Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре/4 · Поверхности второго порядка

§ 11

Общая теория поверхностей второго порядка

[23/78%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Содержание

11.1 · Инварианты. Общие свойства поверхностей второго порядка (11.1-11.18)

11.2 · Определение вида и расположения поверхности, заданной общим уравнением второго порядка (11.19-11.23)

Подпараграф

11.1 · Инварианты. Общие свойства поверхностей второго порядка (11.1-11.18)[18/72%]

Задача 11.1

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)

Перечислить поверхности второго порядка, для которых:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$R = 4$

(2)

$R = 3$

(3)

$R = 2$

(4)

$R = 1$

(5)

$r = 3$

(6)

$r = 2$

(7)

$r = 1$ .

Задача 11.2

Охарактеризовать с помощью инвариантов «основную》 группу вещественных поверхностей второго порядка: эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 11.3

(1)(2)(3)

Охарактеризовать с помощью инвариантов следующие группы поверхностей второго порядка:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

параболоиды и параболические цилиндры

(2)

поверхности, состоящие из плоскостей

(3)

«мнимые» поверхности: «мнимые эллипсоиды», «мнимые конусы», «мнимые эллиптические цилиндры», «пары мнимых пересекающихся плоскостей», «пары мнимых параллельных плоскостей».

Задача 11.4

(1)(2)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

Какие из «мнимых» поверхностей второго порядка (см. задачу $11. 3, 3)$ ) не имеют вещественных точек? Охарактеризовать с помощью инвариантов эту группу поверхностей.

(2)

Какие из «мнимых» поверхностей второго порядка имеют вещественные точки и как эти поверхности выглядят? Охарактеризовать с помощью инвариантов эту группу поверхностей.

Задача 11.5

Охарактеризовать с помощью инвариантов поверхности второго порядка, не вырождающиеся в пустое множество, в точку, прямую, плоскость или пару плоскостей.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 11.6

(1)(2)

Охарактеризовать с помощью инвариантов вещественные поверхности, имеющие:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

два семейства прямолинейных образующих

(2)

одно семейство прямолинейных образующих.

Задача 11.7

Перечислить поверхности второго порядка, канонические уравнения которых содержат ненулевой свободный член. Охарактеризовать эти поверхности с помощью инвариантов.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 11.8

(1)(2)

Пусть уравнение поверхности записано в матричной форме (2), преобразованное — в форме (4) (см. введение к § 11). Выразить коэффициенты $A^{\prime }, \mathbf{a}^{\prime }, k^{\prime }$ через $A, \mathbf{a}, k$ , если:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$\xi = \xi^{\prime } + \mathbf{b}$

(2)

$\xi = S\xi^{\prime } + \mathbf{b}$ .

Задача 11.9

(1)(2)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

Проверить, что существуют такие уравнения второй степени, в которых с помощью перехода к новой декартовой системе координат нельзя уничтожить все члены с первыми степенями переменных. Перечислить все типы таких поверхностей и охарактеризовать их с помощью инвариантов.

(2)

Проверить, что существуют такие уравнения второй степени, в которых с помощью перехода к новой декартовой системе координат можно уничтожить все члены ниже второй степени. Перечислить все типы таких поверхностей и охарактеризовать их с помощью инвариантов.

Задача 11.10

(1)(2)(3)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

Какие вещественные поверхности второго порядка имеют центр симметрии?

(2)

Сколько центров симметрии может иметь поверхность второго порядка?

(3)

Доказать, что для поверхности второго порядка осуществимы только следующие возможности. Поверхность:

(1) не имеет центра симметрии;

(2) имеет единственный центр симметрии;

(3) имеет прямую, состоящую из центров симметрии;

(4) имеет плоскость, состоящую из центров симметрии.

Задача 11.11

(1)(2)(3)

Перечислить и охарактеризовать через инварианты типы поверхностей второго порядка:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

не имеющих центра

(2)

имеющих единственный центр

(3)

имеющих бесконечно много центров.

Задача 11.12

(1)(2)

Доказать утверждения:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

если поверхность второго порядка имеет центр, и он расположен в начале координат, то уравнение поверхности не содержит линейных членов

(2)

если уравнение поверхности второго порядка не содержит линейных членов, то поверхность имеет центр, расположенный в начале координат.

Задача 11.13

(1)(2)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

Пользуясь результатами задач 11. 8 и 11. 12, получить систему уравнений для центра поверхности второго порядка (т. е. уравнение (10) из введения к § 11).

(2)

Как изменится свободный член уравнения (2), если начало координат поместить в центр поверхности второго порядка?

