15.4

Другие операции с матрицами и специальные виды матриц (15.66-15.130)

[65/45%]
Показать
LaTeX
Задача 15.66

Пусть A,BA, B — диагональные матрицы одного порядка, α\alpha — число. Доказать, что матрицы αA,A+B,AB,BA\alpha A, A + B, AB, BA тоже диагональные и AB=BAAB = BA.

?
Задача 15.67

Пусть A=diag⁡(λ1,…,λn)A = \operatorname {diag}\left(\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}\right). Доказать, что:

?
(1)

столбцы матрицы BABA получаются умножением столбцов матрицы BB на числа λ1,…,λn\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}

(2)

строки матрицы ABAB получаются умножением строк BB на числа λ1,…,λn\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}.

Задача 15.68

Пусть AA — диагональная матрица, f(t)f(t) — многочлен. Доказать, что тогда матрица f(A)f(A) также диагональна.

?
Задача 15.69

Пусть матрица AA диагональна, все ее диагональные элементы различны и AB=BAAB = BA. Доказать, что тогда и матрица BB диагональна.

?
Задача 15.70

Матрица AA перестановочна с любой диагональной матрицей порядка nn. Доказать, что AA — диагональная матрица порядка nn.

?
Задача 15.71

Матрица AA перестановочна со всеми матричными единицами порядка nn. Доказать, что AA — скалярная матрица.

?
Задача 15.72

Матрица AA перестановочна с любой матрицей порядка nn. Доказать, что AA — скалярная матрица.

?
Задача 15.73

Найти все матрицы, перестановочные с каждой невырожденной матрицей порядка nn.

?
Задача 15.74

Найти матрицу, эрмитово сопряженную данной матрице:

?
(1)

A82\mathbf{A}_{82}. A82=[i1−1i]\mathbf{A}_{82} = \left[\begin{smallmatrix} i & 1 \\ -1 & i \end{smallmatrix}\right].

(2)

A86\mathbf{A}_{86}. A86=[5i−i1]\mathbf{A}_{86} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & i \\ -i & 1 \end{smallmatrix}\right].

(3)

A89\mathbf{A}_{89}. A89=[1−i2+i1−2i]\mathbf{A}_{89} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -i \\ 2+i & 1-2 i \end{smallmatrix}\right].

(4)

A81\mathbf{A}_{81}. A81=[1+i2311−i2]\mathbf{A}_{81} = \left[\begin{smallmatrix} 1+i \sqrt{2} & 3 \\ 1 & 1-i \sqrt{2} \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.75

Проверить справедливость тождества:

?
(1)

(A+B)H=AH+BH(A + B)^{H} = A^{H} + B^{H}

(2)

(αA)H=αˉAH(\alpha A)^{H} = \bar{\alpha } A^{H}

(3)

(AH)H=A\left(A^{H}\right)^{H} = A

(4)

(A⋅B)H=BHAH(A \cdot B)^{H} = B^{H} A^{H}

(5)

(AH)−1=(A−1)H\left(A^{H}\right)^{ - 1} = \left(A^{ - 1}\right)^{H}.

Задача 15.76

Определить, является ли указанная матрица второго порядка диагональной, скалярной, треугольной, симметри — ческой, кососимметрической, эрмитовой, косоэрмитовой, унитарной, ортогональной или матрицей перестановки:

?
(1)

A82\mathbf{A}_{82}. A82=[i1−1i]\mathbf{A}_{82} = \left[\begin{smallmatrix} i & 1 \\ -1 & i \end{smallmatrix}\right].

(2)

A12\mathbf{A}_{12}. A12=[1111]\mathbf{A}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(3)

A87\mathbf{A}_{87}. A87=[11+i1−i3]\mathbf{A}_{87} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1+i \\ 1-i & 3 \end{smallmatrix}\right].

(4)

A86\mathbf{A}_{86}. A86=[5i−i1]\mathbf{A}_{86} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & i \\ -i & 1 \end{smallmatrix}\right].

(5)

A77\mathbf{A}_{77}. A77=[cos⁡α−sin⁡αsin⁡αcos⁡α]\mathbf{A}_{77} = \left[\begin{smallmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{smallmatrix}\right].

(6)

A15\mathbf{A}_{15}. A15=[−1001]\mathbf{A}_{15} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(7)

A46\mathbf{A}_{46}. A46=[−4014]\mathbf{A}_{46} = \left[\begin{smallmatrix} -4 & 0 \\ 1 & 4 \end{smallmatrix}\right].

(8)

A23\mathbf{A}_{23}. A23=[02−20]\mathbf{A}_{23} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(9)

12A88\frac{1}{\sqrt{2}} \mathbf{A}_{88}. A88=[1ii1]\mathbf{A}_{88} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{smallmatrix}\right].

