24.2

Инвариантные подпространства. Перестановочные преобразования (24.66-24.114)

[49/53%]
Показать
LaTeX
Задача 24.66

Доказать, что

?
(1)

ядро и

(2)

множество значений линейного преобразования являются инвариантными подпространствами.

Задача 24.67

Доказать, что собственное подпространство линейного преобразования инвариантно.

?
Задача 24.68

Пусть φ\varphi — линейное преобразование линейного пространства L,M\mathcal{L}, \mathcal{M} — подпространство в L\mathcal{L}, инвариантное относи — тельно φ\varphi, и p(t)p(t) — многочлен. Доказать, что данное подпространство в L\mathcal{L} инвариантно относительно φ\varphi:

?
(1)

φ(M)\varphi (\mathcal{M}); \quad

(2)

φ−1(M)\varphi^{ - 1}(\mathcal{M}) (если φ\varphi обратимо)

(3)

φm(M)(m⩾1)\varphi^{m}(\mathcal{M})(m \geqslant 1)

(4)

Ker⁡p(φ)\operatorname {Ker} p(\varphi )

(5)

p(φ)(M)p(\varphi )(\mathcal{M}).

Задача 24.69

Доказать, что

?
(1)

сумма двух (и вообще любого конечного множества) и

(2)

пересечение двух (и вообще любого множества) инвариантных подпространств линейного преобразования — инвариантные подпространства.

Задача 24.70

Пусть φ\varphi — линейное преобразование линейного пространства. Доказать, что любое подпространство, содержащее Im⁡φ\operatorname {Im} \varphi, инвариантно.

?
Задача 24.71

Доказать, что если линейное преобразование φ\varphi невырождено, то φ\varphi и φ−1\varphi^{ - 1} имеют одни и те же инвариантные подпространства.

?
Задача 24.72

Какой вид имеет матрица линейного преобразования nn-мерного линейного пространства, если базис инвариантного подпространства образован:

?
(1)

первыми kk базисными векторами

(2)

последними n−kn - k базисными векторами?

Задача 24.73
?
(1)

Пусть линейное пространство является прямой суммой двух инвариантных подпространств линейного преобразования. Доказать, что тогда в некотором базисе матрица преобразования имеет вид [AOOB]\left[\begin{smallmatrix} A & O \\ O & B\end{smallmatrix}\right], где A,BA, B — квадратные матрицы.

(2)

Сформулировать и доказать обратное утверждение.

Задача 24.74

Доказать, что:

?
(1)

характеристический многочлен линейного преобразования делится на характеристический многочлен его ограничения на инвариантном подпространстве

(2)

если все корни характеристического многочлена линейного преобразования φ\varphi линейного пространства L\mathcal{L} принадлежат полю, над которым определено L\mathcal{L}, то всякое подпространство в L\mathcal{L}, инвариантное относительно φ\varphi, содержит собственный вектор этого преобразования

(3)

если линейное пространство является прямой суммой инвариантных подпространств линейного преобразования φ\varphi, то характеристический многочлен φ\varphi равен произведению характеристических многочленов ограничений φ\varphi на этих инвариантных подпространствах.

Задача 24.75

Найти все подпространства, инвариантные относительно гомотетии линейного пространства.

?
Задача 24.76

Найти подпространства, инвариантные относительно поворота плоскости вокруг начала координат на угол α\alpha.

?
Задача 24.77

Найти подпространства трехмерного геометрического векторного пространства, инвариантные относительно поворота на угол α(α≠0,2π)\alpha (\alpha \neq 0, 2\pi ) вокруг прямой x=ta\mathbf{x} = t\mathbf{a} (a≠0)(\mathbf{a} \neq 0).

?
Задача 24.78

Пусть линейное преобразование nn-мерного линейного пространства имеет nn попарно различных собственных значений. Найти все инвариантные подпространства и подсчитать их количество.

