15.3

Обратная матрица (15.39-15.65)

[27/56%]
Показать
LaTeX
Задача 15.39

Привести примеры вырожденных и невырожденных матриц.

?
Задача 15.40

Пусть AA — вырожденная матрица второго порядка, mm — натуральное число. Доказать, что существует число λ\lambda такое, что Am=λm−1AA^{m} = \lambda^{m - 1} A для всех mm.

?
Задача 15.41

Обратима ли прямоугольная матрица?

?
Задача 15.42

Доказать, что если матрица BB, обратная к AA, существует, то det⁡A≠0,det⁡B≠0,det⁡B=(det⁡A)−1\operatorname {det} A \neq 0, \operatorname {det} B \neq 0, \operatorname {det} B = (\operatorname {det} A)^{ - 1}.

?
Задача 15.43
?
(1)

Доказать, что если A,B,CA, B, C — квадратные матрицы и AB=E,AC=EAB = E, AC = E, то B=CB = C.

(2)

Возможно ли равенство AB=EAB = E для прямоугольных матриц? Справедливо ли утверждение 1) для прямоугольных матриц?

Задача 15.44

Дана квадратная матрица A=∥aij∥A = \left\| a_{ij}\right\|. Выписать систему уравнений, которой удовлетворяют элементы jj — го столбца матрицы A−1A^{ - 1}.

?
Задача 15.45

Вычислить:

?
(1)

[3559]−1\left[\begin{smallmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9\end{smallmatrix}\right]^{ - 1}

(2)

[2−1002−1−1−11]−1\left[\begin{smallmatrix} 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 1\end{smallmatrix}\right]^{ - 1}

(3)

[0λ1λn0]−1\left[\begin{smallmatrix} 0 & & \lambda_{1} \\ \lambda_{n} & & 0\end{smallmatrix}\right]^{ - 1}

(4)

(A34)−1\left(\mathbf{A}_{34}\right)^{ - 1}. A34=[2111]\mathbf{A}_{34} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(5)

(A77)−1\left(\mathbf{A}_{77}\right)^{ - 1}. A77=[cos⁡α−sin⁡αsin⁡αcos⁡α]\mathbf{A}_{77} = \left[\begin{smallmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{smallmatrix}\right].

(6)

(A6)−1\left(\mathbf{A}_{6}\right)^{ - 1}. A6=[3457]\mathbf{A}_{6} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{smallmatrix}\right].

(7)

(A207)−1\left(\mathbf{A}_{207}\right)^{ - 1}. A207=[12025−20−25]\mathbf{A}_{207} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & -2 \\ 0 & -2 & 5 \end{smallmatrix}\right].

(8)

(A203)−1\left(\mathbf{A}_{203}\right)^{ - 1}. A203=[22−12−12−122]\mathbf{A}_{203} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(9)

(A202)−1\left(\mathbf{A}_{202}\right)^{ - 1}. A202=[12221−22−21]\mathbf{A}_{202} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(10)

(A227)−1\left(\mathbf{A}_{227}\right)^{ - 1}. A227=[111122234]\mathbf{A}_{227} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 4 \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.46

Доказать, что матрица, обратная к элементарной, есть элементарная матрица.

?
Задача 15.47

Вычислить обратную к данной элементарной матрице:

?
(1)

[−2001]\left[\begin{smallmatrix} - 2 & 0 \\ 0 & 1\end{smallmatrix}\right]

(2)

[0110]\left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{smallmatrix}\right]

(3)

[1031]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1\end{smallmatrix}\right]

(4)

[1−20010001]\left[\begin{smallmatrix} 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{smallmatrix}\right]

(5)

[300010001]\left[\begin{smallmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{smallmatrix}\right]

(6)

[100010201]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1\end{smallmatrix}\right]

(7)

[1000−10001]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{smallmatrix}\right]

(8)

[100001010]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{smallmatrix}\right]

(9)

A13\mathbf{A}_{13}. A13=[1101]\mathbf{A}_{13} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(10)

A43\mathbf{A}_{43}. A43=[1n01]\mathbf{A}_{43} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(11)

A200\mathbf{A}_{200}. A200=[001010100]\mathbf{A}_{200} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.48

