Большие уклонения и закон повторного логарифма*

Докажите (6.2), используя (9.9) и тот факт, что кумулянты складываются при независимости.

В случае Бернулли (9.21) даёт

где $p<a<1$ и $x_{n}=n(a-p)$. Теорема 9.4 даёт

где $x_{n}=a_{n} \sqrt{n p q}$. Разрешите это кажущееся противоречие. Используйте (9.25), чтобы сравнить два выражения в случае, когда $x_{n} / n$ мало. См. Задачу 27.17.

Переобозначим биномиальный параметр $p$ через $\theta =f(p)$, где $f$ возрастает и непрерывно дифференцируема. Покажите с помощью (9.27), что различимость $\theta$ и $\theta +\Delta \theta$, измеряемая величиной $K$, равна $(\Delta \theta )^{2} / 8 p(1-p)\left(f^{\prime }(p)\right)^{2}+O(\Delta \theta )^{3}$. Старший коэффициент не зависит от $\theta$, если $f(p)=\arcsin \sqrt{p}$.

Из (9.35) и того же результата для $\left\{ -X_{n}\right\}$, вместе с равномерной ограниченностью $X_{n}$, выведите, что с вероятностью 1 множество предельных точек последовательности $\left\{ S_{n}(2 n \log \log n)^{-1 / 2}\right\}$ есть замкнутый интервал от -1 до +1.

$\uparrow$ Предположим, что $X_{n}$ принимает значения $\pm 1$ с вероятностью $\frac{1}{2}$ каждое, и покажите, что $P\left[S_{n}=0\right.$ б.ч. $]=1$. (Это даёт ещё одно доказательство возвратности симметричного случайного блуждания на прямой (Пример 8.6).) Покажите в более общем виде, что если $X_{n}$ ограничены величиной $M$, то $P\left[\left|S_{n}\right| \leq M\right.$ б.ч. $]=1$.

Ослабленные варианты (9.36) доказать довольно легко. С помощью аргумента с четвёртым моментом (см. (6.2)) покажите, что $P\left[S_{n}>n^{3 / 4}(\log n)^{(1+\epsilon ) / 4}\right.$ б.ч. $]=0$. Используйте (9.29), чтобы дать простое доказательство того, что $P\left[S_{n}>(3 n \log n)^{1 / 2}\right.$ б.ч. $]=0$.

Покажите, что (9.35) верно, если $S_{n}$ заменить на $\left|S_{n}\right|$, $\max_{k \leq n} S_{k}$ или $\max_{k \leq n}\left|S_{k}\right|$.