Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре/14 · Тензоры

§ 36

Алгебраические операции с тензорами

[57/74%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Содержание

36.1 · Линейные операции, умножение тензоров (36.1-36.20)

36.2 · Свертывание (36.21-36.29)

36.3 · Транспонирование, симметрирование, альтернирование. Симметричные и антисимметричные тензоры (36.30-36.57).

Подпараграф

36.1 · Линейные операции, умножение тензоров (36.1-36.20)[20/75%]

Задача 36.1

Проверить закон преобразования компонент суммы тензоров $a_{jk}^{i}$ и $b_{jk}^{i}$ , исходя из закона преобразования компонент слагаемых.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 36.2

Как связана сумма линейных преобразований с суммой соответствующих тензоров?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 36.3

Пусть $A_{e}$ — матрица линейного преобразования $\varphi$ . $B_{e}$ — матрица билинейной функции $b$ в базисе $е$ . Определена ли сумма $A_{e} + B_{e}$ ? Будет ли тензором соответствие, сопоставляющее каждому базису $e$ сумму матриц $A_{e} + B_{e}$ ?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 36.4

(1)(2)(3)(4)

Тензоры $a$ и $b$ одного типа имеют в базисе $e$ матрицы компонент $A$ и $B$ . Найти компоненты тензоров:

(1) $a + b$ ;

(2) $2a + 3b$ ;

(3) $b - 2a$ в том же базисе, если:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$A = \mathbf{A}_{650}, B = \mathbf{A}_{651}$ . $\mathbf{A}_{650} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{651} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 5 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 5 & 7 \\ 1 & 3 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$A = \mathbf{A}_{651}, B = \mathbf{A}_{652}$ . $\mathbf{A}_{651} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 5 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 5 & 7 \\ 1 & 3 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{652} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} -4 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} -5 & 3 \\ 5 & 7 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$A = \mathbf{A}_{652}, B = \mathbf{A}_{653}$ . $\mathbf{A}_{652} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} -4 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} -5 & 3 \\ 5 & 7 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{653} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 7 & -4 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} -5 & 8 \\ 2 & 2 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$A = \mathbf{A}_{693}, B = \mathbf{A}_{697}$ . $\mathbf{A}_{693} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right] \\ \left[\begin{smallmatrix} -1 & -2 \\ -3 & -4 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right]\end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{697} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right] \\ \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{smallmatrix}\right]\end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 36.5

(1)(2)(3)

Заданы матрицы $A, B, C, D$ из компонент четырех тензоров. Определить, являются ли тензоры линейно зависимыми, если:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$A = \mathbf{A}_{662}, B = \mathbf{A}_{665}, C = \mathbf{A}_{663}, D = \mathbf{A}_{652}$ . $\mathbf{A}_{662} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 11 & 14 \\ 8 & 13 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 17 & 23 \\ 5 & 7 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{665} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} -6 & 4 \\ 13 & 22 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} -5 & 23 \\ 17 & 27 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{663} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 7 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 3 & 5 \\ -1 & 5 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{652} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} -4 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} -5 & 3 \\ 5 & 7 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$A = \mathbf{A}_{650}, B = \mathbf{A}_{651}, C = \mathbf{A}_{652}, D = \mathbf{A}_{653}$ . $\mathbf{A}_{650} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{651} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 5 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 5 & 7 \\ 1 & 3 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{652} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} -4 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} -5 & 3 \\ 5 & 7 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{653} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 7 & -4 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} -5 & 8 \\ 2 & 2 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$A = \mathbf{A}_{666}, B = \mathbf{A}_{663}, C = \mathbf{A}_{650}, D = \mathbf{A}_{652}$ . $\mathbf{A}_{666} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} -10 & -6 \\ -1 & -8 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} -15 & -11 \\ 3 & 1 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{663} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 7 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 3 & 5 \\ -1 & 5 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{650} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{652} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} -4 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} -5 & 3 \\ 5 & 7 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 36.6

(1)(2)(3)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

Какова размерность линейного пространства $\mathcal{L}$ тензоров типа $(p, q)$ в двумерном пространстве?

(2)

Указать какой — нибудь базис в $\mathcal{L}$ .

(3)

Указать еще один базис в $\mathcal{L}$ .

