Плоскость и прямая в пространстве

плоскости $\mathbf{r} = \mathbf{r}_{0} + \mathbf{a} u + \mathbf{b} v$ в виде $(\mathbf{r}, \mathbf{n}) = D(\mathbf{a} \nparallel \mathbf{b})$

прямой $\mathbf{r} = \mathbf{r}_{0} + \mathbf{a} t$ в виде $\left[\mathbf{r}, \mathbf{a}\right] = \mathbf{b}$ $(\mathbf{a} \neq 0)$

прямой $\left[\mathbf{r}, \mathbf{a}\right] = \mathbf{b}$ в виде $\mathbf{r} = \mathbf{r}_{0} + \mathbf{a} t$ $(\mathbf{a} \neq 0)$

прямой $\left(\mathbf{r}, \mathbf{n}_{i}\right) = D_{i}, i = 1, 2$, в виде $\left[\mathbf{r}, \mathbf{a}\right] = \mathbf{b}\left(\mathbf{n}_{1} \nparallel \mathbf{n}_{2}\right)$

прямой $\left(\mathbf{r}, \mathbf{n}_{i}\right) = D_{i}, i = 1, 2$, в виде $\mathbf{r} = \mathbf{r}_{0} + \mathbf{a} t$ $(\mathbf{a} \neq 0)$.

пересекаются по прямой

параллельны, но не совпадают

совпадают.

пересекаются (т. е. имеют единственную общую точку)

скрещиваются

параллельны, но не совпадают

совпадают.

они пересекаются (имеют единственную общую точку)

они параллельны (не имеют общих точек)

прямая лежит в плоскости?

прямой $\mathbf{r} = \mathbf{r}_{0} + \mathbf{a} t$ с плоскостью $(\mathbf{r}, \mathbf{n}) = D$ (если $(\mathbf{a}, \mathbf{n}) \neq 0$)

прямой $\left[\mathbf{r}, \mathbf{a}\right] = \mathbf{b}$ с плоскостью $(\mathbf{r}, \mathbf{n}) = D$ (если $(\mathbf{a}, \mathbf{n}) \neq 0)$).

прямой, проходящей через точку $M_{0}$ перпендикулярно плоскости $(\mathbf{r}, \mathbf{n}) = D$

плоскости, проходящей через точку $M_{0}$ перпендикулярно прямой $\mathbf{r} = \mathbf{r}_{1} + \mathbf{at}$.

проекции точки $M_{0}$ на плоскость

точки $M_{1}$, симметричной с $M_{0}$ относительно плоскости.

проекции точки $M_{0}$ на прямую

точки $M_{1}$, симметричной с $M_{0}$ относительно прямой.

проекции прямой $\mathbf{r} = \mathbf{r}_{0} + \mathbf{a} t$ $(\mathbf{a} \neq 0)$, не перпендикулярной плоскости $(\mathbf{r}, \mathbf{n}) = D$ $(\mathbf{n} \neq 0)$, на эту плоскость

прямой, пересекающей прямую $\mathbf{r} = \mathbf{r}_{1} + \mathbf{a} t$ $(\mathbf{a} \neq 0)$ под прямым углом и проходящей через точку $M_{0}\left(\mathbf{r}_{0}\right)$, не лежащую на данной прямой (перпендикуляра, опущенного из точки $M_{0}\left(\mathbf{r}_{0}\right)$ на прямую $\mathbf{r} = \mathbf{r}_{1} + \mathbf{a} t$)

прямой, пересекающей две скрещивающиеся прямые $\mathbf{r} = \mathbf{r}_{1} + \mathbf{a}_{1} t$ и $\mathbf{r} = \mathbf{r}_{2} + \mathbf{a}_{2} t$ $(\mathbf{a} \neq 0)$ и проходящей через точку $M_{0}\left(\mathbf{r}_{0}\right)$, не лежащую ни на одной из этих прямых

прямой, пересекающей две скрещивающиеся прямые $\mathbf{r} = \mathbf{r}_{1} + \mathbf{a}_{1} t$ и $\mathbf{r} = \mathbf{r}_{2} + \mathbf{a}_{2} t$ $(\mathbf{a} \neq 0)$ под прямыми углами (общего перпендикуляра к этим прямым).

от точки $M_{0}\left(\mathbf{r}_{0}\right)$ до плоскости $(\mathbf{r}, \mathbf{n}) = D$ $(\mathbf{n} \neq 0)$

между двумя параллельными плоскостями $\mathbf{r} = \mathbf{r}_{1} + \mathbf{a} u + \mathbf{b} v$ и $\mathbf{r} = \mathbf{r}_{2} + \mathbf{a} u + \mathbf{b} v$ $(\mathbf{a} \neq 0)$

между двумя параллельными плоскостями $(\mathbf{r}, \mathbf{n}) = D_{1}$ и $(\mathbf{r}, \mathbf{n}) = D_{2}$ $(\mathbf{n} \neq 0)$

