Банк задач по математике

Задача 23.1

Пусть $\mathbf{x} = \left(x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}\right)^{T}$ — произвольный вектор $n$ -мерного арифметического пространства. Исследовать линейность преобразования $\varphi$ , если:

?

(1)

$\varphi (\mathbf{x}) = \left(x_{2}, x_{1} - x_{2}\right)^{T} \quad (n = 2)$

(2)

$\varphi (\mathbf{x}) = \left(x_{2}, x_{1} x_{2}\right)^{T} \quad (n = 2)$

(3)

$\varphi (\mathbf{x}) = \left(x_{2}, x_{1} - 3, x_{3}\right)^{T} \quad (n = 3)$

(4)

$\varphi (\mathbf{x}) = \left(2x_{3} + x_{1}, 2x_{3} x_{1}, x_{1} - x_{2}\right)^{T} \quad (n = 3)$

(5)

$\varphi (\mathbf{x}) = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ \ldots \\ 0 \end{smallmatrix}\right]$

(6)

$\varphi (\mathbf{x}) = \left(0, x_{1} + 3x_{2}, x_{2}^{2}\right)^{T} \quad (n = 3)$

(7)

$\varphi (\mathbf{x}) = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ \ldots \\ 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]$

(8)

$\varphi (\mathbf{x}) = \left(\sin x_{1}, \cos x_{2}, x_{3}\right)^{T} \quad (n = 3)$

(9)

$\varphi (\mathbf{x}) = \left(x_{n}, x_{n - 1}, \ldots , x_{1}\right)^{T}$

(10)

$\varphi (\mathbf{x}) = \left(2x_{1}, 2\left|x_{2}\right|, 2x_{3}\right)^{T} \quad (n = 3)$ .

Задача 23.2

(1)(2)(3)

Доказать линейность преобразования $\varphi$ пространства $\mathcal{L}$ , выяснить, является ли $\varphi$ инъективным, сюръективным или биективным, указать его матрицу в произвольном базисе пространства $\mathcal{L}$ , если $\varphi$ есть:

?

(1)

нулевое отображение

(2)

тождественное преобразование

(3)

гомотетия.

Задача 23.3

Пусть $\varphi$ — линейное отображение пространства $\mathcal{L}$ в $\tilde{\mathcal{L}}$ . Доказать, что:

?

(1)

$\varphi (o) = o$

(2)

ядро $\varphi$ есть линейное подпространство в $\mathcal{L}$

(3)

образ $\varphi (\mathcal{M})$ линейного подпространства $\mathcal{M} \subseteq \mathcal{L}$ есть подпространство в $\tilde{\mathcal{L}}$ , причем $\operatorname {dim} \varphi (\mathcal{M}) \leqslant \operatorname {dim} \mathcal{M}$

(4)

$\varphi$ инъективно тогда и только тогда, когда $\operatorname {Ker} \varphi = \left\{ o\right\}$

(5)

$\operatorname {dim} \operatorname {Ker} \varphi + \operatorname {dim} \operatorname {Im} \varphi = \operatorname {dim} \mathcal{L}$ .

Задача 23.4

Пусть $\mathcal{M}$ — подпространство линейного пространства $\mathcal{L}$ . Доказать, что естественное вложение $\mathcal{M} \rightarrow \mathcal{L}$ — инъективное линейное отображение. Может ли оно быть изоморфизмом?

?

Задача 23.5

Пусть $\mathcal{M}$ — подпространство линейного пространства $\mathcal{L}$ . Отображение $\varphi : \mathcal{L} \rightarrow \mathcal{M}$ определено правилами: $\varphi (x) = x$ при $x\in \mathcal{M}, \varphi (x) = o$ при $x\notin \mathcal{M}$ . Линейно ли отображение $\varphi$ ?

?

Задача 23.6

Пусть $\mathbf{x}$ — произвольный вектор, $\mathbf{a}, \mathbf{n}$ — фиксированные ненулевые векторы геометрического векторного пространства (двумерного или трехмерного). Проверить линейность преобразования $\varphi$ , заданного следующей формулой, и выяснить его геометрический смысл, если:

?

(1)

$\varphi (\mathbf{x}) = (\mathbf{x}, \mathbf{a}) \frac{\mathbf{a}}{\left|\mathbf{a}\right|^{2}}$

(2)

$\varphi (\mathbf{x}) = \frac{(\mathbf{x}, \mathbf{n})}{(\mathbf{a}, \mathbf{n})} \mathbf{a} \quad ((\mathbf{a}, \mathbf{n}) \neq 0)$

(3)

$\varphi (\mathbf{x}) = \mathbf{x} - (\mathbf{x}, \mathbf{n}) \frac{\mathbf{n}}{\left|\mathbf{n}\right|^{2}}$

(4)

$\varphi (\mathbf{x}) = \mathbf{x} - \frac{(\mathbf{x}, \mathbf{n})}{(\mathbf{a}, \mathbf{n})} \mathbf{a} \quad ((\mathbf{a}, \mathbf{n}) \neq 0)$

(5)

$\varphi (\mathbf{x}) = \mathbf{x} - 2(\mathbf{x}, \mathbf{n}) \frac{\mathbf{n}}{\left|\mathbf{n}\right|^{2}}$ ;

(6)

$\varphi (\mathbf{x}) = 2(\mathbf{a}, \mathbf{x}) \frac{\mathbf{a}}{\left|\mathbf{a}\right|^{2}} - \mathbf{x}$ .

