Множества точек на плоскости, при изучении которых используются уравнения кривых второго порядка (7.11-7.20)

Доказать, что множеством точек $M$ таких, что для двух фиксированных точек $A$ и $B$ отношение $\left|MA\right| / \left|MB\right|$ постоянно и равно $k > 0$, является прямая линия при $k = 1$ и окружность при $k \neq 1$. Выразить радиус этой окружности через $k$ и длину отрезка $AB$.

Доказать, что множеством точек $M$ таких, что для двух фиксированных точек $A$ и $B$ сумма $\left|MA\right| + \left|MB\right|$ постоянна и равна $2a$, является эллипс с фокусами $A$ и $B$. Выразить длины полуосей этого эллипса через $a$ и длину отрезка $AB$.

Доказать, что множеством точек $M$ таких, что для двух фиксированных точек $A$ и $B$ модуль разности $\left|MA\right| - \left|MB\right|$ постоянен и равен $2a$, является гипербола с фокусами $A$ и $B$. Выразить полуоси этой гиперболы через $a$ и длину отрезка $AB$.

Доказать, что множеством точек, равноудаленных от фиксированной точки $A$ и фиксированной прямой $l$, является парабола с фокусом $A$ и директрисой $l$.

Определить множества точек, которые в прямоугольной системе координат задаются неравенствами:

Какие кривые на плоскости задаются следующими параметрическими уравнениями:

Доказать, что параметрические уравнения $x = x_{0} + a\cos t, y = y_{0} + b\sin t(a > 0, b > 0)$ задают эллипс с центром в точке $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ и с полуосями $a$ и $b$.

Доказать, что параметрические уравнения $x = x_{0} + a\operatorname {ch} t, y = y_{0} + b\operatorname {sh} t$, где $a > 0, b > 0$, задают правую ветвь гиперболы с центром в точке $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ и с полуосями $a$ и $b$. Как нужно изменить эти уравнения, чтобы задать обе ветви гиперболы?

Изобразить множество точек, которое в полярных координатах задается уравнением:

На плоскости дан отрезок $AB(\left|AB\right| = a)$. Найти множество точек $M$ таких, что угол при вершине $A$ в треугольнике $ABM$ вдвое больше угла при вершине $M$.