Задача 36.7

(1)(2)(3)(4)

Базису $e$ двумерного линейного пространства соответствует базис $\mathbf{e}^{ * }$ в пространстве тензоров типа:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$(0, 1)$

(2)

$(1, 1)$

(3)

(р) $(0, 2)$

(4)

$(1, 2)$

Базис $\mathbf{e}^{*}$ состоит из тензоров, имеющих в базисе $e$ одну компоненту, равную 1, а остальные — равные 0. Как преобразуется базис $\mathbf{e}^{*}$ , если базис $e$ преобразуется матрицей перехода $S$ ?

Задача 36.8

Проверить закон преобразования компонент тензора $a\otimes b$ , исходя из законов преобразования компонент сомножителей $a_{jk}^{i}, b_{jk}^{i}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 36.9

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)

Найти тип и матрицу тензора $a\otimes b$ , если:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

Тип $a$ : $(1, 0)$ , матрица $a$ : $\mathbf{c}_{12}$ , тип $b$ : $(1, 0)$ , матрица $b$ : $\mathbf{c}_{31}$ . $\mathbf{c}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{31} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

Тип $a$ : $(1, 0)$ , матрица $a$ : $\mathbf{c}_{12}$ , тип $b$ : $(0, 1)$ , матрица $b$ : $\mathbf{c}_{31}^T$ . $\mathbf{c}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{31} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

Тип $a$ : $(1, 0)$ , матрица $a$ : $\mathbf{c}_{12}^T$ , тип $b$ : $(1, 0)$ , матрица $b$ : $\mathbf{c}_{31}$ . $\mathbf{c}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{31} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

Тип $a$ : $(0, 1)$ , матрица $a$ : $\mathbf{c}_{12}^T$ , тип $b$ : $(0, 1)$ , матрица $b$ : $\mathbf{c}_{31}^T$ . $\mathbf{c}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{31} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(5)

Тип $a$ : $(0, 2)$ , матрица $a$ : $\mathbf{A}_{17}$ , тип $b$ : $(0, 1)$ , матрица $b$ : $\mathbf{c}_{7}^T$ . $\mathbf{A}_{17} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{7} = \left[\begin{smallmatrix} 4 \\ -2 \end{smallmatrix}\right]$ .

(6)

Тип $a$ : $(0, 1)$ , матрица $a$ : $\mathbf{c}_{7}^T$ , тип $b$ : $(0, 2)$ , матрица $b$ : $\mathbf{A}_{17}$ . $\mathbf{c}_{7} = \left[\begin{smallmatrix} 4 \\ -2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{17} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \end{smallmatrix}\right]$ .

(7)

Тип $a$ : $(2, 0)$ , матрица $a$ : $\mathbf{A}_{18}$ , тип $b$ : $(1, 0)$ , матрица $b$ : $\mathbf{c}_{8}$ . $\mathbf{A}_{18} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{8} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(8)

Тип $a$ : $(1, 1)$ , матрица $a$ : $\mathbf{A}_{18}$ , тип $b$ : $(1, 0)$ , матрица $b$ : $\mathbf{c}_{8}$ . $\mathbf{A}_{18} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{8} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(9)

Тип $a$ : $(1, 0)$ , матрица $a$ : $\mathbf{c}_{8}$ , тип $b$ : $(2, 0)$ , матрица $b$ : $\mathbf{A}_{18}$ . $\mathbf{c}_{8} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{18} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right]$ .

(10)

Тип $a$ : $(1, 0)$ , матрица $a$ : $\mathbf{c}_{8}$ , тип $b$ : $(1, 1)$ , матрица $b$ : $\mathbf{A}_{18}$ . $\mathbf{c}_{8} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{18} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right]$ .

(11)

Тип $a$ : $(0, 3)$ , матрица $a$ : $\mathbf{A}_{650}$ , тип $b$ : $(0, 1)$ , матрица $b$ : $\mathbf{c}_{25}^T$ . $\mathbf{A}_{650} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{25} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 4 \end{smallmatrix}\right]$ .

(12)

Тип $a$ : $(0, 1)$ , матрица $a$ : $\mathbf{c}_{25}^T$ , тип $b$ : $(0, 3)$ , матрица $b$ : $\mathbf{A}_{650}$ . $\mathbf{c}_{25} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{650} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right]$ .

(13)

Тип $a$ : $(1, 2)$ , матрица $a$ : $\mathbf{A}_{651}$ , тип $b$ : $(0, 1)$ , матрица $b$ : $\mathbf{c}_{8}^T$ . $\mathbf{A}_{651} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 5 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 5 & 7 \\ 1 & 3 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{8} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(14)

Тип $a$ : $(0, 1)$ , матрица $a$ : $\mathbf{c}_{8}^T$ , тип $b$ : $(1, 2)$ , матрица $b$ : $\mathbf{A}_{651}$ . $\mathbf{c}_{8} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{651} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 5 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 5 & 7 \\ 1 & 3 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right]$ .

