Вероятностные меры

Предположим, что $\Omega \subseteq \mathscr {F}$ и что из $A, B \in \mathscr {F}$ следует $A-B=A \cap B^{c} \in \mathscr {F}$. Покажите, что $\mathscr {F}$ является алгеброй.

Предположим, что $\Omega \in \mathscr {F}$ и что $\mathscr {F}$ замкнуто относительно образования дополнений и конечных дизъюнктных объединений. Покажите, что $\mathscr {F}$ не обязано быть алгеброй.

Предположим, что $\mathscr {F}_{n}$ — алгебры, удовлетворяющие $\mathscr {F}_{n} \subset \mathscr {F}_{n+1}$. Покажите, что $\bigcup_{n=1}^{\infty } \mathscr {F}_{n}$ является алгеброй.

Предположим, что $\mathscr {F}_{n}$ — $\sigma$-алгебры, удовлетворяющие $\mathscr {F}_{n} \subset \mathscr {F}_{n+1}$. Покажите на примере, что $\bigcup_{n=1}^{\infty } \mathscr {F}_{n}$ не обязана быть $\sigma$-алгеброй.

Покажите, что $f(\mathscr {A})$ действительно является алгеброй, что $\mathscr {A} \subset f(\mathscr {A})$, и что $f(\mathscr {A})$ минимальна в том смысле, что если $\mathscr {G}$ — алгебра и $\mathscr {A} \subset \mathscr {G}$, то $f(\mathscr {A}) \subset \mathscr {G}$.

Покажите, что для непустого $\mathscr {A}$ класс $f(\mathscr {A})$ состоит из множеств вида $\bigcup_{i=1}^{m} \bigcap_{j=1}^{n_{i}} A_{i j}$, где для каждых $i$ и $j$ либо $A_{i j} \in \mathscr {A}$, либо $A_{i j}^{c} \in \mathscr {A}$, и где $m$ множеств $\bigcap_{j=1}^{n_{i}} A_{i j}, 1 \leq i \leq m$, попарно не пересекаются. Таким образом, множества из $f(\mathscr {A})$ допускают явное представление, что, вообще говоря, неверно для множеств из $\sigma (\mathscr {A})$.

Покажите, что если $\mathscr {A}$ состоит из одноточечных множеств, то $f(\mathscr {A})$ — это алгебра из Примера 2.3.

Покажите, что $f(\mathscr {A}) \subset \sigma (\mathscr {A})$, что $f(\mathscr {A})=\sigma (\mathscr {A})$, если $\mathscr {A}$ конечно, и что $\sigma (f(\mathscr {A}))=\sigma (\mathscr {A})$.

Покажите, что если $\mathscr {A}$ счётно, то $f(\mathscr {A})$ счётно.

Покажите для алгебр $\mathscr {F}_{1}$ и $\mathscr {F}_{2}$, что $f\left(\mathscr {F}_{1} \cup \mathscr {F}_{2}\right)$ состоит из конечных дизъюнктных объединений множеств $A_{1} \cap A_{2}$ с $A_{i} \in \mathscr {F}_{i}$. Обобщите.

Покажите, что если $\sigma (\mathscr {A})$ содержит каждое подмножество $\Omega$, то для каждой пары различных точек $\omega$ и $\omega^{\prime }$ пространства $\Omega$ найдётся такое $A$ из $\mathscr {A}$, что $I_{A}(\omega ) \neq I_{A}\left(\omega^{\prime }\right)$

Покажите, что обратная импликация верна, если $\Omega$ счётно.

Покажите на примере, что обратная импликация не обязана выполняться для несчётного $\Omega$

Покажите, что $\sigma$-алгебра $\mathscr {B}$ борелевских множеств счётно-порождена.

Покажите, что $\sigma$-алгебра из Примера 2.4 счётно-порождена тогда и только тогда, когда $\Omega$ счётно.

Предположим, что $\mathscr {F}_{1}$ и $\mathscr {F}_{2}$ — $\sigma$-алгебры, $\mathscr {F}_{1} \subset \mathscr {F}_{2}$, и $\mathscr {F}_{2}$ счётно-порождена. Покажите на примере, что $\mathscr {F}_{1}$ может не быть счётно-порождённой.

Пусть $\mathscr {F}$ — алгебра, состоящая из конечных и коконечных множеств в бесконечном $\Omega$, и определим $P$ на $\mathscr {F}$, полагая $\mathbb {P}\left(A\right)$ равным 0 или 1 в зависимости от того, конечно ли $A$ или коконечно. (Заметим, что $P$ не определено корректно, если $\Omega$ конечно.) Покажите, что $P$ конечно-аддитивна.

Покажите, что эта $P$ не является счётно-аддитивной, если $\Omega$ счётно-бесконечно.

Покажите, что эта $P$ счётно-аддитивна, если $\Omega$ несчётно.

Теперь пусть $\mathscr {F}$ — $\sigma$-алгебра, состоящая из счётных и косчётных множеств в несчётном $\Omega$, и определим $P$ на $\mathscr {F}$, полагая $\mathbb {P}\left(A\right)$ равным 0 или 1 в зависимости от того, счётно ли $A$ или косчётно. (Заметим, что $P$ не определено корректно, если $\Omega$ счётно.) Покажите, что $P$ счётно-аддитивна.