Задача 23.7

(1)(2)

Проверить линейность и выяснить геометрический смысл преобразования $\varphi$ трехмерного геометрического векторного пространства, заданного формулой $(\mathbf{a}, \mathbf{u}, \mathbf{v}$ — фиксированные векторы):

?

(1)

$\varphi (\mathbf{x}) = \left[\mathbf{x}, \mathbf{a}\right] \quad (\left|\mathbf{a}\right| = 1)$

(2)

$\varphi (\mathbf{x}) = \mathbf{u}(\mathbf{x}, \mathbf{v}) - \mathbf{v}(\mathbf{x}, \mathbf{u}) \quad (\left[\mathbf{u}, \mathbf{v}\right] \neq 0)$ .

Задача 23.8

Пусть $\mathbf{a}$ и $\mathbf{n}$ — ненулевые векторы трехмерного геометрического векторного пространства, причем $(\mathbf{a}, \mathbf{n}) \neq 0, \mathcal{L}_{1}$ — прямая с направляющим вектором $\mathbf{a}$ , а $\mathcal{L}_{2}$ — плоскость с нормальным вектором $\mathbf{n}$ . Записать формулой преобразование $\varphi$ , проверить его линейность, найти ядро, множество значений и ранг, если $\varphi$ есть:

?

(1)

ортогональное проектирование на $\mathcal{L}_{2}$

(2)

ортогональное проектирование на $\mathcal{L}_{1}$

(3)

проектирование на $\mathcal{L}_{2}$ параллельно вектору $\mathbf{a}$

(4)

проектирование на $\mathcal{L}_{1}$ параллельно $\mathcal{L}_{2}$

(5)

ортогональное отражение относительно $\mathcal{L}_{2}$

(6)

ортогональное отражение относительно $\mathcal{L}_{1}$

(7)

отражение в $\mathcal{L}_{2}$ параллельно вектору $\mathbf{a}$

(8)

отражение в $\mathcal{L}_{1}$ параллельно $\mathcal{L}_{2}$ .

Задача 23.9

(1)(2)(3)(4)

Вычислить матрицу ортогонального проектирования пространства $\mathcal{E}_{3}$ на подпространство $\mathcal{L}$ , если $\mathcal{L}$ есть:

?

(1)

прямая $x = z = 0$

(2)

прямая $x = y = z$

(3)

плоскость $x + y + z = 0$

(4)

плоскость, натянутая на векторы $\mathbf{a}(- 1, 1, - 1)$ и $\mathbf{b}(1, - 3, 2)$ .

В данной задаче линейные подпространства трехмерного геометрического векторного пространства $\mathcal{E}_{3}$ заданы своими уравнениями в некотором ортонормированном базисе.

Задача 23.10

(1)(2)(3)(4)

Вычислить матрицу проектирования пространства $\mathcal{E}_{3}$ на подпространство $\mathcal{L}$ параллельно подпространству $\mathcal{M}$ , если:

?

(1)

$\mathcal{L}$ определено уравнением $x = 0$ , $\mathcal{M}$ — уравнениями $2x = 2y = - z$

(2)

$\mathcal{L}$ имеет уравнение $x = y$ , $\mathcal{M}$ определяется системой уравнений $x + y + z = 0, 2x + y + 4z = 0$

(3)

$\mathcal{L}$ определено уравнениями $- 20x = 15y = 12z$ , $\mathcal{M}$ — уравнением $2x + 3y - z = 0$

(4)

$\mathcal{L}$ определено системой уравнений $x - y + z = 0, 2x - 3y + 4z = 0$ , $\mathcal{M}$ — уравнением $2x + 3y - 4z = 0$ .

В данной задаче линейные подпространства трехмерного геометрического векторного пространства $\mathcal{E}_{3}$ заданы своими уравнениями в некотором ортонормированном базисе.

Задача 23.11

Преобразования пространства $\mathcal{E}_{3}$ из задач 23.9 (пункты 1-4, ортогональное проектирование) и 23.10 (пункты 5-8, проектирование параллельно $\mathcal{M}$ ) рассматриваются как линейные отображения пространства $\mathcal{E}_{3}$ на подпространство $\mathcal{L}$ . Вычислить матрицу каждого из этих отображений в какой — либо паре базисов.

?

(1)

$\mathcal{L}$ — это прямая $x = z = 0$

(2)

$\mathcal{L}$ — прямая $x = y = z$

(3)

$\mathcal{L}$ — плоскость $x + y + z = 0$

(4)

$\mathcal{L}$ — плоскость, натянутая на векторы $\mathbf{a}(- 1, 1, - 1)$ и $\mathbf{b}(1, - 3, 2)$

(5)

$\mathcal{L}$ определено уравнением $x = 0$ , $\mathcal{M}$ — уравнениями $2x = 2y = - z$

(6)

$\mathcal{L}$ имеет уравнение $x = y$ , $\mathcal{M}$ определяется системой уравнений $x + y + z = 0, 2x + y + 4z = 0$

(7)

$\mathcal{L}$ определено уравнениями $- 20x = 15y = 12z$ , $\mathcal{M}$ — уравнением $2x + 3y - z = 0$

(8)

$\mathcal{L}$ определено системой уравнений $x - y + z = 0, 2x - 3y + 4z = 0$ , $\mathcal{M}$ — уравнением $2x + 3y - 4z = 0$ .

