23.3

Операции с линейными отображениями и преобразованиями (23.78-23.104)

[27/44%]
Показать
LaTeX
Задача 23.78

Даны линейные отображения φ:Rn→Rm,ψ\varphi : \mathcal{R}_{n} \rightarrow \mathcal{R}_{m}, \psi: Rl→Rk\mathcal{R}_{l} \rightarrow \mathcal{R}_{k}

?
(1)

Указать условия на m,n,k,lm, n, k, l, необходимые и достаточные для существования произведений φψ\varphi \psi и ψφ\psi \varphi.

(2)

Пусть χ=φψ\chi = \varphi \psi. Показать, что χ\chi — линейное отображение. Как связаны матрицы отображений φ,ψ,χ\varphi , \psi , \chi?

Задача 23.79

Пусть φ,ψ,χ\varphi , \psi , \chi — линейные отображения арифметических линейных пространств, α\alpha — число. При каких условиях на размерности пространств справедливо каждое из следующих равенств:

?
(1)

φ(ψχ)=(φψ)χ\varphi (\psi \chi ) = (\varphi \psi ) \chi

(2)

φ(ψ+χ)=φψ+φχ\varphi (\psi + \chi ) = \varphi \psi + \varphi \chi

(3)

(φ+ψ)χ=φχ+ψχ(\varphi + \psi ) \chi = \varphi \chi + \psi \chi

(4)

α(φ+ψ)=αφ+αψ\alpha (\varphi + \psi ) = \alpha \varphi + \alpha \psi?

Показать, что матрицы данных отображений удовлетворяют тем же равенствам.

Задача 23.80

Доказать, что всякое линейное отображение представимо в виде произведения сюръективного и инъективного линейных отображений.

?
Задача 23.81

Пусть L=L′⊕L′′\mathcal{L} = \mathcal{L}^{\prime } \oplus \mathcal{L}^{\prime \prime }, где L′,L′′\mathcal{L}^{\prime }, \mathcal{L}^{\prime \prime } — ненулевые подпространства линейного пространства L\mathcal{L}. Показать, что тождественное преобразование представляется в виде суммы ι=π1+π2\iota = \pi_{1} + \pi_{2}, где π1(π2)\pi_{1}\left(\pi_{2}\right) — проектирование пространства L\mathcal{L} на подпространство L′(L′′)\mathcal{L}^{\prime }\left(\mathcal{L}^{\prime \prime }\right) параллельно подпространству L′′(L′)\mathcal{L}^{\prime \prime }\left(\mathcal{L}^{\prime }\right).

?
Задача 23.82

Координатные столбцы векторов a1,a2,a3;b1,b2a_{1}, a_{2}, a_{3}; b_{1}, b_{2}, b3;c1,c2,c3b_{3}; c_{1}, c_{2}, c_{3} образуют соответственно матрицы A289,A229,A285\mathbf{A}_{289}, \mathbf{A}_{229}, \mathbf{A}_{285}. Линейное преобразование φ\varphi переводит векторы a1,a2,a3a_{1}, a_{2}, a_{3} в b1,b2,b3b_{1}, b_{2}, b_{3}, а линейное преобразование ψ\psi переводит b1,b2,b3b_{1}, b_{2}, b_{3} в c1,c2,c3c_{1}, c_{2}, c_{3} соответственно. Найти матрицу преобразования ψφ\psi \varphi:. A289=[−212−102−203],A229=[2−1002−1−1−11],A285=[2−10−12−10−11]\mathbf{A}_{289} = \left[\begin{smallmatrix} -2 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 2 \\ -2 & 0 & 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{229} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{285} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

?
(1)

в исходном базисе

(2)

в базисе a1,a2,a3a_{1}, a_{2}, a_{3}

(3)

в базисе b1,b2,b3b_{1}, b_{2}, b_{3}.

Задача 23.83

Пусть φ,ψ\varphi , \psi — линейные преобразования двумерного арифметического пространства, φ\varphi имеет матрицу A44\mathbf{A}_{44} в стандартном базисе, а ψ\psi — матрицу A107\mathbf{A}_{107} в базисе из столбцов матрицы A45\mathbf{A}_{45}. Вычислить матрицу преобразования:. A44=[5−141],A107=[−201−2],A45=[1−13−2]\mathbf{A}_{44} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & -1 \\ 4 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{107} = \left[\begin{smallmatrix} -2 & 0 \\ 1 & -2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{45} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -2 \end{smallmatrix}\right].

