Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре/3 · Кривые второго порядка

§ 9

Общая теория кривых второго порядка

[22/73%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Содержание

9.1 · Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду (9.1-9.10)

9.2 · Кривые второго порядка в общей декартовой системе координат (9.11-9.22)

Подпараграф

9.1 · Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду (9.1-9.10)[10/90%]

Задача 9.1

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)

Определить тип кривой второго порядка, составить ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$6x^{2} + 6y^{2} + 6x - 2y - 1 = 0$

(2)

$9x^{2} - 16y^{2} - 6x + 8y - 144 = 0$

(3)

$9x^{2} + 4y^{2} + 6x - 4y - 2 = 0$

(4)

$12x^{2} - 12x - 32y - 29 = 0$

(5)

$9y^{2} - 7y - 16 = 0$

(6)

$2x^{2} + y^{2} + 4x - 6y + 11 = 0$

(7)

$2x^{2} + y^{2} + 4x - 6y + 12 = 0$

(8)

$4x^{2} - 25y^{2} - 2x - 75y + 44 = 0$

(9)

$25x^{2} - 30x + 9 = 0$

(10)

$45x^{2} - 36y^{2} - 90x - 24y + 41 = 0$ .

Задача 9.2

(1)(2)

При каком необходимом и достаточном условии уравнение $Ax^{2} + By^{2} + 2Cx + 2Dy + E = 0$ задает:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

эллипс

(2)

гиперболу?

Задача 9.3

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$2x^{2} + 6xy + 10y^{2} - 121 = 0$

(2)

$9xy + 4 = 0$

(3)

$2x^{2} - 2\sqrt{3} xy + 9 = 0$

(4)

$18x^{2} + 24xy + 11y^{2} - 3 = 0$

(5)

$x^{2} - 2xy + y^{2} + 2x + 2y = 0$

(6)

$9x^{2} - 6xy + y^{2} - 10 = 0$

(7)

$81x^{2} - 36xy + 4y^{2} = 0$

(8)

$3x^{2} - 4\sqrt{5} xy + 4y^{2} = 0$ .

Задача 9.4

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$2x^{2} - 4xy + 5y^{2} + 8x - 2y + 9 = 0$

(2)

(р) $4xy - 3y^{2} - 4x + 10y - 6 = 0$

(3)

$9x^{2} - 24xy + 16y^{2} - 8x + 19y + 4 = 0$

(4)

$x^{2} - xy + y^{2} + x + y = 0$

(5)

$xy + 2x + y = 0$

(6)

$x^{2} - 2xy + y^{2} - 10x - 6y + 25 = 0$

(7)

$5x^{2} + 12xy + 10y^{2} - 6x + 4y - 1 = 0$

(8)

$8x^{2} + 34xy + 8y^{2} + 18x - 18y - 17 = 0$

(9)

$25x^{2} - 30xy + 9y^{2} + 68x + 19 = 0$

(10)

$8x^{2} + 6xy + 6x + 3y + 1 = 0$

(11)

$4x^{2} + 12xy + 9y^{2} - 8x - 12y - 5 = 0$

(12)

$225x^{2} - 240xy + 64y^{2} + 30x - 16y + 1 = 0$

(13)

$x^{2} + 2xy + y^{2} - 5x - 5y + 4 = 0$

(14)

$5x^{2} - 6xy + 5y^{2} + 2x - 14y + 13 = 0$

(15)

$x^{2} - 2xy + y^{2} + 8x - 8y + 22 = 0$

(16)

$15x^{2} + 24xy + 15y^{2} + 30x - 24y - 20 = 0$

(17)

$15x^{2} - 16xy - 15y^{2} - 62x - 44y - 13 = 0$ .

Задача 9.5

Доказать, что кривая второго порядка, заданная уравнением $34x^{2} + 24xy + 41y^{2} - 44x + 58y + 1 = 0$ , является эллип — сом. Найти длины полуосей и эксцентриситет этого эллипса, координаты центра и фокусов, составить уравнения осей и директрис.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 9.6

Доказать, что кривая второго порядка, заданная уравнением $7x^{2} + 48xy - 7y^{2} - 62x - 34y + 98 = 0$ , является гиперболой. Найти длины полуосей и эксцентриситет этой гиперболы, координаты центра и фокусов, составить уравнения осей, директрис и асимптот.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 9.7

Доказать, что кривая второго порядка, заданная уравнением $x^{2} + 2xy + y^{2} + x = 0$ , является параболой. Найти параметр этой параболы, координаты вершины и фокуса, составить уравнения оси и директрисы.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 9.8

Пусть $M(x, y) = Ax^{2} + 2Bxy + Cy^{2} + 2Dx + 2Ey + F$ — многочлен второй степени от координат $(x, y)$ точки в прямоугольной системе координат. Обозначим

S = A + C, \quad \delta =\left[\begin{smallmatrix} A & B \\ B & C\end{smallmatrix}\right], \quad \Delta =\left[\begin{smallmatrix} A & B & D \\ B & C & E \\ D & E & F\end{smallmatrix}\right].

