15.1

Основные операции с матрицами: умножение на число, сложение и умножение матриц (15.1-15.24)

[24/83%]
Показать
LaTeX
Задача 15.1

Сформулировать требования, которые надо предъявить к матрицам для того, чтобы их можно было сложить.

?
Задача 15.2

Вычислить линейную комбинацию матриц:

?
(1)

3[1212]−[3232]−4[0101]3\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2\end{smallmatrix}\right] -\left[\begin{smallmatrix} 3 & 2 \\ 3 & 2\end{smallmatrix}\right] - 4\left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1\end{smallmatrix}\right]

(2)

2[221]−3[056]2\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 2 \\ 1\end{smallmatrix}\right] - 3\left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 5 \\ 6\end{smallmatrix}\right]

(3)

2[187−151−5−611]−[524−7−1−1−273]2\left[\begin{smallmatrix} 1 & 8 & 7 & - 15 \\ 1 & - 5 & - 6 & 11\end{smallmatrix}\right] -\left[\begin{smallmatrix} 5 & 24 & - 7 & - 1 \\ - 1 & - 2 & 7 & 3\end{smallmatrix}\right]

(4)

A18+A40\mathbf{A}_{18} + \mathbf{A}_{40}. A18=[1234],A40=[4−2−31]\mathbf{A}_{18} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{40} = \left[\begin{smallmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(5)

A28−A12\mathbf{A}_{28} - \mathbf{A}_{12}. A28=[1331],A12=[1111]\mathbf{A}_{28} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(6)

2A573−A5712\mathbf{A}_{573} - \mathbf{A}_{571}. A573=[0011101001],A571=[1011101111]\mathbf{A}_{573} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{571} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(7)

12(c51+c52)\frac{1}{2}\left(\mathbf{c}_{51} + \mathbf{c}_{52}\right). c51=[11−1],c52=[1−11]\mathbf{c}_{51} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{52} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.3

Описать условия, при которых верны следующие тождества, и доказать эти тождества (A,B,C(A, B, C — матрицы, α,β\alpha , \beta — числа):

?
(1)

A+B=B+AA + B = B + A

(2)

A+(B+C)=(A+B)+CA + (B + C) = (A + B) + C

(3)

α(βA)=(αβ)A\alpha (\beta A) = (\alpha \beta ) A

(4)

α(A+B)=αA+αB\alpha (A + B) = \alpha A + \alpha B

(5)

(α+β)A=αA+βA(\alpha + \beta ) A = \alpha A + \beta A.

Задача 15.4
?
(1)

Можно ли умножить строку длины mm на столбец высоты nn?

(2)

Можно ли умножить столбец высоты nn на строку длины mm?

Задача 15.5

Вычислить произведение матриц:

?
(1)

[2−30][431]\left[\begin{smallmatrix} 2 & - 3 & 0\end{smallmatrix}\right]\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 3 \\ 1\end{smallmatrix}\right]

(2)

[431][2−30]\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 3 \\ 1\end{smallmatrix}\right] \left[\begin{smallmatrix} 2 & -3 & 0 \end{smallmatrix}\right]

(3)

[1111][3559]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1\end{smallmatrix}\right]\left[\begin{smallmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9\end{smallmatrix}\right]

(4)

A1A12\mathbf{A}_{1} \mathbf{A}_{12}. A1=[10],A12=[1111]\mathbf{A}_{1} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(5)

A4A395\mathbf{A}_{4} \mathbf{A}_{395}. A4=[0100],A395=[143032010021]\mathbf{A}_{4} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{395} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(6)

A442c168\mathbf{A}_{442} \mathbf{c}_{168}. A442=[33−4−3061154212332],c168=[0100]\mathbf{A}_{442} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 3 & -4 & -3 \\ 0 & 6 & 1 & 1 \\ 5 & 4 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 3 & 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{168} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{smallmatrix}\right].

(7)

A110A12\mathbf{A}_{110} \mathbf{A}_{12}. A110=[312110],A12=[1111]\mathbf{A}_{110} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(8)

A3A205\mathbf{A}_{3} \mathbf{A}_{205}. A3=[111],A205=[123234345]\mathbf{A}_{3} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{205} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{smallmatrix}\right].