В данной задаче линейные подпространства трехмерного геометрического векторного пространства $\mathcal{E}_{3}$ заданы своими уравнениями в некотором ортонормированном базисе.

Задача 23.12

(1)(2)(3)

Найти матрицу линейного преобразования $\varphi$ , если $\varphi$ — ортогональное отражение пространства $\mathcal{E}_{3}$ :

?

(1)

относительно плоскости $x = 0$

(2)

относительно прямой $x = 2y = z$

(3)

относительно линейной оболочки векторов $\mathbf{a}(1, 0, - 1)$ и $\mathbf{b}(1, 1, - 2)$ .

В данной задаче линейные подпространства трехмерного геометрического векторного пространства $\mathcal{E}_{3}$ заданы своими уравнениями в некотором ортонормированном базисе.

Задача 23.13

(1)(2)

Найти матрицу отражения пространства $\mathcal{E}_{3}$ :

?

(1)

в плоскости $x = 0$ параллельно прямой $2x = y = - z$

(2)

в прямой $x = z, \quad x - y + z = 0$ параллельно плоскости $x + y = 0$ .

В данной задаче линейные подпространства трехмерного геометрического векторного пространства $\mathcal{E}_{3}$ заданы своими уравнениями в некотором ортонормированном базисе.

Задача 23.14

(1)(2)(3)

В трехмерном геометрическом векторном пространстве $\mathcal{E}_{3}$ задан ортонормированный базис $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$ . Вычислить матрицу поворота пространства:

?

(1)

на угол $\alpha$ вокруг вектора $\mathbf{e}_{3}$

(2)

на угол $\pi / 2$ вокруг вектора $\mathbf{e}_{1}$

(3)

на угол $2\pi / 3$ вокруг прямой, имеющей уравнения $x = y = z$ .

В данной задаче линейные подпространства трехмерного геометрического векторного пространства $\mathcal{E}_{3}$ заданы своими уравнениями в некотором ортонормированном базисе.

Задача 23.15

(1)(2)

Пусть линейное пространство $\mathcal{L}$ является прямой суммой ненулевых подпространств $\mathcal{L}^{\prime }, \mathcal{L}^{\prime \prime }$ .

?

(1)

Доказать, что преобразование $\varphi$ проектирования $\mathcal{L}$ на $\mathcal{L}^{\prime }$ параллельно $\mathcal{L}^{\prime \prime }$ линейно. Найти ядро и множество значений $\varphi$ . Записать матрицу преобразования $\varphi$ в базисе, составленном из базисов подпространств $\mathcal{L}^{\prime }$ и $\mathcal{L}^{\prime \prime }$ .

(2)

Решить задачу, рассматривая $\varphi$ как отображение пространства $\mathcal{L}$ на $\mathcal{L}^{\prime }$ .

Задача 23.16

Пусть линейное пространство $\mathcal{L}$ является прямой суммой ненулевых подпространств $\mathcal{L}^{\prime }, \mathcal{L}^{\prime \prime }$ . Доказать, что отражение $\varphi$ пространства $\mathcal{L}$ в $\mathcal{L}^{\prime }$ параллельно $\mathcal{L}^{\prime \prime }$ есть линейное преобразование пространства $\mathcal{L}$ . Найти его ядро и множество значений. Показать, что $\varphi$ является изоморфизмом. Записать матрицу $\varphi$ в базисе, составленном из базисов подпространств $\mathcal{L}^{\prime }, \mathcal{L}^{\prime \prime }$

?

Задача 23.17

(1)(2)(3)(4)

Пусть $\varphi : \mathcal{L} \rightarrow \tilde{\mathcal{L}}$ — линейное отображение, $\mathcal{M} = \varphi (\mathcal{L})$ . Рассмотрим $\varphi$ как линейное отображение $\widetilde{\varphi }: \mathcal{L} \rightarrow \mathcal{M}$ . Доказать, что:

?

(1)

ядра отображений $\varphi$ и $\widetilde{\varphi }$ совпадают так же, как их ранги

(2)

$\widetilde{\varphi }$ сюръективно

(3)

$\varphi$ инъективно тогда и только тогда, когда $\widetilde{\varphi }$ инъективно.

(4)

если $\operatorname {dim} \mathcal{L} = \operatorname {dim} \widetilde{\mathcal{L}}$ , то $\varphi$ тогда и только тогда является изоморфизмом, когда изоморфизмом является $\tilde{\varphi }$ . Выяснить связь между матрицами отображений $\varphi$ и $\widetilde{\varphi }$ (выбрать согласованные базисы в $\mathcal{L}$ и $\mathcal{M}$ ).

Задача 23.18

Доказать, что ранг матрицы линейного отображения не зависит от выбора пары базисов в линейных пространствах.

?

Задача 23.19

(1)(2)

Доказать, что:

?

(1)

ранг матрицы линейного сюръективного отображения равен числу ее строк

(2)

ранг матрицы линейного инъективного отображения равен числу ее столбцов.

Задача 23.20

(1)(2)

Пусть $\varphi : \mathcal{L} \rightarrow \tilde{\mathcal{L}}$ — линейное отображение, $\operatorname {dim} \mathcal{L} = n, \quad \operatorname {dim} \tilde{\mathcal{L}} = m, \quad A$ — матрица $\varphi$ в некоторой паре базисов, $\operatorname {rg} A = r$ . Доказать, что:

?

(1)

$\operatorname {rg} \varphi = r$

(2)

$\operatorname {dim} \operatorname {Ker} \varphi = n - r$ .

