Банк задач по математике

Задача 7.51

Найти координаты фокуса и составить уравнение директрисы параболы:

?

(1)

$y^{2} = 2px, \quad p > 0$

(2)

$y^{2} = - px, \quad p > 0$

(3)

$y^{2} = 6x$

(4)

$y^{2} = - 3x$

(5)

$y = x^{2}$

(6)

$y = - \sqrt{3} x^{2}$ .

Задача 7.52

(1)(2)(3)

Как расположены по отношению к параболе $y^{2} = 10x$ следующие точки:

?

(1)

$(5, - 7)$

(2)

$(8, 9)$

(3)

$(5 / 2, - 5)$ ?

Задача 7.53

Вычислить длину фокальной хорды параболы $y^{2} = x / 5$ , перпендикулярной оси параболы.

?

Задача 7.54

(1)(2)(3)

В данной системе координат парабола имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если:

?

(1)

точка $(5, - 5)$ принадлежит параболе

(2)

расстояние от фокуса до директрисы равно 12

(3)

длина хорды, проходящей через фокус под углом $45^{\circ }$ к оси параболы, равна 18.

Задача 7.55

Найти уравнение множества точек, являющихся серединами хорд параболы $y^{2} = 3x$ , параллельных прямой $2x + 3y - 5 = 0$ .

?

Задача 7.56

Доказать, что середины хорд параболы, параллельных некоторой прямой, лежат на прямой, параллельной оси параболы.

?

Задача 7.57

Через точку $A(5, 3)$ провести хорду параболы $y^{2} = 6x$ , делящуюся в этой точке пополам.

?

Задача 7.58

(1)(2)(3)(4)

На параболе $y^{2} = 10x$ найти точку $M$ такую, что:

?

(1)

прямая, проходящая через точку $M$ и фокус параболы, образует с осью $Ox$ угол $60^{\circ }$

(2)

площадь треугольника с вершинами в искомой точке $M$ , фокусе параболы и точке пересечения оси параболы с директрисой равна 5

(3)

расстояние от точки $M$ до вершины параболы равно расстоянию от $M$ до фокуса

(4)

расстояния от точки $M$ до вершины параболы и до фокуса параболы относятся как $8: 7$ .

Задача 7.59

Найти множество значений, которые может принимать отношение расстояния от точки параболы до ее вершины к расстоянию от той же точки до фокуса.

?

Задача 7.60

(1)(2)(3)(4)

Составить уравнение параболы с параметром $p$ , вершина которой имеет координаты $(a, b)$ , а направление оси совпадает:

?

(1)

с положительным направлением оси $Ox$

(2)

с отрицательным направлением оси $Ox$

(3)

с положительным направлением оси $Oy$

(4)

с отрицательным направлением оси $Oy$ .

Задача 7.61

(1)(2)

Составить уравнения семейства парабол:

?

(1)

имеющих общий фокус $(0, 0)$ и симметричных относительно оси $Ox$

(2)

имеющих общую директрису $x = 0$ и симметричных относительно оси $Ox$ .

Задача 7.62

(1)(2)(3)(4)

Составить уравнение параболы, если:

?

(1)

точка $F(7, 0)$ является фокусом, а прямая $x = 1$ — директрисой

(2)

точка $F(7, 0)$ является фокусом, а прямая $x = 8$ — директрисой

(3)

точка $F(0, 1)$ является фокусом, парабола симметрична относительно оси $Oy$ и касается оси $Ox$

(4)

ось параболы параллельна оси $Oy$ , фокус лежит на оси $Ox$ , парабола проходит через начало координат и высекает на оси $Ox$ отрезок длины 6.

Задача 7.63

Найти наибольший радиус окружности, лежащей внутри параболы $y^{2} = 2px$ и касающейся этой параболы в ее вершине.

?

Задача 7.64

Две параболы, оси которых взаимно перпендикулярны, имеют четыре точки пересечения. Доказать, что эти четыре точки лежат на одной окружности.

?

Задача 7.65

Кривые $y = x^{5} - 5$ и $x = 3 - y^{2}$ пересекаются в четырех точках, лежаших на одной окружности. Найти координаты центра этой окружности.

?

Парабола (7.51-7.65)