Банк задач по математике

Задача 15.25

Доказать, что $k$ — й столбец матрицы $AB$ равен произведению матрицы $A$ на $k$ — й столбец $B$ .

?

Задача 15.26

Сформулировать и доказать предложение, аналогичное 15. 25, для строк.

?

Задача 15.27

Доказать, что $k$ — й столбец матрицы $AB$ равен линейной комбинации столбцов матрицы $A$ с коэффициентами из элементов $k$ — го столбца матрицы $B$ .

?

Задача 15.28

Сформулировать и доказать аналог предложения 15. 27 для строк.

?

Задача 15.29

(1)(2)(3)

Доказать, что:

?

(1)

при перестановке двух строк матрицы $A$ соответствующие строки в $AB$ также переставляются

(2)

если $k$ — ю строку матрицы $A$ умножить на число $\lambda$ , то $k$ — я строка $AB$ также умножится на $\lambda$

(3)

если к $k$ — й строке матрицы $A$ прибавить ее $j$ — ю строку, то с матрицей $AB$ произойдет то же элементарное преобразование.

Задача 15.30

(1)(2)(3)

Сформулировать и доказать аналоги предложений 15.29 для столбцов. А именно, доказать, что

?

(1)

при перестановке двух столбцов матрицы $A$ соответствующие столбцы в $AB$ также переставляются

(2)

если $k$ — й столбец матрицы $A$ умножить на число $\lambda$ , то $k$ — й столбец $AB$ также умножится на $\lambda$

(3)

если к $k$ — му столбцу матрицы $A$ прибавить ее $j$ — й столбец, то с матрицей $AB$ произойдет то же элементарное преобразование.

Задача 15.31

(1)(2)

?

(1)

Доказать, что прибавление к строке матрицы линейной комбинации остальных ее строк может быть осуществлено при помощи последовательного применения основных элементарных преобразований строк.

(2)

Доказать аналогичное утверждение для преобразования, состоящего в перестановке двух строк матрицы.

Задача 15.32

Вычислить произведение $\mathbf{e}_{i} A\mathbf{e}_{k}^{T}$ для произвольной матрицы $A$ (через $\mathbf{e}_{i}$ обозначена $i$ — я строка единичной матрицы подходящего размера).

?

Задача 15.33

(1)(2)

Для произвольной матрицы $A$ и матричной единицы $E_{ij}$ подходящего размера вычислить произведение:

?

(1)

$E_{ij} A$

(2)

$AE_{ij}$ .

Задача 15.34

Пусть матрицы $A$ и $B$ таковы, что для произвольных столбцов $\xi$ и $\eta$ подходящей высоты выполнено равенство $\xi^{T} A\eta = \xi^{T} B\eta$ . Доказать, что $A = B$ .

?

Задача 15.35

Пусть $A$ — матрица размеров $m \times n, E_{m}$ и $E_{n}$ — единичные матрицы порядка $m$ и $n$ соответственно. Доказать, что $E_{m} A = AE_{n} = A$ .

?

Задача 15.36

(1)(2)

На какую матрицу следует умножить матрицу $A$ , чтобы в результате получить:

?

(1)

первый столбец $A$ ;

(2)

первую строку $A$ ?

Задача 15.37

(1)(2)(3)

Подобрать элементарную матрицу $K$ так, чтобы матрица $KA$ получалась из $A$ :

?

(1)

перестановкой двух первых строк $A$

(2)

прибавлением первой строки ко второй

(3)

умножением первой строки $A$ на число $\lambda \neq 0$ .

Задача 15.38

Подобрать элементарную матрицу $K$ так, чтобы произведение $AK$ получалось из $A$ при помощи заданного элементарного преобразования столбцов.

?

Связь умножения матриц и элементарных преобразований (15.25-15.38)