?
Задача 24.79

Пусть φ\varphi — диагонализируемое линейное преобразование nn-мерного линейного пространства L\mathcal{L}. Найти все подпространства в L\mathcal{L}, инвариантные относительно преобразования φ\varphi.

?
Задача 24.80

Найти все подпространства в L\mathcal{L}, инвариантные относительно φ\varphi, если в базисе e1,…,ene_{1}, \ldots , e_{n} линейного пространства L\mathcal{L} линейное преобразование φ\varphi имеет матрицу:

?
(1)

J2(λ)(n=2)J_{2}(\lambda ) \quad (n = 2)

(2)

J3(λ)(n=3)J_{3}(\lambda ) \quad (n = 3)

(3)

Jn(λ)J_{n}(\lambda )

Задача 24.81

Пусть L=L1⊕L2\mathcal{L} = \mathcal{L}_{1} \oplus \mathcal{L}_{2}. Найти инвариантные подпространства данного линейного преобразовакия пространства L\mathcal{L}:

?
(1)

проектирования на L1\mathcal{L}_{1} параллельно L2\mathcal{L}_{2}

(2)

отражения в L1\mathcal{L}_{1} параллельно L2\mathcal{L}_{2}.

Задача 24.82
?
(1)

Показать, что преобразование φ\varphi проектирования линейного пространства обладает свойством: φ2=φ\varphi^{2} = \varphi.

(2)

Доказать, что ненулевое линейное преобразование φ≠ι\varphi \neq \iota, для которого φ2=φ\varphi^{2} = \varphi, есть проектирование на Im⁡φ\operatorname {Im} \varphi параллельно Ker⁡φ\operatorname {Ker} \varphi.

Задача 24.83
?
(1)

Показать, что преобразование φ\varphi отражения линейного пространства в подпространстве обладает свойством φ2=ι\varphi^{2} = \iota.

(2)

Доказать, что линейное преобразование φ\varphi, отличное от ±ι\pm \iota, для которого φ2=ι\varphi^{2} = \iota, есть отражение пространства в подпространстве неподвижных векторов параллельно некоторому дополнительному подпространству.

Задача 24.84

Пусть φ\varphi — линейное преобразование пространства L\mathcal{L}. Доказать, что при любом α\alpha каждое подпространство, содержащее Im⁡(φ+αι)\operatorname {Im}(\varphi + \alpha \iota ), инвариантно относительно φ\varphi.

?
Задача 24.85

Доказать утверждения:

?
(1)

Если линейное преобразование nn-мерного линейного пространства имеет собственный вектор, то для него существует и (n−1)(n - 1)-мерное инвариантное подпространство.

(2)

Пусть AA — матрица линейного преобразования φ\varphi в некотором базисе e,λ\mathbf{e}, \lambda — собственное значение и строка а определена уравнением a(A−λE)=o\mathbf{a}(A - \lambda E) = \mathbf{o}. Тогда уравнение aξ=0\mathbf{a} \xi = 0 в базисе e\mathbf{e} определяет (n−1)(n - 1)-мерное подпространство, инвариантное относительно преобразования φ\varphi. Справедливо ли обратное утверждение?

(3)

Всякое kk-мерное инвариантное подпространство линейного преобразования комплексного пространства содержит (k−1)(k - 1)-мерное инвариантное подпространство.

Задача 24.86

Линейное преобразование φ\varphi арифметического пространства Rn\mathcal{R}_{n} в стандартном базисе e1,…,ene_{1}, \ldots , e_{n} задано матрицей AA. Найти подпространства, инвариантные относительно φ\varphi, если:

?
(1)

A=A36A = \mathbf{A}_{36}. A36=[02−1−3]\mathbf{A}_{36} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 2 \\ -1 & -3 \end{smallmatrix}\right].