?
(1)

φ2−6φ+9ι\varphi^{2} - 6\varphi + 9\iota;

(2)

ψ2+4ψ+4ι\psi^{2} + 4\psi + 4\iota

(3)

φ2−ψ2\varphi^{2} - \psi^{2} в стандартном базисе

(4)

4φψ−14\varphi \psi^{ - 1} в базисе из столбцов матрицы A45\mathbf{A}_{45}. A45=[1−13−2]\mathbf{A}_{45} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -2 \end{smallmatrix}\right].

(5)

(φ+ψ)4(\varphi + \psi )^{4} в базисе, образованном столбцами [12]\left[\begin{smallmatrix} 1\\ 2\end{smallmatrix}\right], [0−1]\left[\begin{smallmatrix} 0\\ - 1\end{smallmatrix}\right]

Задача 23.84

Пусть P(n)\mathcal{P}^{(n)} — пространство многочленов степени не выше nn (n⩾1)(n \geqslant 1) с вещественными коэффициентами. Отображения

φ:P(n−1)→P(n),ψ:P(n)→P(n−1) \varphi : \mathcal{P}^{(n - 1)} \rightarrow \mathcal{P}^{(n)}, \quad \psi : \mathcal{P}^{(n)} \rightarrow \mathcal{P}^{(n - 1)}

определим формулами

φ(a0+a1t+…+an−1tn−1)=a0t+a1t2+…+an−1tn,ψ(a0+a1t+…+antn)=a1+…+antn−1, \begin{align} \varphi (a_0 + a_1t + \ldots + a_{n-1}t^{n-1}) & = a_0t + a_1 t^2 + \ldots + a_{n-1}t^{n}, \psi (a_0 + a_1t + \ldots + a_{n}t^{n}) & = a_1 + \ldots + a_{n}t^{n-1}, \end{align}

Проверить линейность отображений и показать, что ψφ\psi \varphi — тождественное преобразование, а φψ\varphi \psi — нет.

?
Задача 23.85

Пусть L\mathcal{L} — линейное пространство функций с базисом ee, DD — дифференцирование. Найти матрицу преобразования Dk(k=1,2,…)D^{k}(k = 1, 2, \ldots ), если:

?
(1)

L\mathcal{L} — пространство многочленов степени не выше nn, e=(1,t,…,tn/n!)\mathbf{e} = \left(1, t, \ldots , t^{n} / n!\right)

(2)

L\mathcal{L} — пространство тригонометрических многочленов порядка не выше nn (см. задачу 23. 43),e=(1,cos⁡t,sin⁡t,…,cos⁡nt), \mathbf{e} = (1, \cos t, \sin t, \ldots , \cos nt, sin⁡nt)\sin nt).

Задача 23.86

В пространстве всех многочленов от tt рассматриваются линейные преобразования: τ\tau — умножение на tt и дифференцирование D=ddtD = \frac{d}{dt}. Найти преобразование:

?
(1)

τD\tau D

(2)

DτD\tau

(3)

коммутатор [D,τ]=Dτ−τD\left[D, \tau \right] = D\tau - \tau D.

(4)

Доказать равенство Dmτ−τDm=mDm−1(m=1,2,…;D0=ι)\quad D^{m} \tau - \tau D^{m} = mD^{m - 1} \quad (m = 1, 2, \ldots ; \quad D^{0} = \iota ).

Задача 23.87

Доказать, что коммутатор [φ,ψ]=φψ−ψφ\left[\varphi , \psi \right] = \varphi \psi - \psi \varphi двух линейных преобразований конечномерного линейного пространства не может быть тождественным преобразованием (ср. задачу 15. 130).

?
Задача 23.88

Доказать, что матрицы подобных линейных преобразований подобны.

?
Задача 23.89

Доказать, что отношение подобия между линейными преобразованиями является отношением эквивалентности (т. е. φ∼φ\varphi \sim \varphi; из φ∼ψ\varphi \sim \psi следует ψ∼φ\psi \sim \varphi; из φ∼ψ\varphi \sim \psi и ψ∼χ\psi \sim \chi следует φ∼χ)\varphi \sim \chi ).