(15)

Тип $a$ : $(0, 2)$ , матрица $a$ : $\mathbf{A}_{17}$ , тип $b$ : $(0, 2)$ , матрица $b$ : $\mathbf{A}_{18}$ . $\mathbf{A}_{17} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{18} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right]$ .

(16)

Тип $a$ : $(0, 2)$ , матрица $a$ : $\mathbf{A}_{18}$ , тип $b$ : $(0, 2)$ , матрица $b$ : $\mathbf{A}_{17}$ . $\mathbf{A}_{18} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{17} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \end{smallmatrix}\right]$ .

(17)

Тип $a$ : $(1, 1)$ , матрица $a$ : $\mathbf{A}_{13}$ , тип $b$ : $(1, 1)$ , матрица $b$ : $\mathbf{A}_{19}$ . $\mathbf{A}_{13} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{19} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix}\right]$ .

(18)

Тип $a$ : $(2, 0)$ , матрица $a$ : $\mathbf{A}_{13}$ , тип $b$ : $(1, 1)$ , матрица $b$ : $\mathbf{A}_{19}$ . $\mathbf{A}_{13} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{19} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 36.10

(1)(2)(3)(4)

Записать матрицу из компонент тензора:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$a^{i} b^{j}$

(2)

$a_{i} b_{j}$

(3)

$a^{i} b_{j}$

(4)

$a_{i} b^{j}$

как кронекеровское произведение матриц из компонент этих тензоров.

Задача 36.11

(1)(2)

Пусть $a, b$ — двухвалентные тензоры с матрицами $A, B$ . Какого типа должны быть эти тензоры, чтобы матрица их тензорного произведения была (правым) кронекеровским произведением:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$A\otimes B$

(2)

$B\otimes A?$

Задача 36.12

(1)(2)

Линейные функции $\mathrm{f}$ и $\mathrm{g}$ заданы в базисе $e$ координатными строками $\varkappa$ и $\mu$ . Найти матрицу тензора:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$f\otimes g$ ;

(2)

$g\otimes f$ .

Какой геометрический смысл имеют эти тензоры?

Задача 36.13

Линейная функция $\mathrm{f}$ задана в базисе $e$ координатной строкой $\varkappa$ , вектор $y$ — столбцом $\eta$ . Найти матрицу тензора $f\otimes y$ . Какой геометрический смысл имеет этот тензор?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 36.14

(1)(2)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

Пусть $x$ — вектор, $\mathrm{f}$ — ковектор. Доказать, что $\mathrm{f} \otimes x = x\otimes \mathrm{f}$ .

(2)

Привести пример тензоров $a$ и $b$ , для которых $a\otimes b \neq b\otimes a$ .

Задача 36.15

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)

Пусть $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ — векторы, а $\mathrm{f}_{1}, \mathrm{f}_{2}, \mathrm{f}_{3}$ — ковекторы. Какие из приведенных ниже выражений имеют смысл? Если данное выражение есть тензор, указать его тип:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$x_{1} \otimes x_{2} + x_{2} \otimes x_{3}$

(2)

$x_{1} \otimes x_{2} \otimes x_{3} + x_{2} \otimes x_{3}$

(3)

$x_{1} \otimes \mathrm{f}_{1} - 2\mathrm{f}_{1} \otimes x_{1}$

(4)

$x_{1} \otimes \mathrm{f}_{2} + \mathrm{f}_{1} \otimes \mathrm{f}_{2}$

(5)

$x_{1} \otimes \mathrm{f}_{2} + x_{2} \otimes \mathrm{f}_{1}$

(6)

$f_{1} \otimes x_{1} \otimes x_{2} + x_{2} \otimes x_{3} \otimes \mathrm{f}_{2}$

(7)

$x_{1} \otimes x_{2} + x_{3} \otimes x_{3} - x_{1} \otimes x_{1}$

(8)

$f_{1} \otimes f_{2} - 3\left(f_{2} \otimes f_{3}\right)$ .