(2)

A=A51A = \mathbf{A}_{51}. A51=[−7−281]\mathbf{A}_{51} = \left[\begin{smallmatrix} -7 & -2 \\ 8 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(3)

A=A306A = \mathbf{A}_{306}. A306=[1−2214−215−3]\mathbf{A}_{306} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 1 & 4 & -2 \\ 1 & 5 & -3 \end{smallmatrix}\right].

(4)

A=A287A = \mathbf{A}_{287}. A287=[7−12610−191012−2413]\mathbf{A}_{287} = \left[\begin{smallmatrix} 7 & -12 & 6 \\ 10 & -19 & 10 \\ 12 & -24 & 13 \end{smallmatrix}\right].

(5)

A=A604A = \mathbf{A}_{604}. A604=[00⋯00100⋯01000⋯100⋮⋮\iddots⋮⋮⋮01⋯00010⋯000]\mathbf{A}_{604} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \iddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(6)

A=A621A = \mathbf{A}_{621}, (n=2m)(n = 2m). A621=[100…002010…020…………………020…010200…001]\mathbf{A}_{621} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 2 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 2 & 0 & \ldots & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(7)

A=A625A = \mathbf{A}_{625}. A625=[122…22212…22………………222…12222…21]\mathbf{A}_{625} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 2 & \ldots & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & \ldots & 2 & 2 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 2 & 2 & 2 & \ldots & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & \ldots & 2 & 1 \end{smallmatrix}\right].

Задача 24.87

Найти (n−1)(n - 1)-мерные подпространства в Rn\mathcal{R}_{n}, инвариантные относительно линейного преобразования, заданного своей матрицей AA, если:

?
(1)

A=A241A = \mathbf{A}_{241}. A241=[6−115−554−99]\mathbf{A}_{241} = \left[\begin{smallmatrix} 6 & -1 & 1 \\ 5 & -5 & 5 \\ 4 & -9 & 9 \end{smallmatrix}\right].

(2)

A=A222A = \mathbf{A}_{222}. A222=[111222−3−3−3]\mathbf{A}_{222} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ -3 & -3 & -3 \end{smallmatrix}\right].

(3)

A=A238A = \mathbf{A}_{238}. A238=[−310−10−74−4−2−33]\mathbf{A}_{238} = \left[\begin{smallmatrix} -3 & 10 & -10 \\ -7 & 4 & -4 \\ -2 & -3 & 3 \end{smallmatrix}\right].

(4)

A=A262A = \mathbf{A}_{262}. A262=[−1−22−2−12−3−23]\mathbf{A}_{262} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & -2 & 2 \\ -2 & -1 & 2 \\ -3 & -2 & 3 \end{smallmatrix}\right].

(5)

A=A487A = \mathbf{A}_{487}. A487=[001000013400−1−100]\mathbf{A}_{487} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 3 & 4 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(6)

A=A447A = \mathbf{A}_{447}. A447=[−12011−12001−12201−1]\mathbf{A}_{447} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 & -1 \end{smallmatrix}\right].

(7)

A=A549A = \mathbf{A}_{549}. A549=[02−20−4−204−532−401105−1024−3−1−20]\mathbf{A}_{549} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 2 & -2 & 0 & -4 \\ -2 & 0 & 4 & -5 & 3 \\ 2 & -4 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 5 & -1 & 0 & 2 \\ 4 & -3 & -1 & -2 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(8)

A=A640A = \mathbf{A}_{640}. A640=[n−1100…000−n+1n−320…0000−n+2n−53…000…………………………………0000…−2−n+3n−10000…0−1−n+1]\mathbf{A}_{640} = \left[\begin{smallmatrix} n-1 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ -n+1 & n-3 & 2 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -n+2 & n-5 & 3 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ \ldots \ldots \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & -2 & -n+3 & n-1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & -1 & -n+1 \end{smallmatrix}\right].