Доказать, что величины $S, \delta , \Delta$ не изменяются при переходе к другой прямоугольной системе координат (т. е. являются ортогональными инвариантами многочлена $M(x, y))$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 9.9

(1)(2)(3)(4)

Кривая второго порядка в прямоугольной системе координат задана уравнением $Ax^{2} + 2Bxy + Cy^{2} + 2Dx + 2Ey + F = 0$ . Доказать следующие утверждения (обозначения см. в задаче 9. 8):

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

Корни $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ характеристического уравнения $\lambda^{2} - S\lambda + \delta = 0$ вещественны, и хоть один из них отличен от нуля.

(2)

Кривая является гиперболой тогда и только тогда, когда $\delta < 0$ и $\Delta \neq 0$ . Выразить полуоси гитерболы через $\delta , \Delta , \lambda_{1}, \lambda_{2}$ .

(3)

Кривая является эллипсом тогда и только тогда, когда $\delta > 0$ , а $S\Delta < 0$ . Выразить полуоси эллипса через $\delta , \Delta , \lambda_{1}, \lambda_{2}$ .

(4)

Кривая является параболой тогда и только тогда, когда $\delta = 0$ , а $\Delta \neq 0$ . Выразить параметр параболы через $S$ и $\Delta$ .

Задача 9.10

(1)(2)(3)

Применяя ортогональные инварианты (задачи 9. 8 и 9. 9), определить тип и составить каноническое уравнение кривой:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$x^{2} + 3xy - 3y^{2} + 5x - 7y + 1 = 0$

(2)

$5x^{2} + 2xy + 5y^{2} - 12x + 20y + 32 = 0$

(3)

$x^{2} - 4xy + 4y^{2} + 2x + 13 = 0$ .

Подпараграф

9.2 · Кривые второго порядка в общей декартовой системе координат (9.11-9.22)[12/58%]

Задача 9.11

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)

Доказать, что:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

кривая, заданная уравнением $x^{2} + y^{2} = 1$ , является эллипсом

(2)

кривая, заданная уравнением $x^{2} - y^{2} = 1$ , является гиперболой

(3)

кривая, заданная уравнением $y^{2} = x$ , является параболой

(4)

уравнение $x^{2} - y^{2} = 0$ задает пару пересекающихся прямых

(5)

уравнение $x^{2} + y^{2} = 0$ задает одну точку

(6)

уравнение $y^{2} - 1 = 0$ задает пару параллельных прямых

(7)

уравнение $y^{2} = 0$ задает одну прямую (пару совпавших прямых)

(8)

кривая, заданная уравнением $xy = 1$ , является гиперболой

(9)

кривая, заданная уравнением $y = x + \frac{1}{x}$ , является гиперболой.

Задача 9.12

Доказать, что кривая, заданная в общей декартовой системе координат уравнением $Ax^{2} + 2Bxy + Cy^{2} + 2Dx + 2Ey + F = 0$ , является гиперболой тогда и только тогда, когда $\delta < 0$ и $\Delta \neq 0$ , эллипсом тогда и только тогда, когда $\delta > 0$ и $S\Delta < 0$ , параболой тогда и только тогда, когда $\delta = 0$ и $\Delta \neq 0$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 9.13

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)

Определить тип кривой второго порядка, заданной уравнением:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$(3x - 4y)^{2} - 5(x + 2y - 1)^{2} = 1$

(2)

$(12x - 17y - 6)^{2} + (17y + 5x + 1)^{2} = 1$

(3)

$(x - y - 3)(x + y + 3) = 4$

(4)

$(4x + 3y - 1)^{2} + (4x + 3y + 2)^{2} = 5$

(5)

$17x^{2} - 2xy + y^{2} - 3x - y - 3 = 0$

(6)

$4x^{2} + 28xy + 49y^{2} - 3x - 15y + 2 = 0$

(7)

$4x^{2} - 12xy + 8y^{2} - 15x + 25y + 14 = 0$

(8)

$2x^{2} + 2xy + 5y^{2} - 2y + 4 = 0$

(9)

$2x^{2} - 5xy - 3y^{2} + 9x + y + 4 = 0$

(10)

$x^{2} + 10xy + 25y^{2} + 2x + 10y - 3 = 0$

(11)

$5x^{2} - 16xy + 13y^{2} + 6x - 10y + 2 = 0$

(12)

$x^{2} - 4xy + 4y^{2} + 4x - 8y + 5 = 0$

(13)

$x^{2} - 8xy + 16y^{2} + 6x - 24y + 9 = 0$ .