Задача 36.16

Найти компоненты тензоров из пунктов 1, 3, 5, 7, 8 задачи 36.15, если векторы $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ и ковекторы $\mathrm{f}_{1}, \mathrm{f}_{2}, \mathrm{f}_{3}$ заданы с помощью столбцов и строк соответственно: $\mathbf{c}_{20}, \mathbf{c}_{12}, \mathbf{c}_{25}, \mathbf{c}_{8}^{T}$ , $\mathbf{c}_{10}^{T}, \mathbf{c}_{22}^{T}$ . $\mathbf{c}_{20} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ -2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{25} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{8} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{10} = \left[\begin{smallmatrix} -4 \\ 6 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{22} = \left[\begin{smallmatrix} 14 \\ -9 \end{smallmatrix}\right]$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 36.17

(1)(2)(3)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

Пусть $a = x\otimes y$ , а векторы $x$ и $y$ имеют в базисе $\mathbf{e}$ компоненты $1, 0, 0$ и $0, 1, 0$ соответственно. Найти компоненты тензора $a$ в базисе $e$ и в базисе $\mathbf{e}^{\prime } = \mathbf{e} S$ , где $S = \mathbf{A}_{207}$ . $\mathbf{A}_{207} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & -2 \\ 0 & -2 & 5 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

Пусть $a = \mathrm{f} \otimes \mathrm{g}$ , а ковекторы $\mathrm{f}$ и $\mathrm{g}$ имеют в базисе $e$ координатные строки $(1, 0, 0)$ и $(0, 1, 0)$ соответственно. Найти компоненты тензора $a$ в базисе $\mathbf{e}$ и в базисе $\mathbf{e}^{\prime } = \mathbf{e} S$ , где $S = \mathbf{A}_{207}$ . $\mathbf{A}_{207} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & -2 \\ 0 & -2 & 5 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

Пусть $a = x\otimes \mathrm{f}$ , а вектор $x$ и ковектор $\mathrm{f}$ имеют в базисе компоненты $1, 0, 0$ и $0, 1, 0$ соответственно. Найти компоненты тензора $a$ в базисе $e$ и в базисе $\mathbf{e}^{\prime } = \mathbf{e} S$ , где $S = \mathbf{A}_{207}$ . $\mathbf{A}_{207} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & -2 \\ 0 & -2 & 5 \end{smallmatrix}\right]$ .

Сравнить результаты задач 1), 2), 3).

Задача 36.18

(1)(2)

Разложить тензор в произведение одновалентных тензоров, если он имеет:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

тип $(2, 0)$ и матрицу $\mathbf{A}_{5}$ . $\mathbf{A}_{5} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

тип $(2, 1)$ и матрицу $\mathbf{A}_{673}$ . $\mathbf{A}_{673} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -2 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -2 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 36.19

(1)(2)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

Пусть $a$ — тензор типа $(1, 1)$ и матрица его компонент имеет ранг $r$ . Доказать, что найдутся $r$ линейно независимых векторов $a_{1}, \ldots , a_{r}$ и $r$ линейно независимых ковекторов $\mathrm{f}_{1}, \ldots , \mathrm{f}_{r}$ таких, что $a = \sum_{\alpha = 1}^{r} a_{\alpha } \otimes \mathrm{f}^{\alpha }$ .

(2)

Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для тензоров типа $(2, 0)$ .

Задача 36.20

(1)(2)(3)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

Пусть тензор $a$ типа $(0, 2)$ имеет в некотором базисе матрицу ранга $r$ . Доказать, что существуют $r$ линейно независимых ковекторов $\mathrm{f}_{1}, \ldots , \mathrm{f}_{r}$ и $r$ линейно независимых ковекторов $\mathrm{g}_{1}, \ldots , \mathrm{g}_{r}$ таких, что $a = \sum_{\alpha = 1}^{r} \mathrm{f}_{\alpha } \otimes \mathrm{g}_{\alpha }$ .

(2)

Представить билинейную функцию $3\xi^{1} \eta^{1} + 2\xi^{1} \eta^{2} + 3\xi^{2} \eta^{1} + 2\xi^{2} \eta^{2}$ как произведение линейных. Единственно ли такое представление?