Задача 24.88
?
(1)

Пусть λ=α+iβ\lambda = \alpha + i\beta (β≠0)(\beta \neq 0) — характеристическое число вещественной матрицы AA порядка n,l=x+iyn, \mathbf{l} = \mathbf{x} + i\mathbf{y} — собственный вектор линейного преобразования пространства Cn\mathcal{C}_{n} с матрицей AA (x, у — вещественные векторы). Доказать, что x\mathbf{x} и y\mathbf{y} образуют базис двумерного инвариантного подпространства линейного преобразования пространства Rn\mathcal{R}_{n}, заданного матрицей AA.

(2)

Найти двумерные инвариантные подпространства L\mathcal{L} для линейного преобразования пространства R4\mathcal{R}_{4}, заданного в стандартном базисе матрицей A474\mathbf{A}_{474}. A474=[−5−2−3−1422163312−340]\mathbf{A}_{474} = \left[\begin{smallmatrix} -5 & -2 & -3 & -1 \\ 4 & 2 & 2 & 1 \\ 6 & 3 & 3 & 1 \\ 2 & -3 & 4 & 0 \end{smallmatrix}\right].

Задача 24.89

Пусть φ\varphi — линейное преобразование вещественного линейного пространства, λ,λˉ\lambda , \bar{\lambda } — пара его комплексно сопряженных характеристических чисел, p=−(λ+λˉ)p = - (\lambda + \bar{\lambda }) и q=λλˉq = \lambda \bar{\lambda }. Доказать, что квазисобственное подпространство Ker⁡(φ2+pφ+qι)\operatorname {Ker}\left(\varphi^{2} + p\varphi + q\iota \right) — ненулевое и инвариантно относительно φ\varphi.

?
Задача 24.90

Найти квазисобственные подпространства преобразования φ\varphi, заданного матрицей AA:

?
(1)

A=[012−10−2−220]A =\left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 2 \\ - 2 & 2 & 0\end{smallmatrix}\right]

(2)

A=[10−1201−2−1−1210−2101]A =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & - 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 2 & - 1 \\ - 1 & 2 & 1 & 0 \\ - 2 & 1 & 0 & 1\end{smallmatrix}\right]

(3)

A=[012−2−1022−2−20−12−210]A =\left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 2 & - 2 \\ - 1 & 0 & 2 & 2 \\ - 2 & - 2 & 0 & - 1 \\ 2 & - 2 & 1 & 0\end{smallmatrix}\right]

(4)

A423\mathbf{A}_{423}. A423=[1/21/21/21/2−1/21/2−1/21/2−1/2−1/21/21/21/2−1/2−1/21/2]\mathbf{A}_{423} = \left[\begin{smallmatrix} 1/2 & 1/2 & 1/2 & 1/2 \\ -1/2 & 1/2 & -1/2 & 1/2 \\ -1/2 & -1/2 & 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 & -1/2 & 1/2 \end{smallmatrix}\right].

(5)

A474\mathbf{A}_{474}. A474=[−5−2−3−1422163312−340]\mathbf{A}_{474} = \left[\begin{smallmatrix} -5 & -2 & -3 & -1 \\ 4 & 2 & 2 & 1 \\ 6 & 3 & 3 & 1 \\ 2 & -3 & 4 & 0 \end{smallmatrix}\right].

Задача 24.91

Доказать, что квазисобственное подпространство не содержит собственных векторов, и через каждый его вектор проходит двумерное инвариантное подпространство.

?
Задача 24.92

Доказать, что размерность квазисобственного подпространства — четное число.

?
Задача 24.93

Доказать, что квазисобственное подпространство можно разложить в прямую сумму двумерных инвариантных подпространств.

?
Задача 24.94

Доказать, что размерность квазисобственного пространства не превосходит удвоенной кратности соответствующего характеристического числа.

?
Задача 24.95

Доказать, что в двумерном инвариантном подпространстве преобразования φ\varphi, не содержащем собственных векторов, можно выбрать базис так, что матрица ограничения φ\varphi будет иметь вид [αβ−βα]\left[\begin{smallmatrix} \alpha & \beta \\ - \beta & \alpha \end{smallmatrix}\right].

