Банк задач по математике

Задача 5.1

(a)(b)(c)

?

(a)

Покажите, что $X$ измерима относительно $\sigma$ -алгебры $\mathscr {A}$ тогда и только тогда, когда $\sigma (X) \subset \mathscr {G}$ . Покажите, что $X$ измерима относительно $\sigma (Y)$ тогда и только тогда, когда $\sigma (X) \subset \sigma (Y)$ .

(b)

Покажите, что если $\mathscr {G}=\left\{ \varnothing , \Omega \right\}$ , то $X$ измерима относительно $\mathscr {G}$ тогда и только тогда, когда $X$ постоянна.

(c)

Предположим, что $\mathbb {P}\left(A\right)$ равно 0 или 1 для каждого $A$ из $\mathscr {G}$ . Это выполнено, например, если $\mathscr {G}$ — хвостовая $\sigma$ -алгебра независимой последовательности (Теорема 4.5), или если $\mathscr {E}$ состоит из счётных множеств и множеств со счётным дополнением на единичном интервале с мерой Лебега. Покажите, что если $X$ измерима относительно $\mathscr {G}$ , то $\mathbb {P}\left(X=c\right)=1$ для некоторой константы $c$ .

Задача 5.2

$2.19 \uparrow$ Покажите, что единичный интервал можно заменить произвольным неатомическим вероятностным пространством в доказательстве Теоремы 5.3.

?

Задача 5.3

Покажите, что $m=\mathbb {E}\left[X\right]$ минимизирует $\mathbb {E}\left[(X-m)^{2}\right]$ .

?

Задача 5.4

Предположим, что $X$ принимает значения $m-\alpha , m, m+\alpha$ с вероятностями $p, 1- 2 p, p$ , и покажите, что в (5.32) достигается равенство. Таким образом, неравенство Чебышева нельзя улучшить без дополнительных предположений о $X$ .

?

Задача 5.5

(a)(b)(c)

Предположим, что $X$ имеет математическое ожидание $m$ и дисперсию $\sigma^{2}$ .

?

(a)

Докажите неравенство Кантелли

\mathbb {P}\left(X-m \geq \alpha \right) \leq \frac{\sigma ^{2}}{\sigma ^{2}+\alpha ^{2}}, \quad \alpha \geq 0.

(b)

Покажите, что $\mathbb {P}\left(\left|X-m\right| \geq \alpha \right) \leq 2 \sigma^{2} /\left(\sigma^{2}+\alpha^{2}\right)$ . Когда это неравенство лучше неравенства Чебышева?

(c)

Рассмотрев случайную величину, принимающую два значения, покажите, что неравенство Кантелли точное.

Задача 5.6

Многочлен $\mathbb {E}\left[(t\left|X\right|+\left|Y\right|)^{2}\right]$ от $t$ имеет не более одного вещественного нуля. Выведите отсюда ещё раз неравенство Шварца.

?

Задача 5.7

(a)(b)

?

(a)

Запишите (5.37) в виде $\left.E^{\beta / \alpha }\left[|X|^{\alpha }\right] \leq E\left[|X|^{\alpha }\right)^{\beta / \alpha }\right]$ и выведите это неравенство непосредственно из неравенства Йенсена.

(b)

Докажите, что $\mathbb {E}\left[1 / X^{p}\right] \geq 1 / E^{p}[X]$ для $p>0$ и положительной случайной величины $X$ .

Задача 5.8

(a)(b)

?

(a)

Пусть $f$ — выпуклая вещественная функция на выпуклом множестве $C$ на плоскости. Предположим, что $(X(\omega ), Y(\omega )) \in C$ для всех $\omega$ , и докажите двумерный вариант неравенства Йенсена:

f(\mathbb {E}\left[X\right], \mathbb {E}\left[Y\right]) \leq \mathbb {E}\left[f(X, Y)\right]. \tag {5.38}

(b)

Покажите, что $f$ выпукла, если она имеет непрерывные вторые производные, удовлетворяющие условиям

f_{11} \geq 0, \quad f_{22} \geq 0, \quad f_{11} f_{22} \geq f_{12}^{2}. \tag {5.39}

Задача 5.9

$\uparrow$ Неравенство Гёльдера равносильно неравенству $\mathbb {E}\left[X^{1 / p} Y^{1 / q}\right] \leq E^{1 / p}[X] \cdot E^{1 / q}[Y] \left(p^{-1}+q^{-1}=1\right)$ , где $X$ и $Y$ — неотрицательные случайные величины. Выведите его из (5.38).

?

