Банк задач по математике

Задача 37.1

(1)(2)

Векторы $e_{1}^{\prime }, e_{2}^{\prime }$ заданы своими координатами $(1, 0)$ и $(\cos \alpha , \sin \alpha )$ относительно некоторого ортонормированного базиса $e_{1}, e_{2}$ двумерного евклидова пространства. Выписать матрицы:

(1) метрического,

(2) контравариантного метрического,

(3) дискриминантного тензоров в базисах:

?

(1)

$e_{1}, e_{2}$

(2)

$e_{1}^{\prime }, e_{2}^{\prime }$ .

Задача 37.2

Доказать, что в произвольном базисе евклидова пространства дискриминантный тензор имеет следующие компоненты: $\varepsilon_{i_{1} \ldots i_{n}} = 0$ , если среди значений индексов есть равные, и $\varepsilon_{i_{1} \ldots i_{n}} = (- 1)^{N\left(i_{1} \ldots i_{n}\right)} \sigma \sqrt{\operatorname {det} \Gamma }$ , если индексы попарно различны. Здесь $\Gamma$ — матрица метрического тензора, $N\left(i_{1} \ldots i_{n}\right)$ — число нарушений порядка в перестановке $\left(i_{1}, \ldots , i_{n}\right); \sigma = 1$ для правых базисов, $\sigma = - 1$ для левых базисов.

?

Задача 37.3

Доказать, что во всех правых ортонормированных базисах дискриминантный тензор имеет следующие компоненты: $\varepsilon_{i_{1} \ldots i_{n}} = 0$ , если среди индексов есть равные, и $\varepsilon_{i_{1} \ldots i_{n}} = (- 1)^{N\left(i_{1} \ldots i_{n}\right)}$ , если $i_{1} \ldots i_{n}$ попарно различны. Здесь $N\left(i_{1} \ldots i_{n}\right)$ — число нарушений порядка в перестановке $\left(i_{1}, \ldots , i_{n}\right)$ .

?

Задача 37.4

Какой тензор получается, если у метрического тензора поднять один индекс? Оба индекса?

?

Задача 37.5

Какой тензор получается, если у символа Кронекера опустить индекс? Поднять индекс?

?

Задача 37.6

Привести примеры свертывания с метрическим тензором, встречавшиеся в курсе линейной алгебры.

?

Задача 37.7

(1)(2)

?

(1)

Тензор $a_{j}^{i}$ определяет линейное преобразование в евклидовом пространстве $\mathcal{E}_{n}$ . Найти тензор, определяющий сопряженное преобразование.

(2)

Сформулировать условие, при котором тензор $a_{j}^{i}$ определяет самосопряженное преобразование.

Задача 37.8

(1)(2)(3)

Метрический тензор и тензор $a_{ij}$ заданы соответственно матрицами:

?

(1)

$\mathbf{A}_{55}, \mathbf{A}_{9}$ . $\mathbf{A}_{55} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{9} = \left[\begin{smallmatrix} 9 & -5 \\ -5 & 3 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$\mathbf{A}_{57}, \mathbf{A}_{18}$ . $\mathbf{A}_{57} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 5 \\ 5 & 13 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{18} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$\mathbf{A}_{245}, \mathbf{A}_{210}$ . $\mathbf{A}_{245} = \left[\begin{smallmatrix} 21 & -10 & -4 \\ -10 & 5 & 2 \\ -4 & 2 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{210} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7 \end{smallmatrix}\right]$ .

Найти матрицы тензоров:

(1) $a_{\cdot j}^{i}$ ;

(2) $a_{i \cdot }^{\cdot j}$ ;

(3) $a^{i j}$ .

Задача 37.9

(1)(2)

Верно ли утверждение: если матрица тензора $a_{ij}$ симметрична, то симметричны и матрицы тензоров:

?

(1)

$a^{\cdot j}_{i \cdot }$ ;

(2)

$a^{ij}$ .

Задача 37.10

(1)(2)

Метрический тензор и тензор $a_{j}^{i}$ заданы соответственно матрицами:

?

(1)

$\mathbf{A}_{58}, \mathbf{A}_{40}$ . $\mathbf{A}_{58} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 5 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{40} = \left[\begin{smallmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$\mathbf{A}_{207}, \mathbf{A}_{232}$ . $\mathbf{A}_{207} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & -2 \\ 0 & -2 & 5 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{232} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

Найти матрицы тензоров:

(1) $a_{i j}^{\cdot }$

(2) $a_{i \cdot }^{\cdot j}$ .