от точки $M_{0}\left(\mathbf{r}_{0}\right)$ до прямой $\mathbf{r} = \mathbf{r}_{1} + \mathbf{a} t$ $(\mathbf{a} \neq 0)$

от точки $M_{0}\left(\mathbf{r}_{0}\right)$ до прямой $\left[\mathbf{r}, \mathbf{a}\right] = \mathbf{b}$ $(\mathbf{a} \neq 0)$

между двумя параллельными прямыми $\mathbf{r} = \mathbf{r}_{1} + \mathbf{a} t$ и $\mathbf{r} = \mathbf{r}_{2} + \mathbf{a} t$ $(\mathbf{a} \neq 0)$

между двумя параллельными прямыми $\left[\mathbf{r}, \mathbf{a}\right] = \mathbf{b}_{1}$ и $\left[\mathbf{r}, \mathbf{a}\right] = \mathbf{b}_{2}$ $(\mathbf{a} \neq 0)$

между двумя скрещивающимися прямыми $\mathbf{r} = \mathbf{r}_{1} + \mathbf{a}_{1} t$ и $\mathbf{r} = \mathbf{r}_{2} + \mathbf{a}_{2} t$ $(\mathbf{a} \neq 0)$

между двумя скрещивающимися прямыми $\left[\mathbf{r}, \mathbf{a}_{1}\right] = \mathbf{b}_{1}$ и $\left[\mathbf{r}, \mathbf{a}_{2}\right] = \mathbf{b}_{2}$ $(\mathbf{a} \neq 0)$.

Зная параметрические уравнения плоскости: $x = 1 + u - v, y = 2 + u + 2v, z = - 1 - u + 2v$, составить ее общее уравнение.

Зная общее уравнение плоскости $2x - 3y + z + 1 = 0$, составить ее параметрические уравнения.

Записать уравнения прямой $x = 2 + 3t, y = 3 - t$, $z = 1 + t$ в виде пересечения двух плоскостей и в канонической форме.

Записать уравнения прямой $x - y + 2z + 4 = 0, - 2x + y + z + 3 = 0$ в параметрической и канонической форме.

$x - 3y + 2z + 1 = 0$

$x = 5$

$y = 4$

$z = 3$

$x = 4 - u + v, \quad y = 2 + u + 2v, \quad z = - 1 + 7u + 3v$.

$x + y - z + 2 = 0, 2x + 3y + z = 0$

$\frac{x + 1}{3} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z + 2}{21}$

$x = 2, y = 3$

$x = 0, z = 0$

$y = - 1, z = 2$.

$A(1, 3, - 1)$ и $B(4, 2, 1)$

$A(3, 2, 5)$ и $B(4, 1, 5)$

$A(- 1, 1, 2)$ и $B(5, 1, 2)$.

$A(2, 1, 3), B(- 1, 2, 5), C(3, 0, 1)$

$A(1, - 1, 3), B(2, 3, 4), C(- 1, 1, 2)$

$A(3, 0, 0), B(0, - 1, 0), C(0, 0, 4)$

$A(2, 1, 1), B(2, 0, - 1), C(2, 4, 3)$

$A(1, 1, 2), B(2, 3, 3), C(- 1, - 3, 0)$.

$3x + y - z + 1 = 0$ и $5x + 3y + z + 2 = 0$

$x + y - 2z + 1 = 0$ и $6z - 3x - 3y - 3 = 0$

$- x + y + z = 1$ и $x - y - z = 2$

$x = 3 + u + v, \quad y = 2 - u + v, \quad z = 3u - 2v\quad$ и $\quad x = 5 - u$, $y = 3 + v, \quad z = u + 2v$.

пересекаются

параллельны

совпадают?

$\frac{x - 1}{5} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z - 1}{7}$

$x = 2 + 3t, y = 7 + t, z = 1 + t$

$x - y + 2z = 0, x + y - 3z + 2 = 0$

$3x - 2y - 1 = 0, 7y - 3z - 4 = 0$

$x = 2, y = 5 + t, z = 4 + 3t$.

пересекает плоскость $3a^{2} x + ay + z - 4a = 0$

параллельна этой плоскости

лежит в этой плоскости?

$x + z - 1 = 0, 3x + y - z + 13 = 0$ и $x - 2y + 3 = 0, y + 2z - 8 = 0$;

$x = 3 + t, y = - 1 + 2t, z = 4$ и $x + y - z = 0, 2x - y +, + 2z = 0$;

$x = 2 + 4t, y = - 6t, z = - 1 - 8t$ и $x = 7 - 6t, y = 2 + 9t, z = 12t$;

$x = 9t, y = 5t, z = - 3 + t$ и $2x - 3y - 3z - 9 = 0, x - 2y + z + 3 = 0$;

$x = 1 + 2t, y = 7 + t, z = 3 + 4t$ и $x = 6 + 3t, y = - 1 - 2t, z = - 2 + t$.

пересекаются

скрешиваются

параллельны

совпадают?