?
Задача 24.96

Доказать, что любое двумерное инвариантное подпространство, не содержащее собственньх векторов, лежит в некотором квазисобственном подпространстве.

?
Задача 24.97

Доказать, что любые два квазисобственные подпространства имеют нулевое пересечение.

?
Задача 24.98

Доказать, что собственные и квазисобственные подпространства линейного преобразования расположены так, что сумма их — прямая сумма.

?
Задача 24.99

Для каждого из преобразований задачи 24. 90:

?
(1)

A=[012−10−2−220]A =\left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 2 \\ - 2 & 2 & 0\end{smallmatrix}\right]

(2)

A=[10−1201−2−1−1210−2101]A =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & - 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 2 & - 1 \\ - 1 & 2 & 1 & 0 \\ - 2 & 1 & 0 & 1\end{smallmatrix}\right]

(3)

A=[012−2−1022−2−20−12−210]A =\left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 2 & - 2 \\ - 1 & 0 & 2 & 2 \\ - 2 & - 2 & 0 & - 1 \\ 2 & - 2 & 1 & 0\end{smallmatrix}\right]

(4)

A423\mathbf{A}_{423}. A423=[1/21/21/21/2−1/21/2−1/21/2−1/2−1/21/21/21/2−1/2−1/21/2]\mathbf{A}_{423} = \left[\begin{smallmatrix} 1/2 & 1/2 & 1/2 & 1/2 \\ -1/2 & 1/2 & -1/2 & 1/2 \\ -1/2 & -1/2 & 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 & -1/2 & 1/2 \end{smallmatrix}\right].

(5)

A474\mathbf{A}_{474}. A474=[−5−2−3−1422163312−340]\mathbf{A}_{474} = \left[\begin{smallmatrix} -5 & -2 & -3 & -1 \\ 4 & 2 & 2 & 1 \\ 6 & 3 & 3 & 1 \\ 2 & -3 & 4 & 0 \end{smallmatrix}\right].

найти матрицу перехода к такому базису, в котором его матрица — клеточно диагональная, и найти матрицу преобразования в этом базисе. (В каждом случае найти хотя бы одно решение.)

Задача 24.100
?
(1)

Пусть линейное преобразование φn\varphi n-мерного линейного пространства L\mathcal{L} обладает цепочкой вложенных друг в друга попарно различных инвариантных подпространств: L1⊂L2⊂…⊂Ln=L\mathcal{L}_{1} \subset \mathcal{L}_{2} \subset \ldots \subset \mathcal{L}_{n} = \mathcal{L}. Доказать, что в L\mathcal{L} существует базис, в котором матрица преобразования φ\varphi верхняя треугольная.

(2)

Пусть в базисе e1,…,ene_{1}, \ldots , e_{n} матрица линейного преобразования φ\varphi пространства L\mathcal{L} верхняя треугольная. Доказать, что подпространства Lk=L{e1,…,ek}(k=1,…,n)\mathcal{L}_{k} = \mathcal{L}\left\{ e_{1}, \ldots , e_{k}\right\} \quad (k = 1, \ldots , n) инвариантны относительно φ\varphi и Lk⊂Lk+1(k=1,…,n−1)\mathcal{L}_{k} \subset \mathcal{L}_{k + 1} \quad (k = 1, \ldots , n - 1).

Задача 24.101

Линейное преобразование пространства R3\mathcal{R}_{3} задано матрицей AA в стандартном базисе. Привести матрицу преобразования к треугольному виду, если:

?
(1)

A=A241A = \mathbf{A}_{241}. A241=[6−115−554−99]\mathbf{A}_{241} = \left[\begin{smallmatrix} 6 & -1 & 1 \\ 5 & -5 & 5 \\ 4 & -9 & 9 \end{smallmatrix}\right].