Задача 11.14

Доказать, что условие $\operatorname {det} A \neq 0$ необходимо и достаточно для существования единственного центра у поверхности второго порядка, заданной уравнением (2).

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 11.15

Обосновать второй способ упрощения уравнения поверхности второго порядка, изложенный во введении к § 11, т. е. доказать каждое из утверждений пунктов а) и б).

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 11.16

(1)(2)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

Уравнение поверхности второго порядка записано в развернутой форме (1) и в матричной форме (2). Все коэффициенты развернутого уравнения умножены на число $\mu \neq 0$ . Что произойдет с матрицей $A$ ? Как изменятся при этом корни характеристического уравнения $\left|A - \lambda E\right| = 0$ ?

(2)

Уравнение поверхности второго порядка записано в прямоугольной системе координат, и в нем совершен переход к другой прямоугольной системе. Доказать, что при этом не изменится характеристическое уравнение $\left|A - \lambda E\right| = 0$ , а поэтому не изменятся его корни. Изменится ли $\operatorname {det} A$ ?

Задача 11.17

(1)(2)(3)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

Дано уравнение второго порядка в матричной форме (2). Выразить матрицу $B$ большой квадратичной формы поверхности, заданной этим уравнением, через $A, \mathbf{a}, k$ .

(2)

В уравнении поверхности совершена замена координат $\xi = S\xi^{\prime } + \mathbf{b}$ . Выписать матрицу $T$ , с помощью которой преобразуется большая квадратичная форма поверхности, и доказать, что при переходе от одной прямоугольной системы координат к другой $\operatorname {det} B$ не меняется.

(3)

Доказать, что при ортогональной замене координат, оставляющей начало координат на месте, не изменяется характеристическое уравнение $\left|B - \lambda E\right| = 0$ , а потому не изменяются его коэффициенты и корни.

Задача 11.18

Пусть в некоторой общей декартовой системе координат уравнение поверхности второго порядка по форме совпадает с одним из канонических уравнений. Доказать, что существует декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение этой поверхности будет каноническим того же типа.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Подпараграф

11.2 · Определение вида и расположения поверхности, заданной общим уравнением второго порядка (11.19-11.23)[5/100%]

Задача 11.19

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)

Пользуясь результатом задачи 11. 18, определить тип поверхности, заданной в общей декартовой системе координат уравнением:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$(x + y + z)(x - y + 125z) = 1$

(2)

$(x + y)(x + y + 1) = 1$

(3)

$(x + y)(x + y + 1) = x - y$

(4)

$(x + y + z + 1)(x - y + z) = x + z + 1$

(5)

$(x + y + z + 1)(x - y + z) = x + 2z + 1$

(6)

$(x + y)(x - y) = z$

(7)

$(x + y + z)(x - y + z) = 0$

(8)

$(x + 2y)(x + 2y + 1) = z$

(9)

$(x + y)(x - 75y) = z^{2}$

(10)

$(x + y)^{2} = 3x + z$

(11)

$(x + 2y + 3z)(2x + 3y + 4z) + (3x + 4y + 75z)^{2} = 1$

(12)

$(x + 2y + 3z)(2x + 3y + 4z) - (3x + 4y + 75z)^{2} = 1$

(13)

$(x + y) z - x^{2} - x = 0$

(14)

$(x + y + z)^{2} + (x + 2y + 3z)^{2} + (2x - y + z)^{2} = 0$

(15)

$(x + y + z)^{2} + (x + 2y + 3z)^{2} + (2x + 3y + 4z)^{2} = 0$

(16)

$(x + y + z)^{2} + (x - 2y + z)^{2} = 0$

(17)

$(x + y + z)^{2} + (x + y)^{2} + (y + z)^{2} = 1987$

(18)

$(x + y + z)^{2} + (x + y)^{2} = 1987$

(19)

$(x + y + z)^{2} + (x + y)^{2} + (2x + 2y + z)^{2} = 1$

(20)

$(x + y)^{2} + z^{2} + 1 = 0$ .