Задача 5.10

↑ Неравенство Минковского имеет вид

E^{1 / p}\left[|X+Y|^{p}\right] \leq E^{1 / p}\left[|X|^{p}\right]+E^{1 / p}\left[|Y|^{p}\right], \tag {5.40}

и выполняется при $p \geq 1$ . Достаточно доказать, что $\mathbb {E}\left[\left(X^{1 / p}+Y^{1 / p}\right)^{p}\right] \leq \left(E^{1 / p}[X]+\right. \left.E^{1 / p}[Y]\right)^{p}$ для неотрицательных $X$ и $Y$ . Используйте (5.38).

?

Задача 5.11

Для событий $A_{1}, A_{2}, \ldots$ , не обязательно независимых, пусть $N_{n}=\sum_{k=1}^{n} i_{A_{k}}$ — число тех из них, что происходят среди первых $n$ . Пусть

\alpha _{n}=\frac{1}{n} \sum _{k=1}^{n} \mathbb {P}\left(A_{k}\right), \quad \beta _{n}=\frac{2}{n(n-1)} \sum _{1 \leq j<k \leq n} \mathbb {P}\left(A_{j} \cap A_{k}\right). \tag {5.41}

Покажите, что

\mathbb {E}\left[n^{-1} N_{n}\right]=\alpha _{n}, \quad \operatorname {Var}\left[n^{-1} N_{n}\right]=\beta _{n}-\alpha _{n}^{2}+\frac{\alpha _{n}-\beta _{n}}{n}. \tag {5.42}

Таким образом, $\operatorname {Var}\left[n^{-1} N_{n}\right] \rightarrow 0$ тогда и только тогда, когда $\beta_{n}-\alpha_{n}^{2} \rightarrow 0$ , что выполнено, если события $A_{n}$ независимы и $\mathbb {P}\left(A_{n}\right)=p$ (испытания Бернулли), поскольку в этом случае $\alpha_{n}=p$ и $\beta_{n}= p^{2}=\alpha_{n}^{2}$ .

?

Задача 5.12

Покажите, что если $X$ принимает значения из неотрицательных целых чисел, то $\mathbb {E}\left[X\right]=\sum_{n=1}^{\infty } \mathbb {P}\left(X \geq n\right)$ .

?

Задача 5.13

Пусть $I_{i}=I_{A_{i}}$ — индикаторы $n$ событий, объединение которых равно $A$ . Пусть $S_{k}=\sum I_{i_{1}} \cdots I_{i_{k}}$ , где суммирование ведётся по всем $k$ -наборам, удовлетворяющим $1 \leq i_{1}<\cdots <i_{k} \leq n$ . Тогда $s_{k}=\mathbb {E}\left[S_{k}\right]$ — это члены формулы включения-исключения $\mathbb {P}\left(A\right)=s_{1}- s_{2}+\cdots \pm s_{n}$ . Выведите формулу включения-исключения из $I_{A}=S_{1}-S_{2}+ \cdots \pm S_{n}$ . Докажите последнюю формулу, раскрыв произведение $\prod_{i=1}^{n}\left(1-I_{i}\right)$

?

Задача 5.14

Пусть $f_{n}(x)$ равно $n^{2} x$ , $2 n-n^{2} x$ или 0 в зависимости от того, выполнено ли $0 \leq x \leq n^{-1}$ , $n^{-1} \leq x \leq 2 n^{-1}$ или $2 n^{-1} \leq x \leq 1$ . Это стандартный пример последовательности непрерывных функций, сходящейся к 0, но не равномерно. Заметим, что $\int_{0}^{1} f_{n}(x) d x$ не сходится к 0; сопоставьте с Примером 5.7.

?

Задача 5.15

По Теореме 5.3, для любой заданной последовательности вероятностей $p_{n}$ существует (на некотором пространстве) независимая последовательность событий $A_{n}$ , удовлетворяющая $\mathbb {P}\left(A_{n}\right)=p_{n}$ . Покажите, что если $p_{n} \rightarrow 0$ , но $\sum p_{n}=\infty$ , то это даёт контрпример (подобный Примеру 5.4) к обращению Теоремы 5.2(ii).

?

Задача 5.16

$\uparrow$ Предположим, что $0 \leq p_{n} \leq 1$ , и положим $\alpha_{n}=\min \left\{ p_{n}, 1-p_{n}\right\}$ . Покажите, что если $\sum \alpha_{n}$ сходится, то на некотором дискретном вероятностном пространстве существуют независимые события $A_{n}$ , удовлетворяющие $\mathbb {P}\left(A_{n}\right)=p_{n}$ . Сравните с Задачей 1.1(b).

?

Задача 5.17

(a)(b)

?

(a)

Предположим, что $X_{n} \rightarrow_{P} X$ и $f$ непрерывна. Покажите, что $f\left(X_{n}\right) \rightarrow_{P} f(X)$ .

(b)

Покажите, что из $\mathbb {E}\left[\left|X-X_{n}\right|\right] \rightarrow 0$ следует $X_{n} \rightarrow_{p} X$ . Покажите, что обратное неверно.