$2x + 3y - 4z - 1 = 0, - x + 5y - z - 3 = 0, 3x - 10y + 7z = 0$;

$x + y - 2z + 1 = 0, - x - y + 2z + 1 = 0, 2x + 2y - 4z = 0$

$x + 2y - z - 1 = 0, \quad - 2x - 4y + 2z + 2 = 0, \quad 4 + 4z - 4x - 8y = 0$

$5x - 2y + 4 = 0, \quad 3x + z - 5 = 0, \quad 8x - 2y + z + 7 = 0$

$5x - 2y + 4 = 0, 3x + z - 5 = 0, 8x - 2y + z - 1 = 0$.

проходящей через прямую $\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{4} = \frac{z - 1}{2}$ и параллельной прямой $\frac{x}{5} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z + 1}{3}$

проходящей через прямую $x = 3 + t, y = 2 + 5t, z = - 1 + 3t$ и параллельной прямой $x = 4 - 2t, y = - 8 + t, z = 5 + 2t$.

$x = 1 + 5t, \quad y = - 1 + t, \quad z = 2t$

$x + 5y - 7z + 1 = 0, \quad 3x - y + 2z + 3 = 0$.

$\frac{x + 1}{ - 2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 5}{4}$ и $\frac{x + 5}{2} = \frac{y + 8}{3} = \frac{z - 4}{ - 1}$

$x = 1 + 3t, y = - 1 + 4t, \quad z = 2 + 5t$ и $x = 1 - t, y = - 1 + 2t, \quad z = 2 + 4t$

$x = 1 + 2t, \quad y = 3t, \quad z = 1 - t$

$x + y + z - 1 = 0, \quad x + 2y - 3z + 2 = 0$.

$x = 1 + 2t, y = 3t, \quad z = - 6 - t$

$x + y + z - 1 = 0, \quad y - 3z + 4 = 0$.

$x - y + z + 2 = 0, x - 2y + 3z - 8 = 0$ и $y - z + 1 = 0, x + y - 2z + 4 = 0$

$x = 1 + 2t, \quad y = 2 + 3t, \quad z = - t$ и $x = 4t, \quad y = 5 - 5t, \quad z = 3 + 2t$.

$x - y + z + 2 = 0, x - 2y + 3z - 8 = 0$ и $y - z = 0, x + y - 2z + 4 = 0$

$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z}{ - 1}$ и $\frac{x}{4} = \frac{y + 5}{ - 5} = \frac{z - 3}{2}$.

Найти координаты точек $P, Q, R, S$ и составить уравнения прямых $l_{1}, l_{2}, l_{3}$ в исходной пространственной системе координат.

Найти координаты точек $P, Q, R$ и составить уравнения прямых $l_{1}, l_{2}, l_{3}$ в системе координат $A, \overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC}$.

$Ax + By + Cz + D = 0$

$x = x_{0} + a_{1} u + a_{2} v, y = y_{0} + b_{1} u + b_{2} v, z = z_{0} + c_{1} u + c_{2} v$.

$x - 3y + 2z + 1 = 0$

$x = 5$

$y = 4$

$z = 3$

$x = 4 - u + v, \quad y = 2 + u + 2v, \quad z = - 1 + 7u + 3v$.

$x + y - z + 2 = 0, \quad 2x + 3y + z - 1 = 0$

$\frac{x + 1}{3} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z + 2}{21}$

$x = 2, \quad y = 3$

$x = 0, z = 0$

$y = - 1, \quad z = 2$.

$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z - 1}{4}$

$2x - y + z = 0, x + 2y + z - 3 = 0$.

$x - y - 5z + 2 = 0$

$x - 2y + 2z - 2 = 0$

$x - 2y + 2z + 7 = 0$

$x - 2y + 2z = 0$

$x - 2y + 2z + 1 = 0$

$x = 1$

$y = 5$

$z = 0$

$6x - 3y + 2z + 5 = 0$ и $6x - 3y + 2z - 9 = 0$

$2x + 2y - z + 3 = 0$ и $2x + 2y - z + 18 = 0$

$3x + 4z + 1 = 0$ и $6x + 8z - 1 = 0$.

Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости $6x - 3y + 2z + 5 = 0$ и отстоящих от нее на расстояние 3.

Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости $x + 3y - z + \sqrt{11} = 0$ и отстоящих от нее на расстояние 3.

Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости $2x + 2y - z + 3 = 0$ и отстоящих от точки $A(1, 2, - 1)$ на расстояние 3.

Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости $3x + 4z + 1 = 0$ и отстоящих от начала координат на расстояние 3.

координаты проекций точки $A$ на координатные плоскости и координаты точек, симметричных $A$ относительно координатных плоскостей

координаты проекции точки $A$ на плоскость $x + 2y + 2z + 6 = 0$ и координаты точки, симметричной с $A$ относительно этой плоскости

координаты проекции точки $A$ на плоскость $2x + 3y + 6z + 40 = 0$ и координаты точки, симметричной $A$ относительно этой плоскости.

$\frac{x + 1}{4} = \frac{y}{2} = \frac{z - 1}{3}$