(3)

Билинейная функция $\mathrm{f}$ в некотором базисе линейного пространства задана матрицей $\mathbf{A}_{454}$ . Представить ее как сумму двух произведений пар линейных функций: $\mathrm{f}(x, y) = \mathrm{f}_{1}(x) \mathrm{g}_{1}(y) + \mathrm{f}_{2}(x) \mathrm{g}_{2}(y)$ . Единственно ли это представление? $\mathbf{A}_{454} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 4 & 6 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ -3 & -6 & -9 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

Подпараграф

36.2 · Свертывание (36.21-36.29)[9/78%]

Задача 36.21

(1)(2)(3)(4)

Исходя из законов преобразования тензоров $a_{jk}^{i}, a_{j}^{i}$ , $b_{j}^{i}, a_{i}, b^{ij}, a_{klm}^{ij}, \xi^{k}$ , проверить закон преобразования компонент сверток:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$a_{ji}^{i}$

(2)

$a_{j}^{i} b_{k}^{j}$

(3)

$a_{i} b^{ij}$

(4)

$a_{klm}^{ij} \xi^{k}$ .

Задача 36.22

(1)(2)(3)

Исходя из геометрического смысла тензоров $a_{i}, \xi^{i}$ , $a_{j}^{i}, b_{ij}$ , объяснить геометрический смысл сверток:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$a_{i} \xi^{i}$

(2)

$a_{j}^{i} \xi^{j}$

(3)

$b_{ij} \xi^{i} \xi^{j}$ .

Задача 36.23

(1)(2)(3)

Можно ли свернуть:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

вектор и ковектор?

(2)

вектор и вектор?

(3)

пару ковекторов?

Задача 36.24

Записать произведение линейных преобразований в тензорных обозначениях.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 36.25

(1)(2)(3)

Тензоры $a_{j}^{i}, \xi^{i}, \varkappa_{i}$ заданы матрицами: $\mathbf{A}_{232}, \mathbf{c}_{104}$ , $\mathbf{c}_{104}^{T}$ . Вычислить свертки: $\mathbf{A}_{232} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{104} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{104}^{T} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -2 & 3 \end{smallmatrix}\right]$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$a_{j}^{i} \xi^{j}$

(2)

$a_{j}^{i} \varkappa_{i}$

(3)

$a_{j}^{i} \xi^{j} \varkappa_{i}$

Задача 36.26

Сколько различных тензоров можно образовать при помощи свертывания из данного тензора типа $(2, 2)$ ?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 36.27

(1)(2)

Тензор $a_{k}^{ij}$ задан матрицей:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$\mathbf{A}_{651}$ . $\mathbf{A}_{651} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 5 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 5 & 7 \\ 1 & 3 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$\mathbf{A}_{655}$ . $\mathbf{A}_{655} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 5 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right]$ .

Найти матрицы сверток:

(1) $a_{i}^{i j}$ ,

(2) $a_{j}^{i j}$ .

Задача 36.28

(1)(2)(3)

Тензор $a_{kl}^{ij}$ задан матрицей:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$\mathbf{A}_{649}$ . $\mathbf{A}_{649} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 6 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 3 & 7 \\ 4 & 8 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$\mathbf{A}_{693}$ . $\mathbf{A}_{693} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right] \\ \left[\begin{smallmatrix} -1 & -2 \\ -3 & -4 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right]\end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$\mathbf{A}_{694}$ . $\mathbf{A}_{694} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} -4 & -3 \\ -2 & -1 \end{smallmatrix}\right] \\ \left[\begin{smallmatrix} -4 & -3 \\ -2 & -1 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{smallmatrix}\right]\end{smallmatrix}\right]$ .

Вычислить свертки:

(1) $a_{i l}^{i j}$ ;

(2) $a_{k j}^{i j}$ ;

(3) $a_{k i}^{i j}$ ;

(4) $a_{i l}^{i j}$ ;

(5) $a_{i j}^{i j}$ ;

(6) $a_{j i}^{i j}$ .

Задача 36.29

(1)(2)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

Каждому базису пространства $\mathcal{L}_{n}$ сопоставлен упорядоченный набор чисел $a_{klm}^{ij}$ (все индексы пробегают значения от 1 до $n$ ). Известно, что для произвольного вектора $\xi^{k}$ числа $a_{klm}^{ij} \xi^{k}$ являются компонентами тензора типа $(2, 2)$ . Доказать, что $a_{klm}^{ij}$ — тензор типа $(2, 3)$ .

(2)

Каждому базису пространства $\mathcal{L}_{n}$ сопоставлен упорядоченный набор чисел $a_{klm}^{ij}$ (все индексы пробегают значения от 1 до $n)$ . Известно, что для произвольного тензора $u_{ij}^{k}$ типа $(1, 2)$ числа $a_{klm}^{ij} u_{ij}^{k}$ являются компонентами тензора типа $(0, 2)$ . Доказать, что $a_{klm}^{ij}$ — тензор типа $(2, 3)$ .