Задача 9.14

(1)(2)(3)(4)(5)(6)

Составить уравнение и определить тип кривой второго порядка, проходящей через 5 точек, заданных своими координатами:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$(- 1, - 1), (1, 0), (0, 1), (3, 2), (2, 3)$

(2)

$(1, 1), (1, 0), (0, 1), (3, 2), (2, 3)$

(3)

$(- 1, 0), (1, 0), (0, 1), (3, 2), (2, 3)$

(4)

$(- 3, 0), (1, 0), (0, 1), (3, 2), (2, 3)$

(5)

$(- 1, 1), (0, 1), (2, 3), (- 2, - 1), (3, 4)$

(6)

$(1, 0), (0, 1), (1 / 4, 1 / 4), (4 / 9, 1 / 9), (1 / 9, 4 / 9)$ .

Задача 9.15

(1)(2)(3)(4)

Исследовать зависимость типа кривой второго порядка от параметра:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$4x^{2} + 2\lambda xy + y^{2} = 1$

(2)

$\lambda \left(x^{2} + y^{2}\right) - 10xy + x + y + 4 = 0$

(3)

$x^{2} - 2xy + y^{2}(\lambda - 1) + 2\lambda (x - y + 1) = 0$

(4)

$\lambda x^{2} - 2xy + 2y^{2} - 2x + 2y - 1 = 0$ .

Задача 9.16

(1)(2)(3)(4)(5)

Какие типы кривых второго порядка могут быть заданы уравнением:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$\left(A_{1} x + B_{1} y + C_{1}\right)^{2} = A_{2} x + B_{2} y + C_{2}$

(2)

$\left(A_{1} x + B_{1} y + C_{1}\right)^{2} + \left(A_{2} x + B_{2} y + C_{2}\right)^{2} = 1$

(3)

$\left(A_{1} x + B_{1} y + C_{1}\right)^{2} - \left(A_{2} x + B_{2} y + C_{2}\right)^{2} = 1$

(4)

$\left(A_{1} x + B_{1} y + C_{1}\right)\left(A_{2} x + B_{2} y + C_{2}\right) = 1$

(5)

$\left(A_{1} x + B_{1} y + C_{1}\right)\left(A_{2} x + B_{2} y + C_{2}\right) = 0$ ?

Задача 9.17

(1)(2)

Составить уравнения асимптот гиперболы (Предполагается, что $A_{1} B_{2} - A_{2} B_{1} \neq 0$ ).

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$\left(A_{1} x + B_{1} y + C_{1}\right)^{2} - \left(A_{2} x + B_{2} y + C_{2}\right)^{2} = 1$

(2)

$\left(A_{1} x + B_{1} y + C_{1}\right)\left(A_{2} x + B_{2} y + C_{2}\right) = 1$ .

Задача 9.18

Не используя уравнений (6) из введения к настоящей главе, доказать, что начало координат является центром симметрии кривой второго порядка тогда и только тогда, когда уравнение кривой не содержит членов с первыми степенями переменных $x$ и $y$ . Опираясь на это утверждение, вывести уравнения (6) для координат центра кривой второго порядка.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 9.19

(1)(2)(3)

Проверить, что данная кривая второго порядка является центральной. Найти координаты центра и избавиться в уравнении от членов первой степени при помощи переноса начала координат в центр

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$x^{2} - 8xy + 17y^{2} + 8x - 38y + 24 = 0$

(2)

$5x^{2} + xy - 4x - y - 1 = 0$

(3)

$8x^{2} - 24xy + 16y^{2} + 3x - 7y - 2 = 0$ .

Задача 9.20

Доказать, что кривая $Ax^{2} + 2Bxy + Cy^{2} + 2Dx + 2Ey + F = 0$ имеет единственный центр симметрии тогда и только тогда, когда $\delta \neq 0$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 9.21

Доказать, что множество центров симметрии кривой второго порядка либо пусто, либо состоит из одной точки, либо является прямой линией.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 9.22

(1)(2)(3)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

Доказать, что множество центров симметрии алгебраической кривой либо пусто, либо состоит из одной точки, либо является прямой линией.

(2)

Доказать, что множество центров симметрии произвольного множества точек на плоскости либо пусто, либо состоит из одной точки, либо бесконечно.

(3)

Привести пример непрерывной кривой, множество центров симметрии которой бесконечно, но не является прямой линией.