(9)

A436c166\mathbf{A}_{436} \mathbf{c}_{166}. A436=[1111101100100011],c166=[1111]\mathbf{A}_{436} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{166} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(10)

A601A602\mathbf{A}_{601} \mathbf{A}_{602}. A601=[λ100⋯000λ20⋯0000λ3⋯00⋮⋮⋮⋱⋮⋮000⋯λn−10000⋯0λn],A602=[1/λ100⋯0001/λ20⋯00001/λ3⋯00⋮⋮⋮⋱⋮⋮000⋯1/λn−10000⋯01/λn]\mathbf{A}_{601} = \left[\begin{smallmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_{n} \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{602} = \left[\begin{smallmatrix} 1/\lambda_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1/\lambda_2 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1/\lambda_3 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1/\lambda_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1/\lambda_{n} \end{smallmatrix}\right].

(11)

A601A605\mathbf{A}_{601} \mathbf{A}_{605}. A601=[λ100⋯000λ20⋯0000λ3⋯00⋮⋮⋮⋱⋮⋮000⋯λn−10000⋯0λn],A605=[00⋯00λ100⋯0λ2000⋯λ300⋮⋮\iddots⋮⋮⋮0λn−1⋯000λn0⋯000]\mathbf{A}_{601} = \left[\begin{smallmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_{n} \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{605} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \lambda_1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_3 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \iddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \lambda_{n-1} & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \lambda_n & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(12)

A605A601\mathbf{A}_{605} \mathbf{A}_{601}. A605=[00⋯00λ100⋯0λ2000⋯λ300⋮⋮\iddots⋮⋮⋮0λn−1⋯000λn0⋯000],A601=[λ100⋯000λ20⋯0000λ3⋯00⋮⋮⋮⋱⋮⋮000⋯λn−10000⋯0λn]\mathbf{A}_{605} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \lambda_1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_3 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \iddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \lambda_{n-1} & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \lambda_n & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{601} = \left[\begin{smallmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_{n} \end{smallmatrix}\right].

(13)

(A206)2\left(\mathbf{A}_{206}\right)^{2}. A206=[−111−521176−26−21]\mathbf{A}_{206} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & 1 & 1 \\ -5 & 21 & 17 \\ 6 & -26 & -21 \end{smallmatrix}\right].

(14)

(A200)2\left(\mathbf{A}_{200}\right)^{2}. A200=[001010100]\mathbf{A}_{200} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(15)

(A617)2\left(\mathbf{A}_{617}\right)^{2}. A617=[111…11011…11………………000…11000…01]\mathbf{A}_{617} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(16)

(A645)2\left(\mathbf{A}_{645}\right)^{2} при ε=e2πi/n\varepsilon = e^{2\pi i / n}. A645=[111…11εε2…εn−11ε2ε4…ε2(n−1)…………………………1εn−1ε2(n−1)…ε(n−1)2]\mathbf{A}_{645} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 1 & \varepsilon & \varepsilon^2 & \ldots & \varepsilon^{n-1} \\ 1 & \varepsilon^2 & \varepsilon^4 & \ldots & \varepsilon^{2(n-1)} \\ \ldots \ldots \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots \ldots \\ 1 & \varepsilon^{n-1} & \varepsilon^{2(n-1)} & \ldots & \varepsilon^{(n-1)^2} \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.6

Каким условиям должны удовлетворять матрицы AA и BB, чтобы:

?
(1)

существовало произведение ABAB

(2)

существовало произведение BABA

(3)

существовали произведения ABAB и BABA?

Задача 15.7

Выразить размеры матриџы ABAB через размеры AA и BB.

?
Задача 15.8

Матрицы A,CA, C имеют размеры соответственно m×nm \times n и p×qp \times q, и существует произведение ABCABC. Каковы размеры матриц B,ABCB, ABC?

?
Задача 15.9

Проверить справедливость тождества (A,B,C,DA, B, C, D — матрицы, α\alpha - — число):

?
(1)

α(AB)=(αA)B\alpha (AB) = (\alpha A) B

(2)

(AB)C=A(BC)(AB) C = A(BC)

(3)

A(B+C)=AB+ACA(B + C) = AB + AC

(4)

(A+B)C=AC+BC(A + B) C = AC + BC

(5)

A(B+C+D)=AB+AC+ADA(B + C + D) = AB + AC + AD.

