Банк задач по математике

Задача 15.1

Предположим, что $f$ измерима и неотрицательна. Покажите, что $\int^{*} f d \mu =\infty$ , если $\mu [\omega$ : $f(\omega )>0]=\infty$ или если $\mu [\omega : f(\omega )>a]>0$ для всех $a$ .

Есть много функций, знакомых из курса анализа, которые, казалось бы, должны быть интегрируемыми, но относятся к типам из предыдущей задачи и потому имеют бесконечный верхний интеграл. Примерами служат $x^{-2} I_{(1, \infty )}(x)$ и $x^{-1 / 2} I_{(0,1)}(x)$ . Следовательно, (15.10) непригодно в качестве определения $\int f d \mu$ для неотрицательной $f$ . Единственная проблема с (15.10), однако, состоит в том, что оно неправильно обращается с бесконечностью. Чтобы убедиться в этом и сосредоточиться на сути дела, предположим, что $\mu (\Omega )<\infty$ и что $f$ ограничена, хотя не обязательно неотрицательна или измерима $\mathscr {F}$ .

?

Задача 15.2

(a)(b)

?

(a)

Покажите, что

\sum _{i}\left[\inf _{\omega \in A_{i}} f(\omega )\right] \mu \left(A_{i}\right) \leq \sum _{j}\left[\inf _{\omega \in B_{i}} f(\omega )\right] \mu \left(B_{j}\right)

если $\left\{ B_{j}\right\}$ измельчает $\left(A_{i}\right)$ . Докажите двойственное соотношение для сумм в (15.10) и заключите, что

\int _{*} f d \mu \leq \int ^{*} f d \mu \tag {15.11}

(b)

Теперь предположим, что $f$ измерима $\mathscr {F}$ , и пусть $M$ — граница для $\left|f\right|$ . Рассмотрим разбиение $A_{i}=[\omega : i \epsilon <f(\omega ) \leq (i+1) \epsilon ]$ , где $i$ пробегает от $-N$ до $N$ , а $N$ достаточно велико, чтобы $N \epsilon >M$ . Покажите, что

\sum _{i}\left[\sup _{\omega \in A_{i}} f(\omega )\right] \mu \left(A_{i}\right)-\sum _{i}\left[\inf _{\omega \in A_{i}} f(\omega )\right] \mu \left(A_{i}\right) \leq \epsilon \mu (\Omega ).

Заключите, что

\int _{*} f d \mu =\int ^{*} f d \mu \tag {15.12}

Определить интеграл как общее значение в (15.12) — это подход Дарбу–Юнга. Преимущество (15.3) как определения состоит в том, что (в неотрицательном случае) оно сразу же применимо к неограниченной $f$ и бесконечной $\mu$ .

Задача 15.3

3.2 15.2 ↑ Для $A \subset \Omega$ определим $\mu^{*}(A)$ и $\mu_{*}(A)$ формулами (3.9) и (3.10), заменив $P$ на $\mu$ . Покажите, что $\int^{*} I_{A} d \mu =\mu^{*}(A)$ и $\int_{*} I_{A} d \mu =\mu_{*}(A)$ для любого $A$ . Следовательно, (15.12) может нарушаться, если $f$ не измерима $\mathscr {F}$ . (Где в доказательстве (15.12) использовалась измеримость?)

Определения (15.3) и (15.6) всегда формально имеют смысл (при конечной $\mu (\Omega )$ и sup над D), но они разумны — согласуются с интуицией — лишь если выполняется (15.12). При каких условиях оно выполняется?

?

Задача 15.4

(a)(b)

$10.515 .3 \uparrow$

?

(a)

Предположим о $f$ , что существуют F-множество $A$ и функция $g$ , измеримая $\mathscr {F}$ , такие что $\mu (A)=0$ и $[f \neq g] \subset A$ . Это то же самое, что предположить $\mu^{*}[f \neq g]=0$ , или предположить, что $f$ измерима относительно $\mathscr {F}$ , пополненной по $\mu$ . Покажите, что (15.12) выполняется.

(b)

Покажите, что если выполняется (15.12), то выполняется и выделенное курсивом условие из части (a).

Вместо того чтобы предполагать, что $f$ измерима $\mathscr {F}$ , можно предполагать, что она удовлетворяет выделенному курсивом условию из задачи 15.4(a) — что в случае, когда $(\Omega , \mathscr {F}, \mu )$ полно, всё равно то же самое. Для следующих трёх задач предположим, что $\mu (\Omega )<\infty$ и что $f$ измерима $\mathscr {F}$ и ограничена.

Задача 15.5

↑ Покажите, что для положительного $\epsilon$ существует конечное разбиение $\left\{ A_{i}\right\}$ , такое что если $\left\{ B_{j}\right\}$ — любое более мелкое разбиение и $\omega_{j} \in B_{j}$ , то

\left|\int f d \mu -\sum _{j} f\left(\omega _{j}\right) \mu \left(B_{j}\right)\right|<\epsilon .

?

Задача 15.6

↑ Покажите, что

\int f d \mu =\lim _{n} \sum _{\left|k\right| \leq n 2^{n}} \frac{k-1}{2^{n}} \mu \left[\omega : \frac{k-1}{2^{n}} \leq f(\omega )<\frac{k}{2^{n}}\right].

Предел, стоящий здесь справа, — это определение интеграла по Лебегу.

?

Задача 15.7

↑ Предположим, что интеграл определён для простых неотрицательных функций формулой $\int \left(\sum_{i} x_{i} I_{A}\right) d \mu =\sum_{i} x_{i} \mu \left(A_{i}\right)$ . Предположим, что $f_{n}$ и $g_{n}$ просты и неубывающи и имеют общий предел: $0 \leq f_{n} \uparrow f$ и $0 \leq g_{n} \uparrow f$ . Адаптируйте рассуждения, использованные при доказательстве теоремы 15.1(iii), и покажите, что $\lim_{n} \int f_{n} d \mu =\lim_{n} \int g_{n} d \mu$ . Таким образом, в неотрицательном случае $\int f d \mu$ можно (теорема 13.5) непротиворечиво определить как $\lim_{n} \int f_{n} d \mu$ для простых функций, для которых $0 \leq f_{n} \uparrow f$ .

?

Интеграл