Проверить, справедливо ли тождество:

?
(1)

(AT)−1=(A−1)T\left(A^{T}\right)^{ - 1} = \left(A^{ - 1}\right)^{T}

(2)

(αA)−1=α−1A−1(\alpha A)^{ - 1} = \alpha^{ - 1} A^{ - 1}

(3)

(AB)−1=B−1A−1(AB)^{ - 1} = B^{ - 1} A^{ - 1}

(4)

(ABC)−1=C−1B−1A−1(ABC)^{ - 1} = C^{ - 1} B^{ - 1} A^{ - 1}

(5)

(A−1)k=(Ak)−1\left(A^{ - 1}\right)^{k} = \left(A^{k}\right)^{ - 1}

(6)

(A+B)−1=A−1+B−1(A + B)^{ - 1} = A^{ - 1} + B^{ - 1}.

Задача 15.49
?
(1)

Доказать, что квадратную матрицу с помощью элементарных преобразований строк можно перевести в единичную тогда и только тогда, когда она невырождена.

(2)

Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для элементарных преобразований столбцов матрицы.

Задача 15.50

Доказать, что всякая невырожденная матрица есть произведение элементарных матриц.

?
Задача 15.51

Разложить данную матрицу в произведение элементарных матриц:

?
(1)

(p)[110−2](\mathrm{p})\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & - 2\end{smallmatrix}\right]

(2)

[1−111]\left[\begin{smallmatrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1\end{smallmatrix}\right]

(3)

[0−213]\left[\begin{smallmatrix} 0 & - 2 \\ 1 & 3\end{smallmatrix}\right]

(4)

[100112113]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 3\end{smallmatrix}\right].

Задача 15.52
?
(1)

Пусть A,BA, B — матрицы одного порядка и матрица AA с помощью цепочки элементарных преобразований строк переведена в единичную матрицу EE. В какую матрицу переведет та же цепочка элементарных преобразований матрицу EE? Матрицу BB?

(2)

Ответить на те же вопросы для цепочки элементарных преобразований столбцов матрицы AA, переводящих AA в EE.

Задача 15.53
?
(1)

Описать и обосновать способ вычисления матрицы A−1A^{ - 1}, использующий элементарные преобразования строк матрицы ∥BE∥□\left\| BE\right\|^{\square }.

(2)

Описать и обосновать способ вычисления матрицы A−1A^{ - 1}, использующий элементарные преобразования столбцов матрицы [AE]□\left[\begin{smallmatrix} A \\ E\end{smallmatrix}\right]^{\square }.

Задача 15.54

Вычислить:

?
(1)

[00−10000110000−100]−1\left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0\end{smallmatrix}\right]^{ - 1}

(2)

[1110−121014100003]−1\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3\end{smallmatrix}\right]^{ - 1}

(3)

[11…101…1……….00…1]−1\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 0 & 1 & \ldots & 1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & . \\ 0 & 0 & \ldots & 1\end{smallmatrix}\right]^{ - 1}

(4)

(A430)−1\left(\mathbf{A}_{430}\right)^{ - 1}. A430=[000−100−1001001000]\mathbf{A}_{430} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(5)

(A432)−1\left(\mathbf{A}_{432}\right)^{ - 1}. A432=[0−1001000000−10010]\mathbf{A}_{432} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(6)

(A433)−1\left(\mathbf{A}_{433}\right)^{ - 1}. A433=[1−21001−21001−20001]\mathbf{A}_{433} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(7)

(A434)−1\left(\mathbf{A}_{434}\right)^{ - 1}. A434=[1222212222122221]\mathbf{A}_{434} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(8)

(A439)−1\left(\mathbf{A}_{439}\right)^{ - 1}. A439=[0111−1011−1−101−1−1−10]\mathbf{A}_{439} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(9)

(A601)−1\left(\mathbf{A}_{601}\right)^{ - 1}. A601=[λ100⋯000λ20⋯0000λ3⋯00⋮⋮⋮⋱⋮⋮000⋯λn−10000⋯0λn]\mathbf{A}_{601} = \left[\begin{smallmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_{n} \end{smallmatrix}\right].