Подпараграф

36.3 · Транспонирование, симметрирование, альтернирование. Симметричные и антисимметричные тензоры (36.30-36.57).[28/71%]

Задача 36.30

(1)(2)

Можно ли транспонировать тензор:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

типа $(1, 1)$

(2)

типа $(2, 0)$ ?

Задача 36.31

Один тензор типа $(0, 2)$ получается из другого транспонированием. Как связаны соответствующие билинейные функции?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 36.32

(1)(2)(3)(4)

Тензоры

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$a_{ij}$

(2)

$a^{ij}$

(3)

$a_{k}^{ij}$

(4)

$a_{jk}^{i}$

заданы соответственно матрицами $\mathbf{A}_{16}, \mathbf{A}_{16}, \mathbf{A}_{670}, \mathbf{A}_{670}$ . Найти матрицы транспонированных тензоров. $\mathbf{A}_{16} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{16} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{670} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 3 & 4 \\ 7 & 8 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{670} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 3 & 4 \\ 7 & 8 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 36.33

(1)(2)(3)(4)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

Сколько различных тензоров можно получить с помощью операции транспонирования из данного тензора $a_{i_{1} \ldots i_{k}}?$

(2)

Тензор типа $(0, 3)$ задан матрицей $\mathbf{A}_{670}$ . Выписать матрицы всех тензоров, получаемых из него транспонированием. Изменится ли ответ, если данный тензор имеет тип $(3, 0)?$ . $\mathbf{A}_{670} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 3 & 4 \\ 7 & 8 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

Тензор $a$ с компонентами $a_{ijk}$ задан матрицей $\mathbf{A}_{727}$ . Выписать матрицы транспонированных тензоров $b$ и $c$ , если $b_{ijk} = a_{jki}, c_{ijk} = a_{ikj}$ . $\mathbf{A}_{727} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 9 & 7 & 8 \\ 4 & 2 & 3 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 7 & 9 & 8 \\ 3 & 1 & 2 \\ 8 & 6 & 7 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 4 & 6 & 5 \\ 6 & 4 & 5 \\ 1 & 9 & 5 \end{smallmatrix}\right]\end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

Тензор $a$ с компонентами $a_{ijkl}$ задан матрицей $\mathbf{A}_{717}$ . Выписать матрицы транспонированных тензоров $b$ и $c$ , если $b_{ijkl} = a_{kjli}; c_{ijkl} = a_{lkji}$ . $\mathbf{A}_{717} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 3 & 4 \\ 7 & 8 \end{smallmatrix}\right] \\ \left[\begin{smallmatrix} 9 & 10 \\ 13 & 14 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 11 & 12 \\ 15 & 16 \end{smallmatrix}\right]\end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 36.34

Пусть $a, b$ — тензоры типа $(1, 1)$ . Выразить тензор $c = b\otimes a$ через $d = a\otimes b$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 36.35

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)

Не используя сокращенных обозначений, выпишите все компоненты тензоров, заданных в пространстве $\mathcal{L}_{2}$ :

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$x^{i} y^{k}$

(2)

$x^{(i} y^{k)}$

(3)

$x^{[i} y^{k]}$

(4)

$x^{i} a_{jk}$

(5)

$x^{i} a_{ik}$

(6)

$x^{k} a_{i}^{i}$

(7)

$x^{(k} a_{i}^{i)}$

(8)

$x^{[k} a_{i}^{i]}$

(9)

$a_{i}^{i} a_{k}^{k}$

(10)

$a^{k}_{[i} a^{i}_{k]}$

(11)

$a_{(i}^{i} a_{k)}^{k}$

(12)

$\delta_{j}^{i} a_{i}^{k}$

(13)

$\delta_{j}^{i} a_{k}^{j}$

(14)

$\delta_{j}^{i} a_{i}^{j}$

(15)

$\delta_{j}^{i} a_{l}^{k}$

(16)

$a_{l}^{k} \delta_{j}^{i}$

Задача 36.36

(1)(2)(3)(4)

Тензор $a^{ij}$ задан матрицей:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$\mathbf{A}_{10}$ . $\mathbf{A}_{10} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$\mathbf{A}_{77}$ . $\mathbf{A}_{77} = \left[\begin{smallmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$\mathbf{A}_{24}$ . $\mathbf{A}_{24} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$\mathbf{A}_{232}$ . $\mathbf{A}_{232} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

Найти компоненты тензоров:

(1) $a^{(i j)}$ ;

(2) $a^{\left[i j\right]}$ .

