Счётные вероятностные пространства

$2.1 \uparrow$ Верхний и нижний пределы числовой последовательности $\left\{ x_{n}\right\}$ можно определить как супремум и инфимум множества предельных точек — то есть множества пределов сходящихся подпоследовательностей. Это то же самое, что определить

и

Сравните эти соотношения с (4.4) и (4.5) и докажите, что

Докажите, что $\lim_{n} A_{n}$ существует в смысле (4.6) тогда и только тогда, когда $\lim_{n} I_{A_{n}}(\omega )$ существует для каждого $\omega$.

Пусть $A_{n}$ — квадрат $[(x, y):\left|x\right| \leq 1,\left|y\right| \leq 1]$, повёрнутый на угол $2 \pi n \theta$. Дайте геометрическое описание $\limsup \sup_{n}$ и $\liminf A_{n}$ в случае

Найдите последовательность, для которой все три неравенства в (4.9) строгие.

В пространстве из шести равновероятных исходов (бросают игральную кость) найдите три события, которые не являются независимыми, хотя каждое из них независимо от пересечения двух других.

Для событий $A_{1}, \ldots , A_{n}$ рассмотрите $2^{n}$ равенств $\mathbb {P}\left(B_{1} \cap \cdots \cap B_{n}\right)= \mathbb {P}\left(B_{1}\right) \cdots \mathbb {P}\left(B_{n}\right)$, где $B_{i}=A_{i}$ или $B_{i}=A_{i}^{c}$ для каждого $i$. Покажите, что если все эти равенства выполняются, то $A_{1}, \ldots , A_{n}$ независимы.

Для каждого из следующих классов $\mathscr {A}$ опишите $\mathscr {A}$-разбиение, определённое (4.16).

$2.92 .10 \uparrow$ В связи с Примером 4.8 и Задачей 210 докажите следующие факты:

$3.2 \uparrow$ В единичном интервале существует множество $H$, неизмеримое в том крайнем смысле, что его внутренняя и внешняя лебеговы меры равны 0 и 1 (см. (3.9) и (3.10)): $\lambda_{*}(H)=0$ и $\lambda^{*}(H)=1$. Построение см. в Задаче 12.4

Пусть $\Omega =(0,1]$, пусть $\mathscr {G}$ состоит из борелевских множеств в $\Omega$, и пусть $H$ — только что описанное множество. Покажите, что класс $\mathscr {F}$ множеств вида $\left(H \cap G_{1}\right) \cup \left(H^{c} \cap G_{2}\right)$ для $G_{1}$ и $G_{2}$ из $\mathscr {E}$ является $\sigma$-алгеброй и что $\mathbb {P}\left(\left(H \cap G_{1}\right) \cup \left(H^{c} \cap G_{2}\right)\right)=\frac{1}{2} \lambda \left(G_{1}\right)+ \frac{1}{2} \lambda \left(G_{2}\right)$ корректно определяет вероятностную меру на $\mathscr {F}$. Покажите, что $\mathbb {P}\left(H\right)=\frac{1}{2}$ и что $\mathbb {P}\left(G\right)=\lambda (G)$ для $G \in \mathscr {G}$. Покажите, что $\mathscr {G}$ порождена счётным подклассом (см. Задачу 2.11). Покажите, что $\mathscr {I}$ содержит все одноточечные множества и что $H$ и $\mathscr {G}$ независимы.

Это построение доказывает следующее: существуют вероятностное пространство $(\Omega , \mathscr {F}, P)$, $\sigma$-алгебра $\mathscr {G}$ в $\mathscr {F}$ и множество $H$ в $\mathscr {F}$ такие, что $\mathbb {P}\left(H\right)=\frac{1}{2}$, $H$ и $\mathscr {G}$ независимы, а $\mathscr {I}$ порождена счётным подклассом и содержит все одноточечные множества.

Пример 4.10 в чём-то похож, но там $\sigma$-алгебра $\mathscr {G}$ не является счётно-порождённой, и каждое множество в ней имеет вероятность 0 либо 1. В настоящем же примере $\mathscr {G}$ счётно-порождена, и $\mathbb {P}\left(G\right)$ принимает все значения между 0 и 1, когда $G$ пробегает $\mathscr {G}$. Пример 4.10 в некоторой степени неестествен, поскольку $\mathscr {G}$ там не является счётно-порождённой. Настоящий же пример, напротив, задействует патологическое множество $H$. Этот пример используется в Разделе 33 в связи с условной вероятностью; см. Задачу 33.11.

Пусть $\varphi$ — положительная функция целых чисел, и определим $B_{\varphi }$ как множество $x$ из $(0,1)$ таких, что $\left|x-p / 2^{i}\right|<1 / 2^{i} \varphi \left(2^{j}\right)$ выполняется для бесконечно многих пар $p, i$. Адаптируя доказательство Теоремы 1.6, покажите непосредственно (не ссылаясь на Пример 4.12), что $\sum_{i} 1 / \varphi \left(2^{i}\right)<\infty$ влечёт $\lambda \left(B_{\varphi }\right)=0$.

$2.19 \uparrow$ Предположим, что в $(\Omega , \mathscr {F}, P)$ существуют независимые события $A_{1}, A_{2}, \ldots$ такие, что, если $\alpha_{n}=\min \left(\mathbb {P}\left(A_{n}\right), 1-\mathbb {P}\left(A_{n}\right)\right)$, то $\sum \alpha_{n}=\infty$. Покажите, что $P$ неатомическая.

$2.18 \uparrow$ Пусть $F$ — множество свободных от квадратов целых чисел, то есть целых чисел, не делящихся ни на один полный квадрат. Пусть $F_{l}$ — множество $m$ таких, что $p^{2} \mid m$ не выполняется ни для какого $p \leq l$, и покажите, что $D\left(F_{l}\right)=\Pi_{p \leq l}\left(1-p^{-2}\right)$. Покажите, что $\mathbb {P}_{n}\left(F_{l}-F\right) \leq \sum_{p>l} p^{-2}$, и заключите, что свободные от квадратов целые числа имеют плотность $\Pi_{p}\left(1-p^{-2}\right)=6 / \pi^{2}$.

$2.18 \uparrow$ Вернитесь к Задаче 2.18(d). Если бы $D$ была счётно-аддитивна на $f(\mathscr {M})$, она продолжалась бы на $\sigma (\mathscr {M})$. Используйте вторую лемму Бореля—Кантелли.