Задача 23.21

(1)(2)

Доказать, что:

?

(1)

отображение, обратное к изоморфизму, существует и также является изоморфизмом

(2)

линейное отображение, не являющееся изоморфизмом, не имеет обратного.

Задача 23.22

(1)(2)

?

(1)

Чему равен ранг и каково ядро линейного отображения $\varphi : \mathcal{L} \rightarrow \widetilde{\mathcal{L}}$ , являющегося изоморфизмом?

(2)

Как связаны матрицы $A, B$ линейного отображения и обратного к нему?

Задача 23.23

(1)(2)(3)

Пусть $\varphi : \mathcal{L} \rightarrow \tilde{\mathcal{L}}$ — линейное отображение, и $\operatorname {dim} \mathcal{L} = \operatorname {dim} \tilde{\mathcal{L}}$ . Доказать равносильность утверждений:

?

(1)

$\varphi$ изоморфизм

(2)

$\varphi$ инъективно

(3)

$\varphi$ сюрьективно.

Показать, что при $\operatorname {dim} \mathcal{L} \neq \operatorname {dim} \tilde{\mathcal{L}}$ из 2) или 3) не следует 1).

Задача 23.24

(1)(2)(3)

Пусть $\varphi : \mathcal{L} \rightarrow \tilde{\mathcal{L}}$ — линейное отображение, и $\operatorname {dim} \mathcal{L} = \operatorname {dim} \tilde{\mathcal{L}}$ . Доказать утверждения:

?

(1)

Для того чтобы уравнение $\varphi (x) = y(x\in \mathcal{L})$ было разрешимо при любом $y\in \widetilde{\mathcal{L}}$ необходимо и достаточно, чтобы однородное уравнение $\varphi (x) = о$ имело только нулевое решение.

(2)

Если уравнение $\varphi (x) = y$ разрешимо при всех $y\in \widetilde{\mathcal{L}}$ , то оно имеет для каждого $y$ единственное решение.

(3)

Пусть уравнение $\varphi (x) = y$ разрешимо не при всех $y\in \widetilde{\mathcal{L}}$ , но при некотором $y$ разрешимо. Тогда его решение не единственно.

Задача 23.25

Доказать, что любое $n$ -мерное линейное пространство изоморфно $n$ -мерному арифметическому пространству над тем же полем и, следовательно, все линейные пространства одинаковой размерности (над одним и тем же полем) изоморфны.

?

Задача 23.26

Линейное преобразование трехмерного арифметического пространства задано в стандартном базисе матрицей $A$ . Найти образы векторов $\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \mathbf{a}_{3}$ и объяснить геометрический смысл преобразования (кроме 3)):

?

(1)

$A = \mathbf{A}_{261}, \mathbf{a}_{1} = \left[\begin{smallmatrix} 1\\ 0\\ - 1\end{smallmatrix}\right], \mathbf{a}_{2} = \left[\begin{smallmatrix} 0\\ 1\\ 0\end{smallmatrix}\right], \mathbf{a}_{3} = \left[\begin{smallmatrix} 3\\ 3\\ 3\end{smallmatrix}\right]$ . $\mathbf{A}_{261} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$A = \mathbf{A}_{221}, \mathbf{a}_{1} = \left[\begin{smallmatrix} 1\\ 1\\ 2\end{smallmatrix}\right], \mathbf{a}_{2} = \left[\begin{smallmatrix} 1\\ 2\\ 3\end{smallmatrix}\right], \mathbf{a}_{3} = \left[\begin{smallmatrix} 1\\ 2\\ 4\end{smallmatrix}\right]$ . $\mathbf{A}_{221} = \left[\begin{smallmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 2 & 5 & -2 \\ 4 & 4 & -1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$A = \mathbf{A}_{241}, \mathbf{a}_{1} = \left[\begin{smallmatrix} 0\\ 1\\ 1\end{smallmatrix}\right], \mathbf{a}_{2} = \left[\begin{smallmatrix} 1\\ 0\\ - 1\end{smallmatrix}\right], \mathbf{a}_{3} = \left[\begin{smallmatrix} 2\\ 1\\ 0\end{smallmatrix}\right]$ . $\mathbf{A}_{241} = \left[\begin{smallmatrix} 6 & -1 & 1 \\ 5 & -5 & 5 \\ 4 & -9 & 9 \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$A = \mathbf{A}_{262}, \quad \mathbf{a}_{1} = \left[\begin{smallmatrix} 0\\ 1\\ 1\end{smallmatrix}\right], \quad \mathbf{a}_{2} = \left[\begin{smallmatrix} 2\\ 2\\ 3 + i\end{smallmatrix}\right]$ , $\mathbf{a}_{3} = \left[\begin{smallmatrix} 2\\ 2\\ 3 - i\end{smallmatrix}\right]$ . $\mathbf{A}_{262} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & -2 & 2 \\ -2 & -1 & 2 \\ -3 & -2 & 3 \end{smallmatrix}\right]$ .