(10)

A22\mathbf{A}_{22}. A22=[0110]\mathbf{A}_{22} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(11)

12A16\frac{1}{\sqrt{2}} \mathbf{A}_{16}. A16=[1−111]\mathbf{A}_{16} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.77

Доказать, что:

?
(1)

все диагональные элементы кососимметрической матрицы равны 0

(2)

диагоналыные элементы эрмитовой матрицы вещественны

(3)

диагональные элементы косоэрмитовой матрицы мнимые.

Задача 15.78

Доказать, что:

?
(1)

если матрица AA эрмитова, то матрица iAiA косоэрмитова

(2)

если матрица AA косоэрмитова, то iAiA эрмитова.

Задача 15.79
?
(1)

Найти общий вид эрмитовых матриц второго порядка.

(2)

Найти общий вид косоэрмитовых матриц второго порядка.

(3)

Указать все матрицы перестановок второго порядка.

Задача 15.80

Доказать: если матрица AA диагональна и все ее диагональные элементы отличны от 0, то A−1A^{ - 1} существует и является диагональной.

?
Задача 15.81

Доказать: если матрица AA верхняя треугольная и все ее диагональные элементы отличны от 0, то A−1A^{ - 1} существует и является верхней треугольной.

?
Задача 15.82

Доказать: если AA — невырожденная симметрическая матрица, то A−1A^{ - 1} — также симметрическая матрица.

?
Задача 15.83

Доказать: если AA — невырожденная кососимметрическая матрица, то A−1A^{ - 1} — также кососимметрическая матрица.

?
Задача 15.84

Доказать: если AA — ортогональная матрица, то A−1A^{ - 1} существует и ортогональна.

?
Задача 15.85

Доказать: если AA — унитарная матрица, то A−1A^{ - 1} существует и унитарна.

?
Задача 15.86

Доказать: если AA — матрица перестановки, то A−1A^{ - 1} существует и также является матрицей перестановки.

?
Задача 15.87

Доказать, что данная матрица ортогональна и найти обратную к ней:

?
(1)

A77\mathbf{A}_{77}. A77=[cos⁡α−sin⁡αsin⁡αcos⁡α]\mathbf{A}_{77} = \left[\begin{smallmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{smallmatrix}\right].

(2)

A313\mathbf{A}_{313}. A313=[2/31/2−1/(32)1/304/(32)−2/31/21/(32)]\mathbf{A}_{313} = \left[\begin{smallmatrix} 2/3 & 1/\sqrt{2} & -1/(3\sqrt{2}) \\ 1/3 & 0 & 4/(3\sqrt{2}) \\ -2/3 & 1/\sqrt{2} & 1/(3\sqrt{2}) \end{smallmatrix}\right].

(3)

A318\mathbf{A}_{318}. A318=[1/101/22/101/10−1/22/10−2/501/5]\mathbf{A}_{318} = \left[\begin{smallmatrix} 1/\sqrt{10} & 1/\sqrt{2} & 2/\sqrt{10} \\ 1/\sqrt{10} & -1/\sqrt{2} & 2/\sqrt{10} \\ -2/\sqrt{5} & 0 & 1/\sqrt{5} \end{smallmatrix}\right].

(4)

A322\mathbf{A}_{322}. A322=[1/21/31/601/3−2/6−1/21/31/6]\mathbf{A}_{322} = \left[\begin{smallmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{3} & 1/\sqrt{6} \\ 0 & 1/\sqrt{3} & -2/\sqrt{6} \\ -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{3} & 1/\sqrt{6} \end{smallmatrix}\right].

(5)

A445\mathbf{A}_{445}. A445=[1/101/21/22/102/101/2−1/2−1/101/10−1/2−1/22/102/10−1/21/2−1/10]\mathbf{A}_{445} = \left[\begin{smallmatrix} 1/\sqrt{10} & 1/2 & 1/2 & 2/\sqrt{10} \\ 2/\sqrt{10} & 1/2 & -1/2 & -1/\sqrt{10} \\ 1/\sqrt{10} & -1/2 & -1/2 & 2/\sqrt{10} \\ 2/\sqrt{10} & -1/2 & 1/2 & -1/\sqrt{10} \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.88

Доказать, что данная матрица унитарна и найти обратную к ней:

?
(1)

A103\mathbf{A}_{103}. A103=[0i−i0]\mathbf{A}_{103} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \end{smallmatrix}\right].

(2)

12A488\frac{1}{\sqrt{2}} \mathbf{A}_{488}. A488=[i0−i00i0−i01011010]\mathbf{A}_{488} = \left[\begin{smallmatrix} i & 0 & -i & 0 \\ 0 & i & 0 & -i \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.89

Пусть матрицы AA и BB — верхние треугольные. Выразить элементы матрицы ABAB через элементы матриц AA и BB.

