Существование и продолжение

В доказательстве Теоремы 3.1 предполагаемая конечная аддитивность $P$ используется дважды, а предполагаемая счётная аддитивность $P$ используется один раз. Где именно?

Покажите на примере, что конечно-аддитивная вероятностная мера на алгебре может не быть счётно-полуаддитивной. Более того, покажите, что если конечно-аддитивная вероятностная мера счётно-полуаддитивна, то она обязательно является и счётно-аддитивной. ${ }^{\dagger }$ Разумеется, речь идёт о счётно-аддитивном продолжении. Если довольствоваться конечной аддитивностью, то существует продолжение на $2^{(0)}{ }^{\text{I }}$; см. Задачу 3.8.

Предположим, что Теорема 2.1 была бы ослаблена усилением её предположения до допущения, что $\mathscr {F}$ является $\sigma$-алгеброй. Почему этого ослабленного результата не хватило бы для доказательства Теоремы 3.1?

Покажите, что

и (см. (3.2))

и покажите, что инфимум и супремум всегда достигаются.

Покажите, что $A$ является $P^{*}$-измеримым тогда и только тогда, когда $\mathbb {P}_{*}\left(A\right)=P^{*}(A)$.

Внешняя и внутренняя меры, связанные с вероятностной мерой $P$ на $\sigma$-алгебре $\mathscr {F}$, обычно определяются формулами (3.9) и (3.10). Покажите, что (3.9) и (3.10) совпадают с (3.1) и (3.2), где роль $\mathscr {F}_{0}$ играет $\mathscr {F}$.

Пусть $\mathscr {F}_{0}$ состоит из множеств $\varnothing ,\left\{ 1\right\} ,\left\{ 2,3\right\}$ и $\Omega =\left\{ 1,2,3\right\}$, и определим вероятностные меры $P_{1}$ и $P_{2}$ на $\mathscr {F}_{0}$ равенствами $P_{1}\left\{ 1\right\} =0$ и $P_{2}\left\{ 2,3\right\} =0$. Заметим, что $\mathscr {M}\left(P_{1}^{*}\right)$ и $\mathscr {M}\left(P_{2}^{*}\right)$ различаются.

Предположим, что $\Omega$ счётно-бесконечно, пусть $\mathscr {F}_{0}$ — алгебра конечных и коконечных множеств, и положим $\mathbb {P}\left(A\right)$ равным 0 или 1 в зависимости от того, конечно ли $A$ или коконечно.

То же самое, но предположим, что $\Omega$ несчётно.

Предположим, что $\Omega$ несчётно, пусть $\mathscr {F}_{0}$ состоит из счётных и косчётных множеств, и положим $\mathbb {P}\left(A\right)$ равным 0 или 1 в зависимости от того, счётно ли $A$ или косчётно.

Вероятность из Задачи 2.15.

Пусть $\mathbb {P}\left(A\right)=I_{A}\left(\omega_{0}\right)$ для $A \in \mathscr {F}_{0}$, и предположим, что $\left(\omega_{0}\right) \in \sigma \left(\mathscr {F}_{0}\right)$.

Покажите, что $P^{\circ }(\varnothing )=0$ и что $P^{\circ }$ неотрицательна, монотонна и конечно-полуаддитивна. Используя эти четыре свойства $P^{\circ }$, докажите: Лемма $1^{\circ }$: $\mathscr {M}^{\circ }$ является алгеброй. Лемма $2^{\circ }$: если $A_{1}, A_{2}, \quad$ — конечная последовательность дизъюнктных $\mathscr {M}^{\circ }$-множеств, то для каждого $E \subset \Omega$,

Лемма $3^{\circ }$: $P^{\circ }$, ограниченная на алгебру $\mathscr {M}^{\circ }$, конечно-аддитивна.

Покажите, что если $P^{\circ }$ определена по (3.11) (конечные покрытия), то: Лемма $4^{\circ }$: $\mathscr {F}_{0} \subset \mathscr {M}^{\circ }$. Лемма $5^{\circ }$: $P^{\circ }(A)=\mathbb {P}\left(A\right)$ для $A \in \mathscr {F}_{0}$.