?
Задача 23.90

Пусть φ,ψ\varphi , \psi — линейные преобразования линейного пространства L\mathcal{L}. Доказать, что:

?
(1)

если ψ\psi подобно φ\varphi, то для любого базиса ee пространства L\mathcal{L} существует такой базис e′\mathbf{e}^{\prime }, что матрица преобразования ψ\psi в базисе e′\mathbf{e}^{\prime } совпадает с матрицей φ\varphi в базисе e;\mathbf{e;}

(2)

если для преобразований φ\varphi и ψ\psi в L\mathcal{L} существуют такие базисы ee и e′\mathbf{e}^{\prime }, что матрица преобразования φ\varphi в базисе ee совпадает с матрицей преобразования ψ\psi в базисе e′\mathbf{e}^{\prime }, то φ\varphi и ψ\psi подобны.

Задача 23.91

Пусть линейные преобразования φ\varphi и ψ\psi подобны. Показать, что подобны также преобразования:

?
(1)

p(φ)=a0ι+a1φ+…+anφnp(\varphi ) = a_{0} \iota + a_{1} \varphi + \ldots + a_{n} \varphi^{n} и p(ψ)p(\psi ), где p(t)=a0+a1t+…+antnp(t) = a_{0} + a_{1} t + \ldots + a_{n} t^{n} — произвольный многочлен

(2)

φ−1\varphi^{ - 1} и ψ−1\psi^{ - 1}, если φ\varphi и ψ\psi обратимы.

Задача 23.92

Пусть φ\varphi и ψ\psi — линейные преобразования некоторого линейного пространства, хотя бы одно из которых невырождено.

?
(1)

Доказать, что преобразования φψ\varphi \psi и ψφ\psi \varphi подобны.

(2)

Сформулировать и доказать матричный вариант этого утверждения.

Задача 23.93

Доказать, что линейное отображение ранга rr представимо в виде суммы rr линейных отображений ранга 1, но не представимо в виде суммы меньшего числа таких отображений (ср. задачу 16. 33).

?
Задача 23.94

Пусть φ,ψ\varphi , \psi — линейные отображения пространства L\mathcal{L} в L~\widetilde{\mathcal{L}}. Доказать, что rg⁡(φ+ψ)⩽rg⁡φ+rg⁡ψ(\operatorname {rg}(\varphi + \psi ) \leqslant \operatorname {rg} \varphi + \operatorname {rg} \psi ( cp. задачу 16.34,6)16. 34, 6)).

?
Задача 23.95

Пусть φ:L→M,ψ:M→N\varphi : \mathcal{L} \rightarrow \mathcal{M}, \psi : \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{N} — линейные отображения, dim⁡M=m\operatorname {dim} \mathcal{M} = m. Доказать:

?
(1)

rg⁡φ+rg⁡ψ−m⩽rg⁡(ψφ)⩽min⁡(rg⁡φ,rg⁡ψ\operatorname {rg} \varphi + \operatorname {rg} \psi - m\leqslant \operatorname {rg}(\psi \varphi ) \leqslant \min (\operatorname {rg} \varphi , \operatorname {rg} \psi) (неравенства Сильвестра)

(2)

dim⁡Ker⁡(ψφ)⩾dim⁡Ker⁡φ+dim⁡Ker⁡ψ\operatorname {dim} \operatorname {Ker}(\psi \varphi ) \geqslant \operatorname {dim} \operatorname {Ker} \varphi + \operatorname {dim} \operatorname {Ker} \psi

(3)

если ψφ=θ\psi \varphi = \theta, то rg⁡φ+rg⁡ψ⩽m\operatorname {rg} \varphi + \operatorname {rg} \psi \leqslant m (напомним, что через θ\theta обозначено нулевое отображение).

Задача 23.96

Пусть φ:L→L\varphi : \mathcal{L} \rightarrow \mathcal{L} — линейное преобразование. Доказать, что для любого kk, удовлетворяющего условию rg⁡φ⩽k⩽n=dim⁡L\operatorname {rg} \varphi \leqslant k \leqslant n = \operatorname {dim} \mathcal{L}, существует линейное преобразование ψ\psi такое, что ψφ=θ\psi \varphi = \theta и rg⁡φ+rg⁡ψ=k\operatorname {rg} \varphi + \operatorname {rg} \psi = k.

?
Задача 23.97

Доказать, что для любых двух перестановочных линейных преобразований φ\varphi и ψ\psi имеет место включение Ker⁡φ+Ker⁡ψ⊆Ker⁡(φψ)\operatorname {Ker} \varphi + \operatorname {Ker} \psi \subseteq \operatorname {Ker}(\varphi \psi ).