(2)

A=A222A = \mathbf{A}_{222}. A222=[111222−3−3−3]\mathbf{A}_{222} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ -3 & -3 & -3 \end{smallmatrix}\right].

(3)

A=A283A = \mathbf{A}_{283}. A283=[251−1−30−2−3−2]\mathbf{A}_{283} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 5 & 1 \\ -1 & -3 & 0 \\ -2 & -3 & -2 \end{smallmatrix}\right].

(4)

A=A263A = \mathbf{A}_{263}. A263=[3−313−22−120]\mathbf{A}_{263} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & -3 & 1 \\ 3 & -2 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end{smallmatrix}\right].

Задача 24.102
?
(1)

Пусть L1⊂L2⊂…⊂Lr=L\mathcal{L}_{1} \subset \mathcal{L}_{2} \subset \ldots \subset \mathcal{L}_{r} = \mathcal{L} — цепочка подпространств линейного пространства L\mathcal{L}, инвариантных относительно линейного преобразования φ,dim⁡Li=ni(n1<n2<……<nr=n)\varphi , \operatorname {dim} \mathcal{L}_{i} = n_{i}\left(n_{1} < n_{2} < \ldots \ldots < n_{r} = n\right). Допустим, что базис e1,…,ene_{1}, \ldots , e_{n} выбран так, что векторы e1,…,enie_{1}, \ldots , e_{n_{i}} принадлежат Li(i=1,…,r)\mathcal{L}_{i}(i = 1, \ldots , r). Показать, что матрица AφA_{\varphi } — верхняя блочно треугольная с диагональными блоками размеров ki×kik_{i} \times k_{i}, где ki=ni−ni−1(i=2,…,r)k_{i} = n_{i} - n_{i - 1}(i = 2, \ldots , r), k1=n1k_{1} = n_{1}.

(2)

Пусть в некотором базисе матрица линейного преобразования — верхняя блочно треугольная. Доказать, что преобразование обладает цепочкой инвариантных подпространств. Выразить их размерности через порядки диагональных блоков.

Задача 24.103

Пусть L\mathcal{L} — линейное пространство бесконечно дифференцируемых функций f(t)(t∈R),nf(t) \quad (t\in \mathbb {R}), n — целое неотрицательное число, λ\lambda — фиксированное действительное число. Доказать, что данное множество функций образует подпространство в L\mathcal{L}, инвариантное относительно дифференцирования DD:

?
(1)

множество всех многочленов

(2)

множество всех многочленов степени не выше nn

(3)

множество всех тригонометрических многочленов порядка не выше nn

(4)

множество всех линейных комбинаций функций eλ1t,……,eλnte^{\lambda_{1} t}, \ldots \ldots , e^{\lambda_{n} t}

(5)

множество всех функций f(t)=eλtp(t)f(t) = e^{\lambda t} p(t), где p(t)p(t) — произвольный многочлен

(6)

множество всех функций f(t)=eλtT(t)f(t) = e^{\lambda t} T(t), где T(t)T(t) — произвольный тригонометрический многочлен

(7)

множество всех функций p(t)cos⁡t,p(t)sin⁡tp(t) \cos t, p(t) \sin t, где p(t)p(t) — произвольный многочлен.

Задача 24.104

Пусть L\mathcal{L} — линейное пространство функций задачи 24.103, φ=D2\varphi = D^{2}. Доказать, что данное множество функций является подпространством в L\mathcal{L}, инвариантным относительно преобразования φ\varphi. Найти собственные значения и собственные векторы ограничения преобразования на этом подпространстве:

?
(1)

множество всех четных многочленов степени не выше 2n2n

(2)

множество всех нечетных многочленов степени не выше 2n+12n + 1

(3)

множество всех четных тригонометрических многочленов a0+a1cos⁡t+…+ancos⁡nta_{0} + a_{1} \cos t + \ldots + a_{n} \cos nt

(4)

множество всех нечетных тригонометрических многочленов b1sin⁡t+…+bnsin⁡ntb_{1} \sin t + \ldots + b_{n} \sin nt.