Задача 11.20

В общей декартовой системе координат гиперболоид задан уравнением $(x + y + z)(x - y + z) - (2x - y + 2z)^{2} = 1$ . Найти уравнение его асимптотического конуса.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 11.21

(1)(2)(3)(4)(5)(6)

Поверхность задана в общей декартовой системе координат уравнением, содержащим параметр $k$ . Определить тип поверхности при всех значениях $k$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 4x_{3}^{2} + 4x_{1} x_{3} + 2x_{2} x_{3} + 2x_{1} + 2x_{2} + 5x_{3} + k = 0$

(2)

$2x_{1}^{2} + kx_{2}^{2} + 8x_{1} x_{2} + 4x_{1} x_{3} - 4x_{1} - 8x_{2} - 4x_{3} = 0$

(3)

$3x_{1}^{2} + 2x_{2}^{2} + 2x_{3}^{2} + 4x_{1} x_{2} - 2x_{1} x_{3} + 4x_{1} + 4x_{2} + 4x_{3} + k = 0$

(4)

$kx_{1}^{2} + 8x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 16x_{1} x_{2} + 4x_{1} x_{3} + 4x_{2} x_{3} - 4x_{1} - 4x_{2} + 2x_{3} = 0$

(5)

$3x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 6x_{1} x_{2} + 2x_{1} x_{3} + 4x_{2} x_{3} + kx_{2} + x_{3} + 1 = 0$

(6)

(р) $x_{1}^{2} - 2x_{2}^{2} - 3x_{3}^{2} - 4x_{1} x_{2} - 6x_{1} x_{3} - 2x_{1} + 4x_{2} + 6x_{3} + k = 0$ .

Задача 11.22

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)

Поверхность задана уравнением в декартовой прямоугольной системе координат. Найти каноническую систему координат и каноническое уравнение этой поверхности. Определить тип поверхности.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$2x^{2} + 9y^{2} + 2z^{2} - 4xy + 4yz - 1 = 0$

(2)

$4y^{2} - 3z^{2} + 4xy - 4xz + 8yz = 0$

(3)

$x^{2} + y^{2} + 4z^{2} - 2xy + 4xz - 4yz - 2x + 2y + 2z = 0$

(4)

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - xy + xz + yz + 3x + 3y - 3z = 0$

(5)

$x^{2} - 3z^{2} - 4yz - 4y + 2z + 5 = 0$

(6)

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2xy - 4x + 4y + 3 = 0$

(7)

$y^{2} + 2xz + 2x + 2z + 1 = 0$

(8)

$x^{2} + 2y^{2} + 5z^{2} + 4yz + 20y + 20z - 10 = 0$

(9)

$- x^{2} + 5y^{2} + 5z^{2} + 8yz + 2x + 12y + 24z + 36 = 0$

(10)

$2x^{2} + 5y^{2} + 5z^{2} + 6yz + 4x + 16y + 16z + 10 = 0$

(11)

$4x^{2} + 4y^{2} - 4xy - 12x - 12y - 5z + 1 = 0$

(12)

$x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2xy - 12x + 4y + 6z - 3 = 0$

(13)

$4x^{2} + 9y^{2} - 12xy + 2x + 10y + 1 = 0$

(14)

$6xy - 8y^{2} - z^{2} + 60y + 2z + 89 = 0$

(15)

$5x^{2} + 8y^{2} + 4xy + 2x + 44y - 36z + 65 = 0$

(16)

(р) $- x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2yz + 2x + 3y - 5z + 1 = 0$

(17)

$9y^{2} + 16z^{2} + 24yz + 5x + 10y + 5z + 11 = 0$

(18)

$16x^{2} + 9y^{2} - z^{2} - 24xy - 9x - 12y + 4z + 71 = 0$

(19)

$2x^{2} + 2y^{2} + z^{2} - 10xy + 20x - 8y + 29 = 0$

(20)

$- x^{2} + 7y^{2} - 24yz + 2x + 120y = 0$

(21)

$x^{2} - 4y^{2} - 4z^{2} + 10yz + 2x + 2y + 2z + 3 = 0$

(22)

$3x^{2} + 4xy + 8x + 8y - 4z = 0$

(23)

$- x^{2} - 9y^{2} + 6xy + 50x - 50y - 15z - 100 = 0$

(24)

(р) $4x^{2} + y^{2} + 9z^{2} + 4xy - 12xz - 6yz + 2x + 6y - 6z - 5 = 0$ .

Задача 11.23

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)

Поверхность задана в декартовой прямоугольной системе координат уравнением, содержащим параметр $k$ . При данном значении $k$ найти каноническую систему координат и каноническое уравнение поверхности. Определить тип поверхности при всевозможных $k$ . Если поверхность представляет собой прямую, плоскость или пару плоскостей, найти линейные уравнения этих множеств в исходной системе координат.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$5x^{2} + 5y^{2} + 3z^{2} + 2xy + 2\sqrt{2} xz + 2\sqrt{2} yz + 26x + 34y + 10\sqrt{2} z + 49 = 0$ ;

(2)

$2x^{2} + 9y^{2} + 2z^{2} - 4xy + 4yz + 4x + 2y - 4z - 1 = 0$

(3)

$4y^{2} - 3z^{2} + 4xy - 4xz + 8yz + 4x - 2z + k = 0$ ;

(1) $k = - 1$ ;

(2) $k = 5$ ;

(3) $k = 11$ .