?
Задача 23.98

Пусть φ\varphi — линейное преобразование nn-мерного линейного пространства и φ2=ι\varphi^{2} = \iota. Доказать, что:

?
(1)

rg⁡(φ+ι)+rg⁡(φ−ι)=n\operatorname {rg}(\varphi + \iota ) + \operatorname {rg}(\varphi - \iota ) = n

(2)

dim⁡Ker⁡(φ+ι)+dim⁡Ker⁡(φ−ι)=n\operatorname {dim} \operatorname {Ker}(\varphi + \iota ) + \operatorname {dim} \operatorname {Ker}(\varphi - \iota ) = n.

Задача 23.99

Пусть φ,ψ,χ\varphi , \psi , \chi — такие линейные отображения, что произведение φψχ\varphi \psi \chi существует. Доказать, что

rg⁡(φψ)+rg⁡(ψχ)⩽rg⁡ψ+rg⁡(φψχ). \operatorname {rg}(\varphi \psi ) + \operatorname {rg}(\psi \chi ) \leqslant \operatorname {rg} \psi + \operatorname {rg}(\varphi \psi \chi ).
?
Задача 23.100

Пусть P,Q\mathcal{P}, \mathcal{Q} — вещественные линейные пространства и L(P,Q)L(\mathcal{P}, \mathcal{Q}) — множество всех линейных отображений φ:P→Q\varphi : \mathcal{P} \rightarrow \mathcal{Q}.

?
(1)

Доказать, что L(P,Q)L(\mathcal{P}, \mathcal{Q}) — линейное пространство относительно операций сложения линейных отображений и умножения отображения на число.

(2)

Пусть dim⁡P=n,dim⁡Q=m\operatorname {dim} \mathcal{P} = n, \operatorname {dim} \mathcal{Q} = m. Построить базис пространства L(P,Q)L(\mathcal{P}, \mathcal{Q}) и найти его размерность.

(3)

Показать, что в условиях п. 2) пространство L(P,Q)L(\mathcal{P}, \mathcal{Q}) изоморфно пространству Rm×n\mathcal{R}_{m \times n} вещественных матриц размеров m×nm \times n.

Задача 23.101

Выяснить, образует ли данное множество линейных отображений линейное подпространство в L(P,Q)L(\mathcal{P}, \mathcal{Q}) (см. задачу 23. 100):

?
(1)

множество всех отображений ранга k⩾1k \geqslant 1

(2)

множество всех отображений ранга, не превосходящего k⩾1k \geqslant 1

(3)

множество всех отображений, ядра которых содержат некоторое фиксированное подпространство из P\mathcal{P}

(4)

множество всех инъективных отображений

(5)

множество всех сюръективных отображений

(6)

множество всех отображений, множества значений которых содержатся в фиксированном подпространстве из Q\mathcal{Q}.

Задача 23.102

Пусть в линейном пространстве L\mathcal{L} задан базис е. Доказать, что данное множество линейных преобразований пространства L\mathcal{L} является группой относительно операции умножения преобразований:

?
(1)

множество всех невырожденных преобразований

(2)

множество всех преобразований с определителем, равным 1

(3)

множество всех невырожденных преобразований, матрицы которых в базисе ee верхние треугольные

(4)

множество всех невырожденных преобразований, заданных в базисе ee диагональными матрицами

(5)

множество всех гомотетий λι\lambda \iota, где число λ\lambda отлично от 0

(6)

множество всех преобразований, имеющих в базисе ee матрицы перестановок.

Задача 23.103

В линейном пространстве L\mathcal{L} дан базис е. Является ли группой относительно умножения данное множество линейных преобразований пространства L\mathcal{L}:

?
(1)

множество всех линейных преобразований

(2)

множество всех преобразований, матрицы которых диагональны в базисе е

(3)

множество всех невырожденных преобразований, которые в базисе ee задаются целочисленными матрицами, т. е. матрицами ∥aij∥\left\| a_{ij}\right\|, где aija_{ij} — целые числа

(4)

множество всех преобразований, матрицы которых в базисе ee целочисленны и имеют определители, равные 1 или - 1

(5)

множество всех преобразований с данным определителем dd

(6)

множество всех невырожденных преобразований, имеюццих в базисе ee матрицы, каждая строка и каждый столбец которых содержат ровно по одному ненулевому элементу?

Задача 23.104

В технике используется уголковый отражатель. Он представляет собой трехгранный угол, грани которого — взаимно перпендикулярные зеркала. Доказать, что луч света, выпущенный из точки внутри этого трехгранного угла, отразившись от всех его граней, сменит свое направление на противоположное.

?