(10)

(A614)−1\left(\mathbf{A}_{614}\right)^{ - 1}. A614=[010…0001…0………….000…1100…0]\mathbf{A}_{614} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & . \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \end{smallmatrix}\right].

(11)

(A609)−1\left(\mathbf{A}_{609}\right)^{ - 1}. A609=[1−10…0001−1…00………………000…1−1000…01]\mathbf{A}_{609} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(12)

(A608)−1\left(\mathbf{A}_{608}\right)^{ - 1}. A608=[110…00011…00⋯⋯⋯⋯⋯⋯000…11000…01]\mathbf{A}_{608} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(13)

(A618)−1\left(\mathbf{A}_{618}\right)^{ - 1}. A618=[123…n012…n−1……………000…1]\mathbf{A}_{618} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & n \\ 0 & 1 & 2 & \ldots & n-1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.55

Пусть A2+A+E=OA^{2} + A + E = O. Доказать, что матрица AA невырождена, и указать простейший способ вычисления A−1A^{ - 1}.

?
Задача 15.56

Пусть Am=OA^{m} = O. Доказать, что (E−A)−1=E+A+⋯+Am−1(E - A)^{ - 1} = E + A + \cdots + A^{m - 1}.

?
Задача 15.57

Матрица AA коммутирует с BB. Доказать, что тогда A−1A^{ - 1} коммутирует с B−1B^{ - 1} (предполагается, что матрицы обратимы).

?
Задача 15.58

Проверить формулу (S−1AS)m=S−1AmS\left(S^{ - 1} AS\right)^{m} = S^{ - 1} A^{m} S.

?
Задача 15.59

Пусть S−1AS=BS^{ - 1} AS = B и f(t)f(t) — многочлен. Доказать, что f(B)=S−1f(A)Sf(B) = S^{ - 1} f(A) S.

?
Задача 15.60

Пусть a,b\mathbf{a}, \mathbf{b} — столбцы одинаковой высоты, 1/μ=1+bTa≠0,B=E+abT1 / \mu = 1 + \mathbf{b}^{T} \mathbf{a} \neq 0, B = E + \mathbf{ab}^{T}. Проверить справедливость равенства B−1=E−μabTB^{ - 1} = E - \mu \mathbf{ab}^{T}.

?
Задача 15.61

Пусть a,b\mathbf{a}, \mathbf{b} — столбцы высоты n,An, A — обратимая матрица порядка n,1/μ=1+bTA−1a≠0n, 1 / \mu = 1 + \mathbf{b}^{T} A^{ - 1} \mathbf{a} \neq 0 и B=A+abTB = A + \mathbf{ab}^{T}. Проверить справедливость равенства B−1=A−1−μA−1abTA−1B^{ - 1} = A^{ - 1} - \mu A^{ - 1} \mathbf{ab}^{T} A^{ - 1}.

?
Задача 15.62
?
(1)

Описать и обосновать способ вычисления произведения A−1BA^{ - 1} B, использующий элементарные преобразования строк матрицы ∥BE∥□\left\| BE\right\|^{\square }.

(2)

Описать и обосновать способ вычисления произведения AB−1AB^{ - 1}, использующий элементарные преобразования столбцов матрицы [AE]□\left[\begin{smallmatrix} A \\ E\end{smallmatrix}\right]^{\square }.

Задача 15.63

Вычислить произведения матриц:

?
(1)

[1101]−1⋅[2513]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{smallmatrix}\right]^{ - 1} \cdot \left[\begin{smallmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3\end{smallmatrix}\right]

(2)

A205A203−1\mathbf{A}_{205} \mathbf{A}_{203}^{ - 1}. A205=[123234345],A203=[22−12−12−122]\mathbf{A}_{205} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{203} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(3)

A203−1A205\mathbf{A}_{203}^{ - 1} \mathbf{A}_{205}. A203=[22−12−12−122],A205=[123234345]\mathbf{A}_{203} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{205} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{smallmatrix}\right].

(4)

A210−1A205\mathbf{A}_{210}^{ - 1} \mathbf{A}_{205}. A210=[013235357],A205=[123234345]\mathbf{A}_{210} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{205} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{smallmatrix}\right].