Задача 24.105

Найти все подшространства линейного пространства всех многочленов, инвариантные относительно дифференцирования.

?
Задача 24.106

Показать, что линейное преобразование пространства всех многочленов, состоящее в умножении многочленов на tt, не имеет ни собственных векторов, ни инвариантных подпространств (кроме нулевого подпространства и всего пространства).

?
Задача 24.107

Найти подпространства, инвариантные относительно операции взятия остатка (см. задачу 24. 51) в пространстве всех многочленов.

?
Задача 24.108

Пусть φ\varphi — линейное преобразование пространства многочленов p(x,y)p(x, y), определенное в задаче 24. 61. Доказать, что подпространства однородных многочленов степени n(n=0,1,…)n\quad (n = 0, 1, \ldots ) инвариантны относительно преобразования φ\varphi.

?
Задача 24.109

Найти подпространства линейного пространства матриц порядка nn, инвариантные относительно транспонирования.

?
Задача 24.110

В пространстве Rn×n\mathcal{R}_{n \times n} рассматривается преобразование φ(X)=AX\varphi (X) = AX, где AA — фиксированная матрица. Доказать, что Rn×n\mathcal{R}_{n \times n} является прямой суммой nn подпространств, инвариантных относительно φ\varphi.

?
Задача 24.111

В пространстве Rn×n\mathcal{R}_{n \times n} рассматривается преобразование φ(X)=AX−XA\varphi (X) = AX - XA, где AA — фиксированная матрица. До — казать, что данное множество образует инвариантное относительно φ\varphi подпространство:

?
(1)

множество всех матриц с нулевым следом

(2)

множество всех верхних треугольных матриц (если матрица AA верхняя треугольная)

(3)

множество всех кососимметрических матриц (если матрица AA кососимметрическая)

(4)

множество всех диагональных матриц (если матрица AA диагональная).

Задача 24.112

Линейное преобразование φ\varphi пространства Rn×n\mathcal{R}_{n \times n} вещественных матриц порядка nn определено формулой φ(X)=ATX+XA\varphi (X) = A^{T} X + XA, где AA — фиксированная матрица.

?
(1)

Доказать, что кососимметрические матрицы образуют подпространство в Rn×n\mathcal{R}_{n \times n}, инвариантное относительно преобразования φ\varphi

(2)

выразить характеристические числа ограничения φ\varphi на этом подпространстве через характеристические числа матрицы AA.

Задача 24.113

Линейное преобразование пространства матриц порядка nn определено формулой φ(X)=A−1XA\varphi (X) = A^{ - 1} XA, где AA — невырожденная матрица. Доказать, что данное множество матриц является подпространством, инвариантным относительно преобразования φ\varphi:

?
(1)

множество всех матриц с нулевым следом

(2)

множество всех скалярных матриц

(3)

множество всех верхних треугольных матриц (если матрица AA верхняя треугольная)

(4)

(1) множество всех симметрических матриц;

(2) множество всех кососимметрических матриц (если матрица AA ортогональная).

(5)

(1) множество всех эрмитовых матриц;

(2) множество всех косоэрмитовых матриц (если AA — унитарная матрица и если эти множества — подпространства 2n22n^{2}-мерного вещественного пространства комплексных матриц порядка nn).

Задача 24.114

Линейное преобразование φ\varphi комплексного пространства матриц второго порядка задано формулой φ(X)=A−1XA\varphi (X) = A^{ - 1} XA, где A=A77,αA = \mathbf{A}_{77}, \alpha — вещественное число. Найти собственные значения и собственные векторы ограничения преобразования φ\varphi на подпространстве:. A77=[cos⁡α−sin⁡αsin⁡αcos⁡α]\mathbf{A}_{77} = \left[\begin{smallmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{smallmatrix}\right].

?
(1)

симметрических матриц

(2)

матриц с нулевым следом.