Банк задач по математике

Задача 7.35

Найти полуоси, эксцентриситет, координаты фокусов, составить уравнения директрис и асимптот гиперболы:

?

(1)

$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

(2)

$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = - 1$

(3)

$\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

(4)

$y^{2} - x^{2} = 1$

(5)

$xy = 1$

(6)

$xy = - 2$ .

Задача 7.36

(1)(2)(3)(4)

Дана гипербола $100x^{2} - 36y^{2} = 1$ . Определить, лежит ли точка $A$ на гиперболе, внутри одной из ее ветвей или между ветвями:

?

(1)

$A(1 / 8, - 1 / 8)$

(2)

$A(1, 1)$

(3)

$A(1, 7)$

(4)

$A(- 1 / 2, 0)$ .

Задача 7.37

Вычислить длину фокальной хорды гиперболы $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{49} = 1$ , перпендикулярной действительной оси.

?

Задача 7.38

В данной системе координат гипербола имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если:

?

(1)

расстояние между вершинами равно 10, а расстояние между фокусами равно 12

(2)

длина вещественной оси равна 1, а точка $(1, 3)$ принадлежит гиперболе

(3)

директрисами гиперболы являются прямые $x = \pm \sqrt{5 / 6}$ , а точка $(- 9, 4)$ принадлежит гиперболе

(4)

длина мнимой полуоси равна 1, а вершина гиперболы делит отрезок между фокусами в отношении $4: 1$

(5)

эксцентриситет гиперболы равен $7 / 5$ , а расстояние от вершины до ближайшего фокуса равно 2

(6)

точка $(7, - 2\sqrt{3})$ , принадлежащая гиперболе, удалена от левого фокуса на расстояние $4\sqrt{7}$

(7)

угол между асимптотами, содержащий фокус, равен $60^{\circ }$ , a расстояние от директрисы до ближайшей вершины равно $\frac{3}{2}(2 - \sqrt{3})$

(8)

точка $(- 5 / 4, 3 / 2)$ принадлежит гиперболе, а асимптотами являются прямые $y = \pm 2x$

(9)

точка $(- 1, 3)$ принадлежит гиперболе, а асимптотами являются прямые $y = \pm 2x$ .

Задача 7.39

Составить каноническое уравнение гиперболы, содержащей точку $(- 1, 3)$ и имеющей асимптоты $y = \pm 2x$ (сравнить с задачей $7. 38, 9)$ ).

?

Задача 7.40

(1)(2)(3)

Вычислить эксцентриситет гиперболы, если:

?

(1)

ее полуоси равны (равносторонняя гипербола)

(2)

угол между асимптотами, содержатций фокус, равен $120^{\circ }$

(3)

асимптотами гиперболы являются прямые $y = \pm 3x$ .

Задача 7.41

(1)(2)

Вычислить эксцентриситет гиперболы, имеющей в данной системе координат каноническое уравнение, если:

?

(1)

расстояния от точки $M(5, - 4)$ , принадлежащей гиперболе, до директрис относятся как $2: 1$

(2)

сумма расстояний от точки $N(- 5, - 4)$ до асимптот гиперболы равна 20 / 3.

Задача 7.42

Выразить эксцентриситет гиперболы через эксцентриситет $\varepsilon$ эллипса, имеющего с этой гиперболой общие фокальные хорды, перпендикулярные действительной оси.

?

Задача 7.43

Составить уравнение гиперболы, которая имеет общие фокальные хорды, перпендикулярные действительной оси, с эллипсом $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ .

?

Задача 7.44

Найти множество точек, являющихся серединами хорд гиперболы $x^{2} - 2y^{2} = 1$ , параллельных прямой $2x - y = 0$ .

?

Задача 7.45

Через точку $A(4, 4)$ провести хорду гиперболы $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ , делящуюся в этой точке пополам.

?

Задача 7.46

(1)(2)(3)

На гиперболе $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ найти точки, из которых отрезок, соединяющий фокусы, виден:

?

(1)

под прямым углом

(2)

под углом $60^{\circ }$

(3)

под наибольшим углом.

Задача 7.47

(1)(2)(3)

Составить уравнения семейств гипербол:

?

(1)

с общими фокусами $(\pm c, 0)$

(2)

с общими директрисами $x = \pm d$ и общим центром в начале координат

(3)

с общими асимптотами $y = \pm kx$ .

Задача 7.48

(1)(2)(3)

Составить уравнение гиперболы, если:

?

(1)

точки $F_{1}(3, - 2)$ и $F_{2}(5, - 2)$ являются фокусами, а прямая $x = 7 / 2$ — одной из директрис

(2)

точка $F(1, 3)$ является одним из фокусов, точка $A(- 4, 3)$ — вершиной, а эксцентриситет равен $3 / 2$

(3)

точка $F(0, 0)$ является одним из фокусов, а прямые $x\pm y + 2 = 0$ — асимптотами.

Задача 7.49

(1)(2)

Доказать, что для данной гиперболы следующие величины постоянны, и выразить их через полуоси $a, b$ гиперболы:

?

(1)

произведение расстояний от любой точки гиперболы до ее асимптот

(2)

площадь параллелограмма, одна из вершин которого лежит на гиперболе, а две стороны лежат на асимптотах.

Задача 7.50

Доказать, что вершины гиперболы и четыре точки пересечения ее директрис с асимптотами лежат на одной окружности. Выразить радиус этой окружности через длину действительной полуоси.

?

Гипербола (7.35-7.50)