(5)

A450−1A431\mathbf{A}_{450}^{ - 1} \mathbf{A}_{431}. A450=[1234012300120001],A431=[00−10000110000−100]\mathbf{A}_{450} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{431} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(6)

A618A617−1\mathbf{A}_{618} \mathbf{A}_{617}^{ - 1}. A618=[123…n012…n−1……………000…1],A617=[111…11011…11………………000…11000…01]\mathbf{A}_{618} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & n \\ 0 & 1 & 2 & \ldots & n-1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{617} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.64

Пусть матрицы A,CA, C невырожденные. Решить матричное уравнение:

?
(1)

AX=OAX = O

(2)

AX=BAX = B

(3)

XA=BXA = B

(4)

AXC=BAXC = B

(5)

A(X+C)=BA(X + C) = B.

Задача 15.65

Найти матрицу XX из уравнения:

?
(1)

[2513]X=[2111]\left[\begin{smallmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3\end{smallmatrix}\right] X =\left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1\end{smallmatrix}\right]

(2)

X[2513]=[2111]X\left[\begin{smallmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3\end{smallmatrix}\right] =\left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1\end{smallmatrix}\right]

(3)

[2111]X=[1017]\left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1\end{smallmatrix}\right] X =\left[\begin{smallmatrix} 10 \\ 17\end{smallmatrix}\right]

(4)

[12025−20−25]X=[100011010]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & - 2 \\ 0 & - 2 & 5\end{smallmatrix}\right] X =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{smallmatrix}\right]

(5)

X[22−12−12−122]=[55258−1]X\left[\begin{smallmatrix} 2 & 2 & - 1 \\ 2 & - 1 & 2 \\ - 1 & 2 & 2\end{smallmatrix}\right] =\left[\begin{smallmatrix} 5 & 5 & 2 \\ 5 & 8 & - 1\end{smallmatrix}\right]

(6)

X[1111]=[1−11−1]X\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1\end{smallmatrix}\right] =\left[\begin{smallmatrix} 1 & - 1 \\ 1 & - 1\end{smallmatrix}\right]

(7)

[1101]X=X[1101]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{smallmatrix}\right] X = X\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{smallmatrix}\right]

(8)

A12X=A5\mathbf{A}_{12} X = \mathbf{A}_{5}. A12=[1111],A5=[1−11−1]\mathbf{A}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{5} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right].

(9)

XA12=A12X\mathbf{A}_{12} = \mathbf{A}_{12}. A12=[1111],A12=[1111]\mathbf{A}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(10)

X−1A12X=A21X^{ - 1} \mathbf{A}_{12} X = \mathbf{A}_{21}. A12=[1111],A21=[0002]\mathbf{A}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{21} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(11)

A111X=A228\mathbf{A}_{111} X = \mathbf{A}_{228}. A111=[111122],A228=[124124248]\mathbf{A}_{111} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{228} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 8 \end{smallmatrix}\right].

(12)

A229X=A116\mathbf{A}_{229} X = \mathbf{A}_{116}. A229=[2−1002−1−1−11],A116=[1001−1−1]\mathbf{A}_{229} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{116} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{smallmatrix}\right].

(13)

A203X=c53\mathbf{A}_{203} X = \mathbf{c}_{53}. A203=[22−12−12−122],c53=[711]\mathbf{A}_{203} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{53} = \left[\begin{smallmatrix} 7 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(14)

A126X=A230\mathbf{A}_{126} X = \mathbf{A}_{230}. A126=[3231−20],A230=[−143−2532−4−2]\mathbf{A}_{126} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 2 \\ 3 & 1 \\ -2 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{230} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & 4 & 3 \\ -2 & 5 & 3 \\ 2 & -4 & -2 \end{smallmatrix}\right].

(15)

A113X=A213\mathbf{A}_{113} X = \mathbf{A}_{213}. A113=[010110],A213=[111222333]\mathbf{A}_{113} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{213} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{smallmatrix}\right].

(16)

XA227=A229X\mathbf{A}_{227} = \mathbf{A}_{229}. A227=[111122234],A229=[2−1002−1−1−11]\mathbf{A}_{227} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{229} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{smallmatrix}\right].