(5)

$A = \mathbf{A}_{263}, \quad \mathbf{a}_{1} = \left[\begin{smallmatrix} 1\\ 1\\ - 1\end{smallmatrix}\right], \quad \mathbf{a}_{2} = \left[\begin{smallmatrix} 1 + i\\ 1\\ - i\end{smallmatrix}\right]$ , $\mathbf{a}_{3} = \left[\begin{smallmatrix} 1 - i\\ 1\\ i\end{smallmatrix}\right]$ . $\mathbf{A}_{263} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & -3 & 1 \\ 3 & -2 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 23.27

(1)(2)(3)(4)

Линейное отображение $n$ -мерного арифметического пространства в $m$ -мерное задано матрицей $A$ . Числа $m$ и $n$ определяются размерами матрицы. Вычислить образы указанных векторов:

?

(1)

$A = \mathbf{A}_{507}, \quad \mathbf{a} = \left[\begin{smallmatrix} 4\\ - 1\\ - 1\\ 3\end{smallmatrix}\right]$ . $\mathbf{A}_{507} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 3 & 4 & 1 \\ 2 & 2 & 3 & 1 \\ 4 & 0 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$A = \mathbf{A}_{455}, \mathbf{a} = \left[\begin{smallmatrix} - 1\\ 1\\ 1\\ - 1\end{smallmatrix}\right]$ . $\mathbf{A}_{455} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 5 & 6 & 7 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$A = \mathbf{A}_{522}, \quad \mathbf{a} = \left[\begin{smallmatrix} - 2\\ 1\\ 3\\ - 1\end{smallmatrix}\right]$ . $\mathbf{A}_{522} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & -1 & 5 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 5 \\ 4 & -1 & 1 & 7 \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$m = n, \quad A = \mathbf{A}_{507}, \quad \mathbf{a}_{1} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ \ldots \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{a}_{2} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \\ \ldots \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \ldots , \mathbf{a}_{n} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ \ldots \\ 0 \\ - 1 \end{smallmatrix}\right]$ . $\mathbf{A}_{507} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 3 & 4 & 1 \\ 2 & 2 & 3 & 1 \\ 4 & 0 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 23.28

Линейное преобразование $n$ -мерного линейного пространства $\mathcal{L}$ задано матрицей $A$ в базисе е. Число $n$ определяется порядком матрицы. Найти ядро и множество значений преобразования. Выяснить, является ли оно изоморфизмом, если:

?

(1)

$A = \mathbf{A}_{30}$ . $\mathbf{A}_{30} = \left[\begin{smallmatrix} 25 & 60 \\ 60 & 144 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$A = \mathbf{A}_{236}$ . $\mathbf{A}_{236} = \left[\begin{smallmatrix} -2 & 5 & 3 \\ -2 & 5 & 3 \\ 2 & -5 & -3 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$A = \mathbf{A}_{264}$ . $\mathbf{A}_{264} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$A = \mathbf{A}_{465}$ . $\mathbf{A}_{465} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ -3 & -1 & 1 & -1 \\ -3 & 1 & -1 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(5)

$A = \mathbf{A}_{466}$ . $\mathbf{A}_{466} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 3 & -1 & 1 & -1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(6)

$A = \mathbf{A}_{547}$ . $\mathbf{A}_{547} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & -5 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -3 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 23.29

Линейное отображение $n$ -мерного линейного пространства в $m$ -мерное задано матрицей $A$ в базисах $e$ и $\mathbf{f}$ . Числа $m$ и $n$ определяются размерами матрицы. Найти ядро и множество значений отображения. Выяснить, является ли оно сюръективным, инъективным, если:

?

(1)

$A = \mathbf{A}_{516}$ . $\mathbf{A}_{516} = \left[\begin{smallmatrix} -2 & 1 & 3 & -2 \\ 8 & 4 & 12 & -8 \\ 4 & -2 & -6 & 4 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$A = \mathbf{A}_{405}$ . $\mathbf{A}_{405} = \left[\begin{smallmatrix} 4 & 5 & 9 \\ 3 & 2 & 7 \\ -1 & 3 & 2 \\ 7 & 7 & 6 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$A = \mathbf{A}_{406}$ . $\mathbf{A}_{406} = \left[\begin{smallmatrix} -2 & 6 & -4 \\ 1 & -3 & 2 \\ 7 & -21 & 14 \\ -3 & 9 & -6 \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$A = \mathbf{A}_{576}$ . $\mathbf{A}_{576} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 3 & -1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(5)

$A = \mathbf{A}_{420}$ . $\mathbf{A}_{420} = \left[\begin{smallmatrix} -2 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 2 \\ -3 & -2 & 2 \\ 4 & -1 & 1 \\ 6 & 5 & -5 \end{smallmatrix}\right]$ .

(6)

$A = \mathbf{A}_{585}$ . $\mathbf{A}_{585} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 & 2 & 4 & -2 \\ 3 & 9 & -14 & 2 & 1 \\ 3 & 6 & -9 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 23.30

(1)(2)(3)(4)

Линейное отображение $n$ -мерного арифметического пространства в $m$ -мерное задано в стандартных базисах этих пространств матрицей $A$ . Числа $m$ и $n$ определяются размерами матрицы. Вычислить полный прообраз вектора $\mathbf{a}$ , если:

?