?
Задача 15.90

Пусть матрицы AA и BB — верхние треугольные. Доказать, что матрицы A+BA + B и ABAB — также верхние треугольные.

?
Задача 15.91

Пусть матриџы AA и BB симметрические. Доказать, что:

?
(1)

A+BA + B — симметрическая матрица

(2)

AkA^{k} — симметрическая матрица при любом натуральном kk

(3)

матрица ABAB является симметрической тогда и только тогда, когда матрицы AA и BB перестановочны.

Задача 15.92

Пусть матрицы AA и BB кососимметрические. Доказать, что:

?
(1)

A+BA + B — кососимметрическая матрица

(2)

AkA^{k} — кососимметрическая матрица при нечетном kk и симметрическая матрица при четном kk

(3)

матрица ABAB является симметрической тогда и только тогда, когда AA и BB перестановочны.

(4)

Сформулировать и доказать необходимое и достаточное условие кососимметричности произведения матриц AA и BB.

Задача 15.93

Пусть AA — произвольная квадратная матрица. Доказать, что матрицы A+ATA + A^{T} и AATAA^{T} симметрические, матрица A−ATA - A^{T} кососимметрическая.

?
Задача 15.94

Доказать, что любую квадратную матрицу можно разложить в сумму симметрической и кососимметрической матриц. Единственно ли это разложение?

?
Задача 15.95

Разложить данную матрицу в сумму симметрической и кососимметрической матриц:

?
(1)

A49\mathbf{A}_{49}. A49=[4−312−8]\mathbf{A}_{49} = \left[\begin{smallmatrix} 4 & -3 \\ 12 & -8 \end{smallmatrix}\right].

(2)

A16\mathbf{A}_{16}. A16=[1−111]\mathbf{A}_{16} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(3)

A234\mathbf{A}_{234}. A234=[0220−1−200−2]\mathbf{A}_{234} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -2 \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.96

Пусть SS — невырожденная матрица и STAS=BS^{T} AS = B. Доказать, что каждое из свойств: симметричность, кососимметричность — выполняется для матриц AA и BB одновременно (т. е. если оно выполнено для матрицы AA, то выполнено и для BB, и обратно).

?
Задача 15.97

Доказать утверждение: всякая эрмитова вещественная матрица является симметрической.

?
Задача 15.98

Пусть матрицы AA и BB эрмитовы. Доказать, что:

?
(1)

матрица A+BA + B эрмитова

(2)

матрица ABAB является эрмитовой тогда и только тогда, когда матрицы AA и BB перестановочны.

Задача 15.99

Пусть AA — эрмитова матрица и A=B+iCA = B + iC, причем BB и CC — вещественные матрицы. Доказать, что BB — симметрическая матрица, а CC — кососимметрическая.

?
Задача 15.100

Доказать, что любую квадратную матрицу можно разложить в сумму эрмитовой и косоэрмитовой. Единственно ли это разложение?

?
Задача 15.101

Доказать: вещественная унитарная матрица ортогональна.

?
Задача 15.102

Доказать: если матрицы AA и BB ортогональны, то ABAB ортогональна.

?
Задача 15.103

Доказать: если матрицы AA и BB унитарны, то ABAB унитарна.

?
Задача 15.104

Пусть AA — ортогональная матрица. Доказать, что тогда сумма квадратов элементов любой ее строки равна 1, а сумма попарных произведений соответствующих элементов двух различных строк равна 0. Являются ли эти свойства определяющими?

?
Задача 15.105

Сформулировать и доказать свойства столбцов ортогональной матрицы, аналогичные 15. 104.

?
Задача 15.106

Сформулировать и доказать свойства унитарной матрицы, аналогичные свойствам 15.104,15.10515. 104, 15. 105 ортогональной.

?
Задача 15.107

Доказать, что матрица перестановки ортогональна.

?
Задача 15.108

Доказать, что если AA и BB — матрицы перестановок, то ABAB — также матрица перестановки.

?
Задача 15.109

Известно, что матрица AA диагональна и ортогональна. Что можно сказать о ее диагональных элементах λi\lambda_{i}?

?
Задача 15.110

Матрица AA диагональна и унитарна. Что можно сказать о ее диагональных элементах λi\lambda_{i}?

?
Задача 15.111

Проверить, является ли данная матрица периодичной, нильпотентной или стохастической; найти период, показатель нильпотентности:

?
(1)

A22\mathbf{A}_{22}. A22=[0110]\mathbf{A}_{22} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(2)

A14\mathbf{A}_{14}. A14=[1010]\mathbf{A}_{14} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(3)

12A12\frac{1}{2} \mathbf{A}_{12}. A12=[1111]\mathbf{A}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(4)

A5\mathbf{A}_{5}. A5=[1−11−1]\mathbf{A}_{5} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right].