Определим $\mathbb {P}_{o}\left(A\right)=1-P^{\circ }\left(A^{c}\right)$. Докажите, что если $E \subset A \in \mathscr {F}_{0}$, то

Покажите, что это определение корректно (непротиворечиво).

Покажите, что $Q$ совпадает с $P$ на $\mathscr {F}_{0}$.

Покажите, что $Q$ конечно-аддитивна на $\mathscr {F}_{1}$. Покажите, что $Q(H)=P^{\circ }(H)$.

Определим $Q^{\prime }$, поменяв местами роли $P^{\circ }$ и $P_{\circ }$ в правой части (314).

Покажите, что $Q^{\prime }$ — ещё одно конечно-аддитивное продолжение $P$ на $\mathscr {F}_{1}$. То же верно для любой выпуклой комбинации $Q^{\prime \prime }$ мер $Q$ и $Q^{\prime }$. Покажите, что $Q^{\prime \prime }(H)$ может принимать любое значение между $\mathbb {P}_{0}\left(H\right)$ и $P^{\circ }(H)$.

$\uparrow$ Пусть $P$ — (счётно-аддитивная) вероятностная мера на $\sigma$-алгебре $\mathscr {F}$. Предположим, что $H \notin \mathscr {F}$, и пусть $\mathscr {F}_{1}=\sigma (\mathscr {F} \cup \left\{ H\right\} )$. Адаптируя идеи Задачи 3.7, покажите, что $P$ имеет счётно-аддитивное продолжение с $\mathscr {F}$ на $\mathscr {F}_{1}$.

Возникает соблазн пойти дальше и с помощью леммы Цорна продолжить $P$ до вполне аддитивной вероятностной меры на $\sigma$-алгебре всех подмножеств $\Omega$. В каком месте очевидное доказательство даёт сбой?

Предположим, что $(\Omega , \mathscr {F}_{2}, P_{2})$ — второе полное продолжение. Покажите на примере в пространстве из двух точек, что $P_{1}$ и $P_{2}$ не обязаны совпадать на $\sigma$-алгебре $\mathscr {F}_{1} \cap \mathscr {F}_{2}$.

Однако существует единственное минимальное полное продолжение: пусть $\mathscr {F}^{+}$состоит из множеств $A$, для которых найдутся $\mathscr {F}_{\text{-множества }} B$ и $C$ такие, что $A \Delta B \subset C$ и $\mathbb {P}\left(C\right)=0$. Покажите, что $\mathscr {F}^{+}$является $\sigma$-алгеброй. Для такого множества $A$ определим $P^{+}(A)=\mathbb {P}\left(B\right)$. Покажите, что это определение корректно, что $P^{+}$является вероятностной мерой на $\mathscr {F}^{+}$, и что $(\Omega , \mathscr {F}^{+}, P^{+})$ полно. Покажите, что если $(\Omega , \mathscr {F}_{1}, P_{1})$ — произвольное полное продолжение $(\Omega , \mathscr {F}^{,} P)$, то $\mathscr {F}^{+} \subset \mathscr {F}_{1}$ и $P_{1}$ совпадает с $P^{+}$на $\mathscr {F}^{+}$; $(\Omega , \mathscr {F}^{+}, P^{+})$ является пополнением $(\Omega , \mathscr {F}, P)$.

Покажите, что $A \in \mathscr {F}^{+}$тогда и только тогда, когда $\mathbb {P}_{*}\left(A\right)=P^{*}(A)$, где $P_{*}$ и $P^{*}$ определены по (3.9) и (3.10), и что в этом случае $P^{+}(A)=\mathbb {P}_{*}\left(A\right)=P^{*}(A)$. Таким образом, полное продолжение, построенное в тексте, — это в точности пополнение.