(1)

$A = \mathbf{A}_{513}, \mathbf{a} = \left[\begin{smallmatrix} - 1\\ 0\\ 1\end{smallmatrix}\right]$ . $\mathbf{A}_{513} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & -5 & -4 & -3 \\ 2 & -1 & 2 & -1 \\ 5 & 3 & 8 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$A = \mathbf{A}_{581}, \mathbf{a} = \left[\begin{smallmatrix} 1\\ 2\\ 1\end{smallmatrix}\right]$ . $\mathbf{A}_{581} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 1 & -2 & 3 & -4 & 5 \\ 2 & 11 & 12 & 25 & 22 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$A = \mathbf{A}_{421}, \quad \mathbf{a} = \left[\begin{smallmatrix} 4\\ 2\\ 9\\ - 20\\ - 3\end{smallmatrix}\right]$ . $\mathbf{A}_{421} = \left[\begin{smallmatrix} 30 & 9 & 4 \\ -24 & -15 & 2 \\ 43 & 8 & 9 \\ -50 & 5 & -20 \\ -5 & 2 & -3 \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$A = \mathbf{A}_{421}, \mathbf{a} = \left[\begin{smallmatrix} 0\\ 1\\ 1\\ 2\\ - 1\end{smallmatrix}\right]$ . $\mathbf{A}_{421} = \left[\begin{smallmatrix} 30 & 9 & 4 \\ -24 & -15 & 2 \\ 43 & 8 & 9 \\ -50 & 5 & -20 \\ -5 & 2 & -3 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 23.31

(1)(2)(3)

Линейное отображение $n$ -мерного арифметического пространства в $m$ -мерное задано в стандартных базисах этих пространств матрицей $A$ . Числа $m$ и $n$ определяются размерами матрицы. Найти полный прообраз подпространства $\mathcal{M} \subset \mathcal{R}_{m}$ , если:

?

(1)

$A = \mathbf{A}_{576}, \mathcal{M}$ натянуто на вектор $\left[\begin{smallmatrix} 3\\ - 1\end{smallmatrix}\right]$ . $\mathbf{A}_{576} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 3 & -1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$A = \mathbf{A}_{517}, \quad \mathcal{M}$ задано системой уравнений $x_{1} + x_{2} = 0$ , $x_{1} - x_{3} = 0$ . $\mathbf{A}_{517} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 1 & -2 & 4 \\ 2 & -3 & 6 & -5 \\ 8 & -1 & 2 & 3 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$A = \mathbf{A}_{592}, \quad \mathcal{M}$ задано системой уравнений $2x_{1} - x_{3} = 0$ , $2x_{2} + x_{3} - 2x_{4} = 0; \quad - x_{2} + 2x_{4} - x_{6} = 0, \quad x_{5} = 0$ . $\mathbf{A}_{592} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 4 & 0 & 1 & 5 \\ 2 & -3 & -5 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & 2 & 2 & 1 & 5 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 23.32

Доказать, что пространство $\mathcal{R}_{m \times n}$ вещественных матриц размеров $m \times n$ (задача 20. 5) изоморфно арифметическому пространству $\mathcal{R}_{mn}$ .

?

Задача 23.33

Пусть $\mathbf{a} = \left(a_{0}, a_{1}, \ldots , a_{n}\right)^{T}$ . Показать, что отображение $f(\mathbf{a}) = a_{0} + a_{1} t + \ldots + a_{n} t^{n}$ устанавливает изоморфизм $(n + 1)$ -мерного арифметического пространства и линейного пространства многочленов степени, не превосходящей $n$ .

?

Задача 23.34

Отображение двумерного вещественного арифметического пространства в линейное пространство вещественных квадратных матриц второго порядка задано формулой $\varphi \left(\left[\begin{smallmatrix} x \\ y\end{smallmatrix}\right]\right) =\left[\begin{smallmatrix} x & - y \\ y & x\end{smallmatrix}\right]$ . Доказать линейность и инъективность отображения $\varphi$ . Вычислить его матрицу в стандартных базисах пространств.

?

Задача 23.35

Отображение трехмерного вещественного арифметического пространства в пространство матриц второго порядка сопоставляет вектору $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}$ матрицу $\left[\begin{smallmatrix} x_{2} & x_{3} \\ - x_{3} & x_{1}\end{smallmatrix}\right]$ . Доказать линейность и инъективность отображения. Вычислить его матрицу в стандартных базисах пространств.

?

Задача 23.36

Пусть $\mathcal{M}_{2 \times 2}$ — множество комплексных матриц второго порядка, рассматриваемое как вещественное линейное пространство со стандартным базисом $E_{11}, iE_{11}, E_{21}, iE_{21}, E_{12}$ , $iE_{12}, E_{22}, iE_{22}$ (см. задачу 22. 12). Отображение $\varphi : \mathcal{R}_{3} \rightarrow \mathcal{M}_{2 \times 2}$ сопостовляет вектору $\left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{smallmatrix}\right]$ матрицу $\left[\begin{smallmatrix} x_{3} & x_{1} + ix_{2} \\ x_{1} - ix_{2} & -x_{3}\end{smallmatrix}\right]$ . Доказать, что отображение $\varphi$ линейно и инъективно. Найти его матрицу в стандартных базисах пространств.

?

Задача 23.37

Отображение $\varphi : \mathcal{R}_{4} \rightarrow \mathcal{M}_{2 \times 2}$ (см. задачу 23. 36) задано формулой $\varphi (x) =\left[\begin{smallmatrix} a & b \\ - \bar{b} & \bar{a}\end{smallmatrix}\right]$ , где $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)^{T}, a = x_{1} + ix_{2}$ , $\bar{a} = x_{1} - ix_{2}, b = x_{3} + ix_{4}$ . Доказать, что $\varphi$ линейно и инъективно, найти его матрицу в стандартных базисах пространств.

?

Задача 23.38

(1)(2)(3)

Доказать, что данное множество квадратных матриц является вещественным линейным пространством, изоморфным арифметическому пространству $\mathcal{R}_{3}$ :

?