Задача 36.37

(1)(2)(3)

Тензор $a_{ijk}$ задан матрицей:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$\mathbf{A}_{650}$ . $\mathbf{A}_{650} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

(3)

$\mathbf{A}_{720}$ . $\mathbf{A}_{720} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 6 & 2 & 4 \\ 4 & 6 & 2 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 4 & 6 & 2 \\ 2 & 4 & 6 \\ 6 & 2 & 4 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 6 & 2 & 4 \\ 4 & 6 & 2 \\ 2 & 4 & 6 \end{smallmatrix}\right]\end{smallmatrix}\right]$ .

Найти компоненты тензоров:

(1) $a_{(i j) k}$ ;

(2) $a_{i(j k)}$ ;

(3) $a_{(i\left|j\right| k)}$ ;

(4) $a_{(i j k)}$

Задача 36.38

(1)(2)

Тензор $a_{kl}^{ij}$ задан матрицей:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

(2)

$\mathbf{A}_{684}$ . $\mathbf{A}_{684} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 19 & 30 \\ 8 & 13 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 17 & 41 \\ 11 & 17 \end{smallmatrix}\right] \end{smallmatrix}\right]$ .

Найти компоненты тензоров:

(1) $a_{k l}^{(i j)}$ ;

(2) $a_{(k l)}^{i j}$ ;

(3) $a_{(k l)}^{(i j)}$ .

Задача 36.39

(1)(2)(3)

Тензор $a_{ijk}$ задан матрицей:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

(2)

(3)

Найти компоненты тензоров:

(1) $a_{\left[i j\right] k}$ ;

(2) $a_{i \left[j k\right]}$ ;

(3) $a_{\left[i \mid j \mid k\right]}$ .

Задача 36.40

(1)(2)

Тензор $a_{kl}^{ij}$ задан матрицей:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

(2)

Найти компоненты тензоров:

(1) $a_{k l}^{\left[i j\right]}$ ;

(2) $a_{\left[k l\right]}^{i j}$ ;

(3) $a_{\left[k l\right]}^{\left[i j\right]}$ .

Задача 36.41

(1)(2)

Тензор $a_{ijk}$ задан матрицей:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$\mathbf{A}_{726}$ . $\mathbf{A}_{726} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \\ 9 & 8 & 7 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 4 & 5 & 6 \\ 1 & 5 & 9 \\ 6 & 5 & 4 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 7 & 8 & 9 \\ 8 & 7 & 6 \\ 3 & 2 & 1 \end{smallmatrix}\right]\end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$\mathbf{A}_{721}$ . $\mathbf{A}_{721} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 6 & 2 & 8 \\ 4 & 6 & 2 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 4 & 6 & 2 \\ 2 & 6 & 4 \\ 8 & 2 & 4 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 6 & 8 & 4 \\ 4 & 6 & 2 \\ 2 & 4 & 6 \end{smallmatrix}\right]\end{smallmatrix}\right]$ .

Найти компоненты тензоров:

(1) $a_{\left[i j k\right]}$ ;

(2) $a_{(i j k)}$ .

Задача 36.42

(1)(2)(3)(4)(5)

Тензор типа $(0, 3)$ задан матрицей:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$\mathbf{A}_{723}$ . $\mathbf{A}_{723} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 0 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 0 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right]\end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$\mathbf{A}_{725}$ . $\mathbf{A}_{725} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right]\end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

(4)

(5)

$\mathbf{A}_{722}$ . $\mathbf{A}_{722} = \left[\begin{smallmatrix} \left[\begin{smallmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 0 & 2 & -2 \\ -2 & 0 & 2 \\ 2 & -2 & 0 \end{smallmatrix}\right] & \left[\begin{smallmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right]\end{smallmatrix}\right]$ .

Выяснить, является ли тензор симметричным (антисимметричным), и если да, то по каким индексам.

Задача 36.43

(1)(2)

Тензор $a_{j}^{i}$ задан матрицей $A$ :

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$\mathbf{A}_{58}$ . $\mathbf{A}_{58} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 5 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$\mathbf{A}_{207}$ . $\mathbf{A}_{207} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & -2 \\ 0 & -2 & 5 \end{smallmatrix}\right]$ .

Вычислить инварианты:

(1) $a_{i}^{i}$ ;

(2) $a^{i}_{[i} a^{k}_{k]}$ ;

(3) $a^{i}_{[i} a^{j}_{j} a^{k}_{k]}$ .

