Интеграл по мере Лебега

Докажите:

Обобщите теорему 17.1 на $R^{k}$.

Покажите, что если $f$ интегрируема, то

Используйте теорему 17.1.

Предположим, что $\mu$ — конечная мера на $\mathscr {R}^{k}$, а $A$ замкнуто. Покажите, что $\mu (x+A)$ полунепрерывна сверху по $x$ и, следовательно, измерима.

Предположим, что $\int_{0}^{\infty }\left|f(x)\right| d x<\infty$. Покажите, что для каждого $\epsilon$, $\lambda [x: x>\alpha ,\left|f(x)\right|>\epsilon ] \rightarrow 0$ при $\alpha \rightarrow \infty$. Покажите на примере, что $f(x)$ не обязана стремиться к 0 при $x \rightarrow \infty$ (даже если $f$ непрерывна).

Пусть $f_{n}(x)=x^{n-1}-2 x^{2 n-1}$. Вычислите и сравните $\int_{0}^{1} \sum_{n=1}^{\infty } f_{n}(x) d x$ и $\sum_{n=1}^{\infty } \int_{0}^{1} f_{n}(x) d x$. Свяжите это с теоремой 16.6 и со следствием теоремы 16.7.

Покажите, что $\left(1+y^{2}\right)^{-1}$ имеет равные интегралы по $(-\infty ,-1),(-1,0),(0,1),(1, \infty )$. Заключите из (17.9), что $\int_{0}^{1}\left(1+y^{2}\right)^{-1} d y=\pi / 4$. Разложите подынтегральное выражение в геометрический ряд и выведите формулу Лейбница

с помощью теоремы 16.7 (заметьте, что её следствие здесь неприменимо).

Покажите, что если $f$ интегрируема, то существуют непрерывные интегрируемые функции $g_{n}$, такие что $g_{n}(x) \rightarrow f(x)$ всюду, кроме множества лебеговой меры 0. (Используйте теорему 17.1(ii) при $\epsilon =n^{-2}$.)

13.9 17.9 ↑ Пусть $f$ — конечнозначная борелевская функция на $[0,1]$. Следующими шагами докажите теорему Лузина: для каждого $\epsilon$ существует непрерывная функция $g$, такая что $\lambda [x \in (0,1): f(x) \neq g(x)]<\epsilon$.

Предположим в (17.7), что $T^{\prime }$ существует и непрерывна, а $f$ — борелевская функция, и предположим, что $\int_{a}^{b}\left|f(T x) T^{\prime }(x)\right| d x<\infty$. Покажите пошагово, что $\int_{T(a, b)}\left|f(y)\right| d y<\infty$ и что выполняется (17.8). Докажите это для

16.12 ↑ Пусть $\mathscr {L}$ состоит из непрерывных функций на $R^{1}$ с компактным носителем. Покажите, что $\mathscr {L}$ является векторной решёткой в смысле задачи 11.4 и обладает свойством, что из $f \in \mathscr {L}$ следует $f \wedge 1 \in \mathscr {L}$ (заметьте, что $1 \notin \mathscr {L}$ ). Покажите, что $\sigma$-алгебра $\mathscr {F}$, порождённая $\mathscr {L}$, равна $\mathscr {R}^{1}$. Предположим, что $\Lambda$ — положительный линейный функционал на $\mathscr {L}$; покажите, что $\Lambda$ обладает требуемым свойством непрерывности тогда и только тогда, когда из $f_{n}(x) \downarrow 0$ равномерно по $x$ следует $\Lambda \left(f_{n}\right) \rightarrow 0$. Покажите при этом предположении о $\Lambda$, что существует мера $\mu$ на $\mathscr {R}^{1}$, такая что

Покажите, что $\mu$ $\sigma$-конечна и единственна. Это вариант теоремы представления Рисса.

↑ Пусть $\Lambda (f)$ — интеграл Римана от $f$, который действительно существует для $f$ из $\mathscr {L}$. Используя самые элементарные факты о риманова интегрировании, покажите, что $\mu$, определяемая формулой (17.25), — это мера Лебега. Это даёт ещё один способ построения меры Лебега.

↑ Распространите идеи двух предыдущих задач на $R^{k}$.