(1)

множество всех вещественных матриц второго порядка с нулевым следом

(2)

множество всех вещественных кососимметрических матриц третьего порядка

(3)

множество всех комплексных матриц вида $\left[\begin{smallmatrix} ix_{3} & x_{1} + ix_{2} \\ - x_{1} + ix_{2} & - ix_{3}\end{smallmatrix}\right]$ , где $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ — вещественные числа.

Задача 23.39

Пусть $D = \frac{d}{dt}$ — операция дифференцирования, сопоставляющая функции $f(t)$ ее производную $f^{\prime }(t)$ . Показать, что $D$ является линейным преобразованием линейного пространства функций, бесконечно дифференцируемых на интервале $(a, b)$ .

?

Задача 23.40

(1)(2)

Пусть $\mathcal{P}^{(m)}$ — линейное пространство вещественных многочленов степени не выше $m$ .

?

(1)

Проверить, что дифференцирование (определенное в задаче 23. 39) есть линейное преобразование $D: \mathcal{P}^{(m)} \rightarrow \mathcal{P}^{(m)}$ , найти его ядро и множество значений. Вычислить матрицу преобразования $D$ :

(1) в стандартном базисе $1, t, \ldots , t^{m}$ ;

(2) в базисе $1, t - t_{0}, \ldots , \left(t - t_{0}\right)^{m}$ ;

(3) в базисе $1, \frac{t}{1!}, \ldots , \frac{t^{m}}{m!}$ .

(2)

Найти матрицу дифференцирования как линейного отображения $D: \mathcal{P}^{(m)} \rightarrow \mathcal{P}^{(m - 1)}$ базисах $1, t, \ldots , \frac{t^{m}}{m!}$ и $1, t, \ldots \ldots , \frac{t^{m - 1}}{(m - 1)!}$ .

Задача 23.41

(1)(2)

Показать, что дифференцирование (задача 23. 39) определяет линейное отображение:

?

(1)

пространства четных многочленов степени не выше $2n$ в пространство $\mathcal{P}$ нечетных многочленов степени не выше $2n - 1$

(2)

пространства нечетных многочленов степени не выше $2n + 1$ в пространство $\mathcal{Q}$ четных многочленов степени не выше $2n$ .

Найти ядро, множество значений и ранг отображения. Записать его матрицу $A$ в стандартных базисах пространств.

Задача 23.42

Проверить, что функции $e^{\lambda t} p(t)$ , где $\lambda$ — фиксированное число, $p(t)$ — многочлен степени не выше $n$ , образуют линейное пространство, а дифференцирование является его линейным преобразованием. Вычислить матрицу преобразования в базисе $\frac{t^{k}}{k!} e^{\lambda t}(k = 0, 1, \ldots , n)$ .

?

Задача 23.43

(1)(2)

?

(1)

Показать, что дифференцирование является линейным преобразованием пространства тригонометрических многочленов $f(t) = a_{0} + a_{1} \cos t + b_{1} \sin t + \ldots + a_{n} \cos nt + b_{n} \sin nt$ порядка не выше $n$ (см. задачу 20. 8. 4). Найти матрицу преобразования $D$ в стандартном базисе $1, \cos t, \sin t, \ldots$ ... $\cos nt, \sin nt$ этого пространства.

(2)

Доказать, что дифференцирование $D$ устанавливает изоморфизм между линейными пространствами нечетных тригонометрических многочленов $b_{1} \sin t + b_{2} \sin 2t + \ldots + b_{n} \sin nt$ и четных тригонометрических многочленов вида $a_{1} \cos t + a_{2} \cos 2t + \ldots + a_{n} \cos nt(n$ — фиксированное число). Вычислить матрицы отображения $D$ и обратного отображения в базисах $\sin t, \ldots , \sin nt$ и $\cos t, \ldots , \cos nt$ .

Задача 23.44

(1)(2)(3)

Пусть $f(t)$ — непрерывная функция $(t\in \mathbb {R})$ . Рассмотрим операцию интегрирования $I: f(t) \rightarrow \int_{0}^{t} f(\xi ) d\xi$ .

?

(1)

Проверить, что интегрирование определяет линейное отображение $I: \mathcal{P}^{(n - 1)} \rightarrow \mathcal{P}^{(n)}(n \geqslant 1)$ , найти его ядро, множество значений и ранг. Записать матрицу отображения в стандартных базисах.

(2)

Интегрирование рассматривается как линейное преобразование пространства $\mathcal{P}$ всех вещественных многочленов. Найти его множество значений. Является ли это преобразование сюръективным, инъективным, изоморфизмом?

(3)

Пусть $\mathcal{M}$ — пространство многочленов с нулевым свободным членом, $I: \mathcal{P} \rightarrow \mathcal{M}$ — операция интегрирования и $D: \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{P}$ — дифференцирование. Доказать, что эти линейные отображения взаимно обратны.

Задача 23.45

(1)(2)(3)

Пусть $\mathcal{F}$ — линейное пространство функций $f(t)$ , непрерывных на отрезке $\left[ - 1, 1\right], \tilde{\mathcal{F}}$ — линейное пространство непрерывно дифференцируемых на $\left[ - 1, 1\right]$ функций $f(t)$ таких, что $f(0) = 0, \mathcal{G}$ и $\mathcal{H}$ — подпространства четных и нечетных функций в $\mathcal{F}$ соответственно.

