Эквивалентные системы уравнений (19.21-19.29)

Доказать, что нетривиальные уравнения¹ $a_{1} x_{1} + \ldots + a_{n} x_{n} = 0$ и $b_{1} x_{1} + \cdots + b_{n} x_{n} = 0$ эквивалентны тогда и только тогда, когда $\operatorname {rg}\left[\begin{smallmatrix} a_{1} & \ldots & a_{n} \\ b_{1} & \ldots & b_{n}\end{smallmatrix}\right] = 1$.

Доказать, что нетривиальные ${ }^{1}$) уравнения $a_{1} x_{1} + \ldots \cdots + a_{n} x_{n} = a$ и $b_{1} x_{1} + \cdots + b_{n} x_{n} = b$ эквивалентны тогда и только тогда, когда $\operatorname {rg}\left[\begin{smallmatrix} a_{1} & \ldots & a_{n} & a \\ b_{1} & \ldots & b_{n} & b\end{smallmatrix}\right] = 1$.

Сформулировать признак попарной эквивалентности $k$ линейных уравнений.

Доказать, что системы линейных уравнений $A\mathbf{x} = \mathbf{o}, B\mathbf{x} = \mathbf{o}$ эквивалентны тогда и только тогда, когда

Доказать, что совместные системы линейных уравнений $A\mathbf{x} = \mathbf{a}, B\mathbf{x} = \mathbf{b}$ эквивалентны тогда и только тогда, когда

$\left(\mathbf{A}_{502} \mid \mathbf{c}_{17}\right)$ и $\left(\mathbf{A}_{503} \mid \mathbf{c}_{12}\right)$. $\mathbf{A}_{502} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 7 & -3 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{17} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{503} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & -2 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]$.

$\left(\mathbf{A}_{239} \mid \mathbf{c}_{67}\right)$ и $\left(\mathbf{A}_{240} \mid \mathbf{c}_{147}\right)$. $\mathbf{A}_{239} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & -2 \\ -2 & 2 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{67} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{240} = \left[\begin{smallmatrix} -5 & 4 & -2 \\ 2 & 1 & 6 \\ 1 & -2 & -2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{147} = \left[\begin{smallmatrix} 5 \\ -2 \\ -1 \end{smallmatrix}\right]$.

$\left(\mathbf{A}_{581} \mid \mathbf{c}_{69}\right)$ и $\left(\mathbf{A}_{422}^{T} \mid \mathbf{c}_{72}\right)$. $\mathbf{A}_{581} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 1 & -2 & 3 & -4 & 5 \\ 2 & 11 & 12 & 25 & 22 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{69} = \left[\begin{smallmatrix} -26 \\ -11 \\ -67 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{422} = \left[\begin{smallmatrix} 4 & 1 & 9 \\ 2 & -11 & -15 \\ 9 & 2 & 8 \\ -20 & 13 & 5 \\ -3 & 4 & 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{72} = \left[\begin{smallmatrix} -5 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right]$.

Допустим, что добавление к данной однородной системе линейных уравнений еще некоторого числа линейных однородных уравнений не меняет множества ее решений. Доказать, что добавленные уравнения являются линейными комбинаџиями уравнений данной системы.

Доказать то же утверждение для совместной системы линейных неоднородных уравнений. Сравнить с задачей 17. 3 2)

Допустим, что каждое решение однородной системы линейных уравнений (А) является также и решением однородной системы линейных уравнений (Б). Доказать, что тогда каждое уравнение системы (Б) является линейной комбинацией уравнений системы (A).

Доказать то же утверждение для совместных систем линейных неоднородных уравнений. Сравнить с задачей 17.3(1).

Доказать, что две однородные системы линейных уравнений эквивалентны тогда и только тогда, когда уравнения каждой из них являются линейными комбинациями уравнений другой системы.

Доказать то же утверждение для совместных систем линейных неоднородных уравнений.