Банк задач по математике

Задача 7.21

Точка $A$ лежит вне эллипса с фокусами $F_{1}, F_{2}$ , отрезки $AF_{1}, AF_{2}$ пересекают эллипс в точках $B, D$ соответственно, и $C$ — точка пересечения отрезков $F_{1} D, F_{2} B$ . Доказать, что в четырехугольник $ABCD$ можно вписать окружность.

?

Задача 7.22

(1)(2)(3)(4)

Найти длины полуосей, эксцентриситет, координаты фокусов, составить уравнения директрис эллипса:

?

(1)

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, a > b > 0$

(2)

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, b > a > 0$

(3)

$9x^{2} + 25y^{2} = 225$

(4)

$4x^{2} + y^{2} = 1$

Задача 7.23

(1)(2)(3)

Дан эллипс $25x^{2} + 144y^{2} = 1$ . Определить, лежит ли точка $A$ на эллипсе, внутри или вне его:

?

(1)

$A(1, 1 / 6)$

(2)

$A(1 / 13, 1 / 13)$

(3)

$A(1 / 6, - 1 / 24)$

Задача 7.24

Вычислить длину фокальной хорды эллипса $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ , перпендикулярной большой оси.

?

Задача 7.25

В данной системе координат эллипс имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если:

?

(1)

расстояние между вершинами, лежащими на большой оси, равно 16, а расстояние между фокусами равно 10

(2)

хорда, соединяющая две вершины эллипса, имеет длину 5 и наклонена к его большой оси под углом $\arcsin (3 / 5)$

(3)

фокусами эллипса являются точки $(\pm 1, 0)$ , а точка $(\sqrt{3}, \sqrt{3} / 2)$ принадлежит эллипсу

(4)

фокусами эллипса являются точки $(\pm 2, 0)$ , а директрисами являются прямые $x = \pm 18$

(5)

расстояние от директрисы до ближайшей вершины равно 4, а до вершины, лежащей на оси $Oy$ , равно 8

(6)

треугольник с вершинами в фокусах и в конце малой оси правильный, а диаметр окружности, проходящей через центр и две вершины эллипса, равен 7

(7)

отрезок оси $Ox$ между фокусом $F_{1}$ и дальней вершиной $A$ большой оси делится вторым фокусом $F_{2}$ пополам, а расстояние от $F_{2}$ до прямой, проходящей через $A$ и вершину малой оси, равно $1 / \sqrt{17}$

(8)

директрисами эллипса являются прямые $x = \pm 4$ , а четырехугольник с вершинами в фокусах и концах малой оси квадрат

(9)

эксцентриситет эллипса равен $\sqrt{7} / 4$ , а четырехугольник, вершинами которого являются вершины эллипса, описан около окружности радиуса 4, 8.

Задача 7.26

Вычислить эксцентриситет эллипса, если:

?

(1)

расстояние между фокусами равно среднему арифметическому длин осей

(2)

отрезок между фокусом и дальней вершиной большой оси делится вторым фокусом в отношении $2: 1$

(3)

расстояние от фокуса до дальней вершины большой оси в 1, 5 раза больше расстояния до вершины малой оси

(4)

отрезок между фокусами виден из конца малой оси под прямым углом

(5)

большая ось видна из конца малой оси под углом $120^{\circ }$

(6)

отрезок между фокусом и дальней вершиной большой оси виден из конца малой оси под прямым углом

(7)

стороны квадрата, вписанного в эллипс, проходят через фокусы эллипса.

Задача 7.27

Составить уравнения сторон квадрата, вписанного в эллипс $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, (a > b > 0)$ . Какую часть площади, ограниченной эллипсом, составляет площадь этого квадрата?

?

Задача 7.28

Найти множество точек, являющихся серединами хорд эллипса $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ , параллельных прямой $x + 2y = 1$ .

?

Задача 7.29

Через точку $A(7 / 2, 7 / 4)$ провести хорду эллипса $x^{2} + 4y^{2} = 25$ , делящуюся в этой точке пополам.

?

Задача 7.30

Через точку $M(0, 3)$ провести прямую, пересекаюшую эллипс $x^{2} + 4y^{2} = 20$ в двух точках $A$ и $B$ так, что $\left|MA\right| = 2\left|MB\right|$ .

?

Задача 7.31

(1)(2)(3)

На эллипсе $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ найти точки, из которых отрезок, соединяющий фокусы, виден:

?

(1)

под прямым углом

(2)

под углом $60^{\circ }$

(3)

под наибольшим углом.

Задача 7.32

(1)(2)

Составить уравнения семейств эллипсов:

?

(1)

с общими фокусами $(\pm c, 0)$

(2)

с общими директрисами $x = \pm d$ и общим центром в начале координат.

Задача 7.33

(1)(2)(3)

Составить уравнение эллипса, если:

?

(1)

точки $F_{1}(5, 1)$ и $F_{2}(- 1, 1)$ являются фокусами, а прямая $x = 31 / 3$ — одной из директрис

(2)

точка $F(- 6, 2)$ является одним из фокусов, точка $A(2, 2)$ — концом большой оси, эксцентриситет равен $2 / 3$

(3)

оси эллипса параллельны осям координат, точки $A(4, 0)$ и $B(0, 4)$ принадлежат эллипсу, а точка $B$ находится на расстоянии $3\sqrt{2}$ от одного из фокусов и на расстоянии 6 от соответствующей директрисы.

Задача 7.34

(1)(2)

Пусть $O$ — центр эллипса, $a, b$ — его полуоси, a $A$ и $B$ — такие точки эллипса, что прямые $OA$ и $OB$ взаимно перпендикулярны.

?

(1)

Доказать, что величина $\frac{1}{\left|OA\right|^{2}} + \frac{1}{\left|OB\right|^{2}}$ постоянна для всех возможных пар точек $A$ и $B$ .

(2)

Найти наибольшее и наименьшее значения длины отрезка $AB$ .

Эллипс (7.21-7.34)