?

(1)

Интегрирование $I$ из задачи 23. 44 $( - 1 \leqslant t \leqslant 1)$ рассматривается как линейное преобразование пространства $\mathcal{F}$ . Является ли это преобразование инъективным, сюръективным? Обратимо ли оно?

(2)

Доказать, что интегрирование определяет изоморфизм $I: \mathcal{F} \rightarrow \tilde{\mathcal{F}}$ . Найти для него обратное отображение.

(3)

Показать, что интегрирование определяет линейные отображения $I_{1}: \mathcal{G} \rightarrow \mathcal{H}$ и $I_{2}: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{G}$ . Ответить для этих отображений на вопросы п. 1).

Задача 23.46

Пусть линейное преобразование пространства всех многочленов от $t$ переводит каждый многочлен $t^{k}$ в $t^{2k}(k = 0, 1, 2, \ldots )$ . Убедиться в том, что это преобразование инъективно, но не сюръективно. Найти множество его значений.

?

Задача 23.47

(1)(2)

Пусть $\mathcal{R}_{m \times n}$ — линейное пространство матриц размеров $m \times n$ .

?

(1)

Доказать, что умножение матриц размеров $m \times n$ слева на фиксированную матрицу $A$ размеров $k \times m$ есть линейное отображение $\varphi : \mathcal{R}_{m \times n} \rightarrow \mathcal{R}_{k \times n}$ . Вычислить матрицу отображения $\varphi$ в стандартных базисах, если $n = 2, A = \mathbf{A}_{27}$ . Найти ядро и множество значений этого отображения. $\mathbf{A}_{27} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 6 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

Доказать, что умножение матриц размеров $m \times n$ справа на фиксированную матрицу $B$ размеров $n \times k$ есть линейное отображение $\varphi : \mathcal{R}_{m \times n} \rightarrow \mathcal{R}_{m \times k}$ . Вычислить матрицу отображения $\varphi$ в стандартных базисах, если $m = 2, B = \mathbf{A}_{126}$ . Найти ядро и множество значений отображения $\varphi$ . $\mathbf{A}_{126} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 2 \\ 3 & 1 \\ -2 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 23.48

(1)(2)(3)

Пусть $\mathbf{x}_{1}, \ldots , \mathbf{x}_{n}$ — столбцы матрицы $X = \left\| \mathbf{x}_{1} \ldots \mathbf{x}_{n}\right\|$ размеров $m \times n$ , и $Y = \left\| \mathbf{x}_{1} \ldots \mathbf{x}_{n - 1}\right\|$ . Отображение $\varphi : \mathcal{R}_{m \times n} \rightarrow \mathcal{R}_{m\times (n - 1)}$ определим равенством $\varphi (X) = Y$ .

?

(1)

Доказать, что отображение $\varphi$ линейно, найти его ядро и множество значений.

(2)

Вычислить матрицу отображения $\varphi$ в стандартных базисах пространств.

(3)

Показать, что $\varphi$ является одним из отображений, определенных в задаче 23. 47, для подходящей матрицы $B$ .

Задача 23.49

Пусть $M_{1}, \ldots , M_{n}$ — фиксированные матрицы порядка $m, \mathbf{x} = \left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)^{T}$ . Отображение $\varphi : \mathcal{R}_{n} \rightarrow \mathcal{R}_{m \times m}$ определим формулой $\varphi (\mathbf{x}) = x_{1} M_{1} + \ldots + x_{n} M_{n}$ . Доказать линейность отображения $\varphi$ . Найти ядро, множество значений, ранг и вычислить матрицу $A$ отображения $\varphi$ в стандартных базисах, если $n = 4, \quad M_{1} = \mathbf{A}_{12}, \quad M_{2} = \mathbf{A}_{13}, \quad M_{3} = \mathbf{A}_{16}, \quad M_{4} = \mathbf{A}_{20}$ . $\mathbf{A}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{13} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{16} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{20} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

?

Задача 23.50

В линейном пространстве вещественных многочленов $p(x, y)$ от двух переменных $x, y$ преобразование $\varphi$ определено формулой $\varphi (p(x, y)) = p(x + a, y + b)(a, b$ — фиксированные числа). Показать, что $\varphi$ определяет линейное преобразование пространства многочленов не выше второй степени, и вычислить его матрицу в базисе $1, x, y, x^{2}, xy, y^{2}$ .

?

Задача 23.51

(1)(2)(3)

Показать, что однородные многочлены степени $n$ вида $p(x, y) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{n - k} y^{k}$ образуют линейное подпространство $\mathcal{H}^{(n)}$ пространства всех многочленов от двух переменных. Преобразование $\varphi$ определено одной из следующих формул:

?

(1)

$\varphi (p) = x\frac{\partial p}{\partial y}$ ;

(2)

$\varphi (p) = y\frac{\partial p}{\partial x}$ ;

(3)

$\varphi (p) = x\frac{\partial p}{\partial x} - y\frac{\partial p}{\partial y}$ .

Доказать, что $\varphi$ — линейное преобразование пространства $\mathcal{H}^{(n)}$ , и вычислить его матрицу в базисе $x^{n}, x^{n-1} y, \ldots , x y^{n-1}, y^{n}$ . Найти ядро и множество значений преобразования $\varphi$ .

Примеры линейных отображений и преобразований. Ядро, множество значений. Матрицы линейных отображений и преобразований (23.1-23.51)