Предположим, что $P$ — вероятностная мера на алгебре $\mathscr {F}$. Предположим, что $A_{t} \in \mathscr {F}$ при $t>0$, что $A_{s} \subset A_{t}$ при $s<t$, и что $A=\cup_{t>0} A_{t} \in \mathscr {F}$. Обобщите Теорему 2.1(i), показав, что $\mathbb {P}\left(A_{t}\right) \uparrow \mathbb {P}\left(A\right)$ при $t \rightarrow \infty$. Покажите, что $A$ обязательно лежит в $\mathscr {F}$, если $\mathscr {F}$ является $\sigma$-алгеброй.

Аналогичным образом обобщите Теорему 2.1(ii).

Покажите, что $D$ конечно-аддитивна, но не счётно-аддитивна на $\mathscr {D}$.

Покажите, что $\mathscr {D}$ содержит пустое множество и $\Omega$ и замкнут относительно образования дополнений, собственных разностей и конечных дизъюнктных объединений, но не замкнут относительно образования счётных дизъюнктных объединений или конечных объединений, не являющихся дизъюнктными.

Пусть $\mathscr {M}$ состоит из периодических множеств $M_{a}=[k a: k=1,2, \ldots ]$. Заметим, что

Покажите, что алгебра $f(\mathscr {M})$, порождённая $\mathscr {M}$ (см. Задачу 2.5), содержится в $\mathscr {D}$. Покажите, что $D$ полностью определяется на $f(\mathscr {M})$ значениями, которые она придаёт для каждого $a$ событию, что $m$ делится на $a$.

Предположим, что $\sum p^{-1}$ расходится (сумма по всем простым числам; см. Задачу 5.20(e)), и докажите, что $D$, хотя и конечно-аддитивна, не является счётно-аддитивной на алгебре $f(M)$.

Функция Эйлера $\varphi (n)$ — это число положительных целых чисел, меньших $n$ и взаимно простых с ним. Пусть $p_{1}, \ldots , p_{r}$ — различные простые делители $n$; из формулы включений-исключений для событий [ $m: p_{i} \mid m$ ], (2.36) и того факта, что $p_{i}$ делят $n$, выведите

Покажите, что при $0 \leq x \leq 1$ найдётся такое $A$, что $D(A)=x$.

Покажите, что $D$ инвариантна относительно сдвига: если $B=[m+1: m \in A]$, то $B$ обладает плотностью тогда и только тогда, когда ею обладает $A$, и в этом случае $D(A)=D(B)$.

Предполагая существование меры Лебега $\lambda$ на $\mathscr {B}$, докажите, что она неатомическая.

Покажите, что в неатомическом случае из $\mathbb {P}\left(A\right)>0$ и $\epsilon >0$ следует, что существует такое $B$, что $B \subset A$ и $0<\mathbb {P}\left(B\right)<\epsilon$.

Покажите, что в неатомическом случае из $0 \leq x \leq \mathbb {P}\left(A\right)$ следует, что существует такое $B$, что $B \subset A$ и $\mathbb {P}\left(B\right)=x$. Указание: индуктивно определите классы $\mathscr {Z}_{n}$, числа $h_{n}$ и множества $H_{n}$ формулами $\mathscr {H}_{0}=\left\{ \varnothing \right\} =\left\{ H_{0}\right\} , \quad \mathscr {H}_{n}=\left[H: H \subset A-\bigcup_{k<n} H_{k}\right.$, $\left.\mathbb {P}\left(\cup_{k<n} H_{k}\right)+\mathbb {P}\left(H\right) \leq x\right], h_{n}=\sup \left[\mathbb {P}\left(H\right) \cdot H \in \mathscr {U}_{n}\right]$, причём $\mathbb {P}\left(H_{n}\right)>h_{n}-n^{-1}$. Рассмотрите $\bigcup_{k} H_{k}$.

Покажите, что в неатомическом случае, если $p_{1}, p_{2}, \ldots$ неотрицательны и в сумме дают 1, то $A$ можно разложить на множества $B_{1}, B_{2}, \ldots$ такие, что $\mathbb {P}\left(B_{n}\right)=p_{n} \mathbb {P}\left(A\right)$.

Предположим, что $\mathscr {A}=\left\{ A_{1}, A_{2}, \ldots \right\}$ — счётное разбиение $\Omega$. Покажите (см. (2.27)), что $\mathscr {A}_{1}=\mathscr {A}_{0}^{*}=\mathscr {A}^{*}$ совпадает с $\sigma (\mathscr {A})$. Это случай, когда $\sigma (\mathscr {A})$ можно построить «изнутри».

Покажите, что множество нормальных чисел лежит в $\mathscr {I}_{6}$.

Покажите, что $\mathscr {H}^{*}=\mathscr {H}$ тогда и только тогда, когда $\mathscr {\mathscr { H }}$ является $\sigma$-алгеброй. Покажите, что $\mathscr {I}_{n-1}$ строго меньше $\mathscr {A}_{n}$ для всех $n$.