(4)

$2x^{2} + 2y^{2} + 2z^{2} + 2xy + 2xz + 2yz + 4x - 4y + 4 = 0$

(5)

$3x^{2} + 3y^{2} + 3z^{2} - 2xy - 2xz - 2yz - 8x + 8y + k = 0$

(1) $k = 4$ ;

(2) $k = 8$ .

(6)

$x^{2} + y^{2} + 4z^{2} - 2xy + 4xz - 4yz - 12x + 12y - 24z + 6 = 0$

(7)

$x^{2} + y^{2} + 4z^{2} - 2xy + 4xz - 4yz + 24y - 24z + 12 = 0$

(8)

$x^{2} + y^{2} + 4z^{2} - 2xy + 4xz - 4yz + 5x + y - 2z = 0$

(9)

$2x^{2} + 2y^{2} + 2z^{2} - 2xy + 2xz + 2yz - 6x - 6y - 12z + k = 0$

(1) $k = 15$ ;

(2) $k = 18$ .

(10)

$2x^{2} + 2y^{2} + 2z^{2} - 2xy + 2xz + 2yz + 18z + 18 = 0$ ;

(11)

$x^{2} + 2y^{2} + z^{2} - 2xy - 2yz + 6x - 6y + k = 0$

(1) $k = 8$ ;

(2) $k = 9$ .

(12)

$x^{2} + 2y^{2} + z^{2} - 2xy - 2yz + 18x - 6y + 6z - 18 = 0$

(13)

$3x^{2} - 7y^{2} + 3z^{2} + 8xy - 8yz - 8xz - 4x + 6y + 8z + k = 0$ ;

(1) $k = - 12$ ;

(2) $k = - 3$ ;

(3) $k = 6$ .

(14)

$2y^{2} - 3z^{2} - 2\sqrt{3} xy - 4xz + 4\sqrt{3} yz + 50z + k = 0$ ;

(1) $k = - 75$ ;

(2) $k = - 70$ ;

(3) $k = - 80$ .

(15)

$2x^{2} + 2y^{2} + 2z^{2} + 8xy + 8xz - 8yz - 8x - 4y + 8z + k = 0$ ;

(1) $k = - 4$ ;

(2) $k = 2$ ;

(3) $k = 8$ .

(16)

$4x^{2} + 4y^{2} - 2z^{2} + 4xy - 8xz + 8yz + 12x - 12y + 24z + k = 0$ ;

(1) $k = - 42$ ;

(2) $k = - 36$ ;

(3) $k = - 30$ .

(17)

$8y^{2} + 4xy + 2xz + 4yz + 4x + 8y + k = 0$

(1) $k = 0$ ;

(2) $k = - 9$ .

(18)

$8y^{2} + 4xy + 2xz + 4yz + 8x + 6y + 4z + 6 = 0$

(19)

$4x^{2} + y^{2} + 9z^{2} + 4xy - 12xz - 6yz + 11x + 3y - z + 1 = 0$

(20)

$4x^{2} + y^{2} + 9z^{2} + 4xy - 12xz - 6yz + 6x - 2y - 6z + 11 = 0$

(21)

$4x^{2} + y^{2} + 9z^{2} + 4xy - 12xz - 6yz + 4x + 2y - 6z + k = 0$ ;

(1) $k = 1$ ;

(2) $k = - 13$ .

(22)

$- x^{2} + 10y^{2} - z^{2} - 8xy + 6xz + 8yz + 24x - 8y - 16z + k = 0$ ;

(1) $k = - 26$ ;

(2) $k = - 14$ ;

(3) $k = - 2$ .

(23)

$2x^{2} - y^{2} + 2z^{2} + 4xy - 2xz + 4yz + 10x - 2y - 2z + k = 0$ ;

(1) $k = 2$ ;

(2) $k = 5$ ;

(3) $k = 8$ .

(24)

$x^{2} + y^{2} - 2z^{2} + 10xy + 4xz - 4yz + 13x + 11y + 2z + 6 = 0$ .

(25)

$x^{2} + y^{2} - 2z^{2} + 10xy + 4xz - 4yz + 24x - 12z + k = 0$ ;

(1) $k = - 12$ ;

(2) $k = - 6$ .