Задача 37.11

(1)(2)(3)

Метрический тензор и тензор $a_{jk}^{i}$ заданы соответственно матрицами:

?

(1)

$\mathbf{A}_{55}, \mathbf{A}_{650}$ . $\mathbf{A}_{55} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{650} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$\mathbf{A}_{55}, \mathbf{A}_{651}$ . $\mathbf{A}_{55} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{651} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 5 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 5 & 7 \\ 1 & 3 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$\mathbf{A}_{207}, \mathbf{A}_{722}$ . $\mathbf{A}_{207} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & -2 \\ 0 & -2 & 5 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{722} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 0 & 2 & -2 \\ -2 & 0 & 2 \\ 2 & -2 & 0 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right]\end{smallmatrix}\right]$ .

Найти матрицу тензора:

(1) $a_{i j k}$ ;

(2) $a_{\cdot \cdot k}^{i j}$ ;

(3) $a_{. j}^{i \cdot k}$ ;

(4) $a^{i j k}$ .

Задача 37.12

(1)(2)

Метрический тензор и тензор $a_{kl}^{ij}$ заданы соответственно матрицами:

?

(1)

$\mathbf{A}_{57}, \mathbf{A}_{697}$ . $\mathbf{A}_{57} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 5 \\ 5 & 13 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{697} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right] \\ \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{smallmatrix}\right]\end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$\mathbf{A}_{19}, \mathbf{A}_{694}$ . $\mathbf{A}_{19} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{694} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} -4 & -3 \\ -2 & -1 \end{smallmatrix}\right] \\ \left[\begin{smallmatrix} -4 & -3 \\ -2 & -1 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{smallmatrix}\right]\end{smallmatrix}\right]$ .

Найти матрицы тензоров:

(1) $a_{i j k l}$ ;

(2) $a^{i j k l}$ .

Задача 37.13

(1)(2)(3)

Упростить выражения:

?

(1)

$\left(a_{ij} g^{jk} + \delta_{i}^{j} a_{lj} g^{lk}\right) g_{ks}$

(2)

$\delta_{j}^{i} \delta_{k}^{j} g^{kl} a_{lj}$

(3)

$a_{ij} g^{jk} g_{kl} g^{ls}$ .

Задача 37.14

Известно, что $a_{k}^{ij} = g^{il} g^{jm} a_{lmk}$ . Выразить $a_{lmk}$ через $a_{k}^{ij}$ .

?

Задача 37.15

Пусть $\varphi$ — линейное преобразование евклидова пространства, $\varphi^{ * }$ — сопряженное преобразование. У тензора, соответствующего произведению преобразований $\varphi \varphi^{ * }$ , опускают индекс. Показать, что полученный тензор имеет тип $(0, 2)$ и симметричен.

?

Задача 37.16

В двумерном евклидовом пространстве $\mathcal{E}_{2}$ вектору $\xi^{k}$ сопоставляется вектор $g^{ij} \varepsilon_{jk} \xi^{k}$ . Доказать, что этим определено линейное преобразование пространства $\mathcal{E}_{2}$ , и выяснить его геометрический смысл.

?

Задача 37.17

В трехмерном евклидовом пространстве паре векторов $\xi^{i}, \eta^{j}$ сопоставляется вектор $\zeta^{k} = g^{kl} \varepsilon_{lij} \xi^{i} \eta^{j}$ . Доказать, что вектор $\zeta^{k}$ есть векторное произведение векторов $\xi^{i}$ и $\eta^{j}$ .

?

Задача 37.18

В четырехмерном евклидовом пространстве векторам $x, y, z$ с компонентами $\xi^{i}, \eta^{j}, \zeta^{k}$ сопоставляется линейная функция $f$ с коэффициентами $\varkappa_{l} = \varepsilon_{ijkl} \xi^{i} \eta^{j} \zeta^{k}$ . Доказать, что $\mathrm{f}(x) = \mathrm{f}(y) = \mathrm{f}(z) = 0$ .

?

Задача 37.19

(1)(2)

В четырехмерном евклидовом пространстве векторам $x, y, z$ с компонентами $\xi^{i}, \eta^{j}, \zeta^{k}$ сопоставляется вектор $u$ с компонентами $g^{ml} \varepsilon_{lijk} \xi^{i} \eta^{j} \zeta^{k}$ .

?

(1)

Доказать, что вектор $u$ ортогонален векторам $x, y, z$ .

(2)

Доказать, что вектор $u$ , соответствующий тройке $x, y, z$ , отличается множителем - 1 от вектора $u$ , соответствующего тройке $y, x, z$ .

Тензоры в евклидовом пространстве