Покажите, что $\lambda$-система удовлетворяет условиям $(\lambda_{4})$ $A, B \in \mathscr {L}$ и $A \cap B=\varnothing$ влекут $A \cup B \in \mathscr {L}$, $(\lambda_{5})$ $A_{1}, A_{2}, \ldots \in \mathscr {L}$ и $A_{n} \uparrow A$ влекут $A \in \mathscr {L}$, $(\lambda_{6})$ $A_{1}, A_{2}, \ldots \in \mathscr {L}$ и $A_{n} \downarrow A$ влекут $A \in \mathscr {L}$.

Покажите, что $\mathscr {L}$ является $\lambda$-системой тогда и только тогда, когда она удовлетворяет $\left(\lambda_{1}\right),\left(\lambda_{2}^{\prime }\right)$ и $\left(\lambda_{5}\right)$. (Иногда эти условия вместе с избыточным условием $(\lambda_{4})$ принимают за определение.)

$2.53 .11 \uparrow$ Покажите, что если $\mathscr {P}$ — $\pi$-система, то минимальная $\lambda$-система над $\mathscr {P}$ совпадает с $\sigma (\mathscr {P})$.

Пусть $\mathscr {P}$ — $\pi$-система, а $\mathscr {M}$ — монотонный класс. Покажите, что $\mathscr {P} \subset \mathscr {M}$ не влечёт $\sigma (\mathscr {P}) \subset \mathscr {M}$.

Выведите $\pi$-$\lambda$-теорему из теоремы о монотонных классах, показав напрямую, что если $\lambda$-система $\mathscr {L}$ содержит $\pi$-систему $\mathscr {P}$, то $\mathscr {L}$ содержит также алгебру, порождённую $\mathscr {P}$.

Предположим, что $\mathscr {F}_{0}$ — алгебра, а $P_{1}$ и $P_{2}$ — вероятностные меры на $\sigma \left(\mathscr {F}_{0}\right)$. С помощью теоремы о монотонных классах покажите, что если $P_{1}$ и $P_{2}$ совпадают на $\mathscr {F}_{0}$, то они совпадают на $\sigma \left(\mathscr {F}_{0}\right)$.

Пусть $\mathscr {F}_{0}$ — наименьшая алгебра над $\pi$-системой $\mathscr {P}$. С помощью формулы включений-исключений покажите, что вероятностные меры, совпадающие на $\mathscr {P}$, должны совпадать также на $\mathscr {F}_{0}$. Теперь выведите Теорему 3.3 из пункта (a).

Покажите, что если $A$ — борелевское множество и $A \subset H$, то $\lambda (A)=0$, то есть $\lambda_{*}(H)=$ 0.

Покажите, что если $\lambda^{*}(E)>0$, то $E$ содержит неизмеримое подмножество.

В Примере 3.1 показано, как построить нигде не плотное борелевское множество положительной лебеговой меры. Покажите, что каждый интервал содержит такое множество.

Пусть $\left\{ I_{n}\right\}$ — перечисление открытых интервалов в $(0,1)$ с рациональными концами. Постройте дизъюнктные, нигде не плотные борелевские множества $A_{1}, B_{1}, A_{2}, B_{2}, \ldots$ положительной лебеговой меры такие, что $A_{n} \cup B_{n} \subset I_{n}$.

Пусть $A=\bigcup_{k} A_{k}$. Непустое открытое $G$ в $(0,1)$ содержит некоторый $I_{n}$. Покажите, что $0<\lambda \left(A_{n}\right) \leq \lambda (A \cap G)<\lambda (A \cap G)+\lambda \left(B_{n}\right) \leq \lambda (G)$.

Если $\lambda (A \cap I) \leq b \lambda (I)$ для всех $I$ и $b<1$, то $\lambda (A)=0$. Указание. Выберите открытое $G$ такое, что $A \subset G \subset (0,1)$ и $\lambda (G)<b^{-1} \lambda (A)$; представьте $G$ как дизъюнктное объединение интервалов и получите противоречие.

Если $a \lambda (I) \leq \lambda (A \cap I)$ для всех $I$ и $a>0$, то $\lambda (A)=1$.