каждого $x$ из $X$ величина $\nu_{x}$ — вероятностная мера на $(Y, \mathscr {Y})$. Предположим далее, что для каждого $B$ из $\mathscr {Y}$ величина $\nu_{x}(B)$ как функция от $x$ измерима $\mathscr {X}$. Будем рассматривать $\mu (A)$ как начальные вероятности, а $\nu_{x}(B)$ — как переходные вероятности.