Задача 15.10

Проверить, существует ли произведение, и если да, то вычислить его:

?
(1)

[1234][12][21]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{smallmatrix}\right]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2\end{smallmatrix}\right]\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 1\end{smallmatrix}\right]

(2)

[24][12][21]\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 4\end{smallmatrix}\right]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2\end{smallmatrix}\right]\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 1\end{smallmatrix}\right]

(3)

[122][21][24]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{smallmatrix}\right]\left[\begin{smallmatrix} 2 & 1\end{smallmatrix}\right]\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 4 \end{smallmatrix}\right]

(4)

A2A8c8A2\mathbf{A}_{2} \mathbf{A}_{8} \mathbf{c}_{8} \mathbf{A}_{2}. A2=[−1213],A8=[13574136472842328523],c8=[−11],A2=[−1213]\mathbf{A}_{2} = \left[\begin{smallmatrix} -12 & 13 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{8} = \left[\begin{smallmatrix} 13574 & 13647 \\ 28423 & 28523 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{8} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{2} = \left[\begin{smallmatrix} -12 & 13 \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.11

Вычислить:

?
(1)

[1111]n\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1\end{smallmatrix}\right]^{n}

(2)

[111000000]n\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{smallmatrix}\right]^{n}

(3)

[0100001000010000]3\left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{smallmatrix}\right]^{3}

(4)

(A5)n\left(\mathbf{A}_{5}\right)^{n}. A5=[1−11−1]\mathbf{A}_{5} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right].

(5)

(A13)n\left(\mathbf{A}_{13}\right)^{n}. A13=[1101]\mathbf{A}_{13} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(6)

(A14)n\left(\mathbf{A}_{14}\right)^{n}. A14=[1010]\mathbf{A}_{14} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(7)

(A77)n\left(\mathbf{A}_{77}\right)^{n}. A77=[cos⁡α−sin⁡αsin⁡αcos⁡α]\mathbf{A}_{77} = \left[\begin{smallmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{smallmatrix}\right].

(8)

(A601)n\left(\mathbf{A}_{601}\right)^{n}. A601=[λ100⋯000λ20⋯0000λ3⋯00⋮⋮⋮⋱⋮⋮000⋯λn−10000⋯0λn]\mathbf{A}_{601} = \left[\begin{smallmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_{n} \end{smallmatrix}\right].

(9)

(A614)n\left(\mathbf{A}_{614}\right)^{n}. A614=[010…0001…0………….000…1100…0]\mathbf{A}_{614} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & . \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \end{smallmatrix}\right].

(10)

(A613)n\left(\mathbf{A}_{613}\right)^{n}. A613=[010…00001…00………………000…01000…00]\mathbf{A}_{613} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.12

Транспонировать матрицу:

?
(1)

[7−4−53]\left[\begin{smallmatrix} 7 & - 4 \\ - 5 & 3\end{smallmatrix}\right]

(2)

[0λ1λn0]\left[\begin{smallmatrix} 0 & & \lambda_{1} \\ \lambda_{n} & & 0\end{smallmatrix}\right]

(3)

[123]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3\end{smallmatrix}\right]

(4)

[1234]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{smallmatrix}\right]

(5)

A9\mathbf{A}_{9}. A9=[9−5−53]\mathbf{A}_{9} = \left[\begin{smallmatrix} 9 & -5 \\ -5 & 3 \end{smallmatrix}\right].

(6)

A390\mathbf{A}_{390}. A390=[211301]\mathbf{A}_{390} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(7)

A544\mathbf{A}_{544}. A544=[1230023400111000001200034]\mathbf{A}_{544} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 4 \end{smallmatrix}\right].

(8)

A632\mathbf{A}_{632}. A632=[011…111−101…111−1−10…111…………………−1−1−1…−1−10]\mathbf{A}_{632} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & \ldots & 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 0 & \ldots & 1 & 1 & 1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ -1 & -1 & -1 & \ldots & -1 & -1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.13

Проверить справедливость тождества:

?
(1)

(αA)T=αAT(\alpha A)^{T} = \alpha A^{T}

(2)

(AB)T=BTAT(AB)^{T} = B^{T} A^{T}

(3)

(ABC)T=CTBTAT(ABC)^{T} = C^{T} B^{T} A^{T}

(4)

(A+B)T=AT+BT(A + B)^{T} = A^{T} + B^{T}.

Задача 15.14

Вычислить матрицу P=E−(ei−ek)T(ei−ek)P = E - \left(\mathbf{e}_{i} - \mathbf{e}_{k}\right)^{T}\left(\mathbf{e}_{i} - \mathbf{e}_{k}\right) (через ei\mathbf{e}_{i} обозначена ii — я строка единичной матрицы EE).

?
Задача 15.15

Пусть a,b\mathbf{a}, \mathbf{b} — столбцы одинаковой высоты и H=abTH = \mathbf{ab}^{T}. Доказать, что H2=λHH^{2} = \lambda H для некоторого числа λ\lambda.

?
Задача 15.16

Всегда ли верно матричное равенство AB=BAAB = BA? Привести примеры коммутирующих и некоммутирующих матриц.

?
Задача 15.17

Что можно сказать о размерах матриц A,BA, B, если AB=BA?AB = BA?