(5)

A77\mathbf{A}_{77}. A77=[cos⁡α−sin⁡αsin⁡αcos⁡α]\mathbf{A}_{77} = \left[\begin{smallmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{smallmatrix}\right].

(6)

A243\mathbf{A}_{243}. A243=[100001010]\mathbf{A}_{243} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(7)

A235\mathbf{A}_{235}. A235=[121124−1−2−3]\mathbf{A}_{235} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ -1 & -2 & -3 \end{smallmatrix}\right].

(8)

A237\mathbf{A}_{237}. A237=[−11−23−362−24]\mathbf{A}_{237} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 3 & -3 & 6 \\ 2 & -2 & 4 \end{smallmatrix}\right].

(9)

A236\mathbf{A}_{236}. A236=[−253−2532−5−3]\mathbf{A}_{236} = \left[\begin{smallmatrix} -2 & 5 & 3 \\ -2 & 5 & 3 \\ 2 & -5 & -3 \end{smallmatrix}\right].

(10)

A430\mathbf{A}_{430}. A430=[000−100−1001001000]\mathbf{A}_{430} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(11)

A431\mathbf{A}_{431}. A431=[00−10000110000−100]\mathbf{A}_{431} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(12)

A457\mathbf{A}_{457}. A457=[100−1100−101−1001−10]\mathbf{A}_{457} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(13)

17A434\frac{1}{7} \mathbf{A}_{434}. A434=[1222212222122221]\mathbf{A}_{434} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(14)

A613\mathbf{A}_{613}. A613=[010…00001…00………………000…01000…00]\mathbf{A}_{613} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.112

Проверить свойство: нильпотентная матрица всегда вырождена, периодичная — невырождена.

?
Задача 15.113

Проверить свойство: если AA — нильпотентная матрица второго порядка, то A2=OA^{2} = O.

?
Задача 15.114

Проверить свойство: треугольная матрица нильпотентна тогда и только тогда, когда все ее диагональные элементы нулевые.

?
Задача 15.115

Проверить свойство: если матрицы A,BA, B нильпотентны и перестановочны, то A+BA + B и ABAB нильпотентны.

?
Задача 15.116

Проверить свойство: если матрицы AA и BB периодические и перестановочные, то ABAB — периодическая матрица. Выразить какойлибо ее период через периоды матриц A,BA, B.

?
Задача 15.117

Проверить свойство: пусть Am+Am−1+…+E=OA^{m} + A^{m - 1} + \ldots + E = O. Доказать, что AA — периодическая матрица.

?
Задача 15.118

Проверить свойство: всякая матрица перестановки периодична.

?
Задача 15.119

Проверить свойство: пусть матрица AA является одновременно унитарной и эрмитовой. Доказать, что AA периодична.

?
Задача 15.120

Пусть SS — невырожденная матрица и S−1AS=BS^{ - 1} AS = B. Проверить каждое из свойств: периодичность, нильпотентность выполняется для матриц AA и BB одновременно (т. е. если оно выполнено для матрицы AA, то выполнено и для BB, и обратно).

?
Задача 15.121

Пусть матрицы AA и BB неотрицательные. Проверить, что тогда A+B,ABA + B, AB — также неотрицательные матрицы.

?
Задача 15.122

Пусть II — столбец из единиц, и матрица AA неотрицательная. Доказать, что условие AI=IAI = I — необходимое и достаточное условие стохастичности AA.

?
Задача 15.123

Доказать, что если матрицы AA и BB стохастические, то матрица ABAB также стохастическая.

?
Задача 15.124

Пусть матрица AA стохастическая. Существует ли A−1A^{ - 1}? Будет ли A−1A^{ - 1} стохастической, если она существует?

?
Задача 15.125

В каком случае стохастическая матрица является ортогональной?

?
Задача 15.126

Доказать справедливость тождества:

?
(1)

tr⁡(A+B)=tr⁡A+tr⁡B\operatorname {tr}(A + B) = \operatorname {tr} A + \operatorname {tr} B

(2)

tr⁡AB=tr⁡BA\operatorname {tr} AB = \operatorname {tr} BA.

Задача 15.127

Пусть AA — треугольная матрица, mm — натуральное число. Вычислить след матрицы AmA^{m}.

?
Задача 15.128

Пусть AA — произвольная матрица. Вычислить:

?
(1)

tr⁡(ATA)\operatorname {tr}\left(A^{T} A\right)

(2)

tr⁡(AHA)\operatorname {tr}\left(A^{H} A\right)

(3)

Доказать, что если tr⁡(AHA)=0\operatorname {tr}\left(A^{H} A\right) = 0, то A=OA = O.

Задача 15.129

Доказать, что если AA — нильпотентная матрица второго порядка, то tr⁡A=0\operatorname {tr} A = 0.

?
Задача 15.130

Доказать, что не существует матриц AA и BB таких, что AB−BA=EAB - BA = E.

?