Задача 5.18

$2.20 \uparrow$ Доказательство, приведённое для Теоремы 5.3 в частном случае, когда все $\mu_{n}$ совпадают, можно распространить на общий случай: используйте Задачу 2.20.

?

Задача 5.19

$2.18 \uparrow$ Для целых чисел $m$ и простых $p$ пусть $\alpha_{p}(m)$ — точная степень $p$ в разложении на простые множители числа $m: m=\Pi_{p} p^{\alpha_{p}(m)}$ . Пусть $\delta_{p}(m)$ равно 1 или 0 в зависимости от того, делит ли $p$ число $m$ или нет. При каждой $P_{n}$ (см. (2.34)) $\alpha_{p}$ и $\delta_{p}$ являются случайными величинами. Покажите, что для различных простых $p_{1}, \ldots , p_{u}$

\mathbb {P}_{n}\left(\alpha _{p_{i}} \geq k_{i}, i \leq u\right)=\frac{1}{n}\left\lfloor \frac{n}{p_{1}^{k_{1}} \cdots p_{u}^{k_{n}}}\right\rfloor \rightarrow \frac{1}{p_{1}^{k_{1}} \cdots p_{u}^{k_{n}}} \tag {5.43}

и

\mathbb {P}_{n}\left(\alpha _{p_{i}}=k_{i}, i \leq u\right) \rightarrow \prod _{i=1}^{u}\left(\frac{1}{p_{i}^{k_{i}}}-\frac{1}{p_{i}^{k_{i}+1}}\right). \tag {5.44}

Аналогично,

\mathbb {P}_{n}\left(\delta _{p_{1}}=1, i \leq u\right)=\frac{1}{n}\left|\frac{n}{p_{1} \cdots p_{u}}\right| \rightarrow \frac{1}{p_{1} \cdots p_{u}} \tag {5.45}

Согласно (5.44), при больших $n$ величины $\alpha_{p}$ приближённо независимы относительно $P_{n}$ , а согласно (5.45), то же верно и для $\delta_{p}$ .

Для функции $f$ на положительных целых числах пусть

E_{n}[f]=\frac{1}{n} \sum _{m=1}^{n} f(m) \tag {5.46}

— её математическое ожидание относительно вероятностной меры $P_{n}$ . Покажите, что

E_{n}\left[\alpha _{p}\right]=\sum _{k=1}^{\infty } \frac{1}{n}\left|\frac{n}{p^{k}}\right| \rightarrow \frac{1}{p-1} ; \tag {5.47}

это означает, грубо говоря, что $(p-1)^{-1}$ — средняя степень $p$ в разложении больших целых чисел.

?

Задача 5.20

?

(a)

Из формулы Стирлинга выведите

E_{n}[\log ]=\log n+O(1). \tag {5.48}

Из этого, неравенства $E_{n}\left[\alpha_{p}\right] \leq 2 / p$ и соотношения $\log m=\sum_{p} \alpha_{p}(m) \log p$ заключите, что $\Sigma_{p} p^{-1} \log p$ расходится и что простых чисел бесконечно много.

(b)

Пусть $\log^{*} m=\sum_{p} \delta_{p}(m) \log p$ . Покажите, что

E_{n}\left[\log ^{*}\right]=\sum _{p} \frac{1}{n}\left\lfloor \frac{n}{p}\right\rfloor \log p=\log n+O(1). \tag {5.49}

(c)

Покажите, что $\lfloor 2 n / p\rfloor -2\lfloor n / p\rfloor$ всегда неотрицательно и равно 1 в диапазоне $n<p \leq 2 n$ . Выведите $E_{2 n}\left[\log^{*}\right]-E_{n}\left[\log^{*}\right]=O(1)$ и заключите, что

\sum _{p \leq x} \log p=O(x). \tag {5.50}

Используйте это, чтобы оценить погрешность, вносимую в (5.49) отбрасыванием скобок целой части, и покажите, что

\sum _{p \leq x} p^{-1} \log p=\log x+O(1). \tag {5.51}

(d)

Ограничьте область суммирования в (5.51) значениями $\theta x<p \leq x$ при подходящем $\theta$ и заключите, что

\sum _{p \leq x} \log p \approx x, \tag {5.52}

в том смысле, что отношение двух частей отделено от 0 и от $\infty$ .

(e)

Используя (5.52) и рассуждения с усечением, докажите для числа $\pi (x)$ простых чисел, не превосходящих $x$ , что

\pi (x) \asymp \frac{x}{\log x}. \tag {5.53}

(По теореме о распределении простых чисел отношение двух частей на самом деле стремится к 1.) Заключите, что $r$ -е простое число $p_{r}$ удовлетворяет $p_{r} \asymp r \log r$ и что

\sum _{p} \frac{1}{p}=\infty . \tag {5.54}

Простые случайные величины