?
Задача 15.18

Вычислить матрицу [A,B]=AB−BA\left[A, B\right] = AB - BA (коммутатор матриц A,BA, B), если:

?
(1)

A=A12,B=A5A = \mathbf{A}_{12}, B = \mathbf{A}_{5}. A12=[1111],A5=[1−11−1]\mathbf{A}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{5} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right].

(2)

A=A20,B=A16A = \mathbf{A}_{20}, B = \mathbf{A}_{16}. A20=[0−110],A16=[1−111]\mathbf{A}_{20} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{16} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.19

Проверить справедливость тождества (см. задачу 15. 18):

?
(1)

[A,B]=−[B,A]\left[A, B\right] = - \left[B, A\right]

(2)

[A,A]=O\left[A, A\right] = O

(3)

[A,E]=[E,A]=O\left[A, E\right] = \left[E, A\right] = O

(4)

[A,(B+C)]=[A,B]+[A,C]\left[A, (B + C)\right] = \left[A, B\right] + \left[A, C\right]

Задача 15.20

Вычислить матрицу {A,B}=12(AB+BA)\left\{ A, B\right\} = \frac{1}{2}(AB + BA) (произведение Йордана матриц A,B)A, B), если:

?
(1)

A=A12,B=A5A = \mathbf{A}_{12}, B = \mathbf{A}_{5}. A12=[1111],A5=[1−11−1]\mathbf{A}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{5} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right].

(2)

A=A20,B=A16A = \mathbf{A}_{20}, B = \mathbf{A}_{16}. A20=[0−110],A16=[1−111]\mathbf{A}_{20} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{16} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.21

Проверить справедливость тождества (см. задачу 15.20):

?
(1)

{A,B}={B,A}\left\{ A, B\right\} = \left\{ B, A\right\}

(2)

{A,A}=A2\left\{ A, A\right\} = A^{2}

(3)

{A,E}=A\left\{ A, E\right\} = A

(4)

{A,(B+C)}={A,B}+{A,C}\left\{ A, (B + C)\right\} = \left\{ A, B\right\} + \left\{ A, C\right\}.

Задача 15.22

Вычислить f(A)f(A), если:

?
(1)

f(t)=t2−2t+1,A=[1111]f(t) = t^{2} - 2t + 1, A =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1\end{smallmatrix}\right]

(2)

f(t)=t2−2t+1,A=[1101]f(t) = t^{2} - 2t + 1, A =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{smallmatrix}\right]

(3)

f(t)=t2−3t+2,A=A11f(t) = t^{2} - 3t + 2, A = \mathbf{A}_{11}. A11=[0−213]\mathbf{A}_{11} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 3 \end{smallmatrix}\right].

(4)

f(t)=(t−ε)2,A=A78f(t) = (t - \varepsilon )^{2}, A = \mathbf{A}_{78}. A78=[ε1−1ε]\mathbf{A}_{78} = \left[\begin{smallmatrix} \varepsilon & 1 \\ -1 & \varepsilon \end{smallmatrix}\right].

(5)

f(t)=t2+t+1,A=A206f(t) = t^{2} + t + 1, A = \mathbf{A}_{206}. A206=[−111−521176−26−21]\mathbf{A}_{206} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & 1 & 1 \\ -5 & 21 & 17 \\ 6 & -26 & -21 \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.23

Разложив многочлен f(t)f(t) на множители, вычислить f(A)f(A), если:

?
(1)

f(t)=t2−t,A=A230f(t) = t^{2} - t, A = \mathbf{A}_{230}. A230=[−143−2532−4−2]\mathbf{A}_{230} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & 4 & 3 \\ -2 & 5 & 3 \\ 2 & -4 & -2 \end{smallmatrix}\right].

(2)

f(t)=t2+2t−3,A=A214f(t) = t^{2} + 2t - 3, A = \mathbf{A}_{214}. A214=[131616−5−7−6−6−8−7]\mathbf{A}_{214} = \left[\begin{smallmatrix} 13 & 16 & 16 \\ -5 & -7 & -6 \\ -6 & -8 & -7 \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.24

Проверить, справедливы ли матричные тождества:

?
(1)

(A+B)2=A2+2AB+B2(A + B)^{2} = A^{2} + 2AB + B^{2}

(2)

(A+B)(A−B)=(A−B)(A+B)(A + B)(A - B) = (A - B)(A + B)

(3)

A2−B2=(A+B)(A−B)A^{2} - B^{2} = (A + B)(A - B)

(4)

(A+E)3=A3+3A2+3A+E(A + E)^{3} = A^{3} + 3A^{2} + 3A + E.