15.5

Блочные матрицы (15.131-15.141)

[11/82%]
Показать
LaTeX
Задача 15.131

Пусть AA и BB — блочные матрицы второго порядка. Сформулировать условия, при которых эти матрицы можно перемножить. Доказать, что если существует произведение ABAB, то (AB)□=A□B□(AB)^{\square } = A^{\square } B^{\square }.

?
Задача 15.132

Пусть AA и BB — верхние блочно треугольные матрицы второго порядка и произведение ABAB существует. Получить формулу для вычисления матрицы A□B□A^{\square } B^{\square }.

?
Задача 15.133

Пусть AA — блочная матрица второго порядка, BB — блочная матрица — столбец из двух блоков.

?
(1)

Сформулировать условия, при которых определено произведение ABAB.

(2)

Доказать, что если ABAB существует, то (AB)□=A□B□(AB)^{\square } = A^{\square } B^{\square }.

(3)

Получить формулу для вычисления A□B□A^{\square } B^{\square }.

Задача 15.134

Пусть AA и BB — блочно диагональные матрицы. Сформулировать условия, при которых:

?
(1)

определено произведение ABAB

(2)

(AB)□=A□B□(AB)^{\square } = A^{\square } B^{\square }

(3)

определены произведения ABAB и BABA

(4)

AB=BAAB = BA.

Задача 15.135

Проверить справедливость тождеств (A+B)□=A□+B□,(AB)□=A□B□(A + B)^{\square } = A^{\square } + B^{\square }, (AB)^{\square } = A^{\square } B^{\square } для произвольных блочных матриц.

?
Задача 15.136

Разбивая данные матрицы на блоки, вычислить произведение:

?
(1)

A430A431\mathbf{A}_{430} \mathbf{A}_{431}. A430=[000−100−1001001000],A431=[00−10000110000−100]\mathbf{A}_{430} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{431} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(2)

A432A450\mathbf{A}_{432} \mathbf{A}_{450}. A432=[0−1001000000−10010],A450=[1234012300120001]\mathbf{A}_{432} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{450} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(3)

A450A433\mathbf{A}_{450} \mathbf{A}_{433}. A450=[1234012300120001],A433=[1−21001−21001−20001]\mathbf{A}_{450} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{433} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(4)

A451A452\mathbf{A}_{451} \mathbf{A}_{452}. A451=[2−310−202063−300002],A452=[0001000200031234]\mathbf{A}_{451} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & -3 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 2 & 0 \\ 6 & 3 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{452} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{smallmatrix}\right].

(5)

A436A437\mathbf{A}_{436} \mathbf{A}_{437}. A436=[1111101100100011],A437=[10−1−2−2−10112000−100]\mathbf{A}_{436} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{437} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 \\ -2 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(6)

A530A531\mathbf{A}_{530} \mathbf{A}_{531}. A530=[1255534666001110012200123],A531=[1200034000001110012200123]\mathbf{A}_{530} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 5 & 5 & 5 \\ 3 & 4 & 6 & 6 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{531} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.137

Найти матрицу (H□)−1\left(H^{\square }\right)^{ - 1}, если HH — блочная матрица:

?
(1)

H=[EAOE]H =\left[\begin{smallmatrix} E & A \\ O & E\end{smallmatrix}\right]

(2)

H=[ABOC]H =\left[\begin{smallmatrix} A & B \\ O & C\end{smallmatrix}\right] (матрицы AA и CC обратимы).

Задача 15.138

Пусть EE — единичная матрица порядка r;Dr; D — произвольная матрица размера r×s;o,b,xr \times s; \mathbf{o}, \mathbf{b}, \mathbf{x} — столбцы. Решить уравнение:

?
(1)

∥ED∥□x=o\left\| ED\right\|^{\square } \mathbf{x} = \mathbf{o}

(2)

∥ED∥□x=b\left\| ED\right\|^{\square } \mathbf{x} = \mathbf{b}.

Задача 15.139

Вычислить кронекеровское произведение матриц:

?
(1)

A17⊗c7\mathbf{A}_{17} \otimes \mathbf{c}_{7}. A17=[3559],c7=[4−2]\mathbf{A}_{17} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{7} = \left[\begin{smallmatrix} 4 \\ -2 \end{smallmatrix}\right].

(2)

c7⊗A17\mathbf{c}_{7} \otimes \mathbf{A}_{17}. c7=[4−2],A17=[3559]\mathbf{c}_{7} = \left[\begin{smallmatrix} 4 \\ -2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{17} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \end{smallmatrix}\right].

(3)

A18⊗c8\mathbf{A}_{18} \otimes \mathbf{c}_{8}. A18=[1234],c8=[−11]\mathbf{A}_{18} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{8} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(4)

c8⊗A18\mathbf{c}_{8} \otimes \mathbf{A}_{18}. c8=[−11],A18=[1234]\mathbf{c}_{8} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{18} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right].

(5)

A17⊗A18\mathbf{A}_{17} \otimes \mathbf{A}_{18}. A17=[3559],A18=[1234]\mathbf{A}_{17} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{18} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right].

(6)

A18⊗A17\mathbf{A}_{18} \otimes \mathbf{A}_{17}. A18=[1234],A17=[3559]\mathbf{A}_{18} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{17} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \end{smallmatrix}\right].

(7)

A13⊗A19\mathbf{A}_{13} \otimes \mathbf{A}_{19}. A13=[1101],A19=[1112]\mathbf{A}_{13} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{19} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.140

Пусть a=∥a1,…,an∥,b=∥b1,…,bm∥T\mathbf{a} = \left\| a_{1}, \ldots , a_{n}\right\| , \mathbf{b} = \left\| b_{1}, \ldots , b_{m}\right\|^{T}. Вычислить a⊗b,b⊗a\mathbf{a} \otimes \mathbf{b}, \mathbf{b} \otimes \mathbf{a} и сравнить с ba.

?
Задача 15.141

Проверить справедливость тождества:

?
(1)

(αA)⊗B=α(A⊗B)(\alpha A) \otimes B = \alpha (A\otimes B)

(2)

(A+B)⊗C=A⊗C+B⊗C(A + B) \otimes C = A\otimes C + B\otimes C

(3)

A⊗(B+C)=A⊗B+A⊗CA\otimes (B + C) = A\otimes B + A\otimes C

(4)

A⊗(B⊗C)=(A⊗B)⊗CA\otimes (B\otimes C) = (A\otimes B) \otimes C

(5)

AB⊗CD=(A⊗C)(B⊗D)AB\otimes CD = (A\otimes C)(B\otimes D)

(6)

(A⊗B)−1=A−1⊗B−1(A\otimes B)^{ - 1} = A^{ - 1} \otimes B^{ - 1}.