Сравнить найденные инварианты с коэффициентами характеристического многочлена матрицы $A$ .

Задача 36.44

(1)(2)(3)(4)(5)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

Доказать, что тензор $\varepsilon_{i_{1}} \ldots i_{n}$ (см. задачу 35. 21) кососимметричен по любой паре индексов.

(2)

Доказать, что тензор $\varepsilon_{i_{1} \ldots i_{n}}$ кососимметричен по любому подмножеству множества индексов.

(3)

Доказать, что тензор $\delta_{j_{1} \ldots j_{k}}^{i_{1} \ldots i_{k}}$ (см. задачу 35. 20) кососимметричен по любой паре верхних индексов.

(4)

Доказать, что тензор $\delta_{j_{1} \ldots j_{k}}^{i_{1} \ldots i_{k}}$ кососимметричен по любому подмножеству множества верхних индексов.

(5)

Доказать утверждение 4) для нижних индексов.

Задача 36.45

Пусть $a_{ij}$ и $b^{ij}$ — компоненты соответственно симметричного и антисимметричного тензоров. Вычислить свертку $a_{ij} b^{ij}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 36.46

(1)(2)

Для тензора $\delta_{j_{1} \ldots j_{k}}^{i_{1} \ldots i_{k}}$ , определенного в задаче 35. 20, и произвольных тензоров $a^{j_{1} \ldots j_{k}}$ и $b_{i_{1} \ldots i_{k}}$ доказать, что:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$\delta_{j_{1} \ldots j_{k}}^{i_{1} \ldots i_{k}} a^{j_{1} \ldots j_{k}} = a^{\left[i_{1} \ldots i_{k}\right]}$ ;

(2)

$\delta_{j_{1} \ldots j_{k}}^{i_{1} \ldots i_{k}} b_{i_{1} \ldots i_{k}} = b_{\left[j_{1} \ldots j_{k}\right]}$ .

Задача 36.47

Пусть $a_{ijk} \xi^{i} \xi^{j} \xi^{k} = 0$ для любого вектора $\xi^{i}$ . Доказать, что $a_{\left[ijk\right]} = 0$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 36.48

Доказать, что $a_{j}^{(i} a_{l}^{k)} = a_{(j}^{i} a_{l)}^{k}$ , $a_{j}^{[i} a_{l}^{k]} = a_{[j}^{i} a_{l]}^{k}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 36.49

(1)(2)(3)(4)(5)

Вычислить:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$\delta_{j}^{i} \delta_{l}^{j} \delta_{k}^{l} \delta_{i}^{k}$

(2)

$\delta_{j}^{i} \delta_{k}^{j} \delta_{l}^{k} \delta_{m}^{l}$

(3)

$\delta_{[i}^{i} \delta_{j}^{j} \delta_{k]}^{k}$

(4)

$\delta_{(i}^{i} \delta_{j}^{j} \delta_{k)}^{k}$

(5)

$\delta_{j}^{i} \delta_{i}^{j} \delta_{l}^{k} a_{k}^{l}$ .

Задача 36.50

(1)(2)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

Пусть тензор симметричен по некоторой паре индексов. Доказать, что операция симметрирования по этим индексам тензора не меняет, а операция альтернирования дает нулевой тензор.

(2)

Пусть тензор антисимметричен по некоторой паре индексов. Доказать, что операция симметрирования по этим индексам дает нулевой тензор, а операция альтернирования тензора не меняет.

Задача 36.51

(1)(2)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

Доказать, что для симметричного по двум первым индексам тензора имеет место тождество

a_{(ijk)} = \frac{1}{3}\left(a_{ijk} + a_{kij} + a_{jki}\right)

(2)

Доказать, что для антисимметричного по двум первым индексам тензора имеет место тождество

a_{[ijk]} = \frac{1}{3}\left(a_{ijk} + a_{kij} + a_{jki}\right)

Задача 36.52

(1)(2)(3)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

Тензор типа $(0, 3)$ симметричен по двум первым и симметричен по двум последним индексам. Доказать, что он симметричен также и по первому и третьему индексам.

(2)

Тензор типа $(0, 3)$ антисимметричен по двум первым и антисимметричен по двум последним индексам. Доказать, что он антисимметричен также и по первому и третьему индексам.

(3)

Пусть тензор типа $(0, 3)$ симметричен по двум первым индексам и антисимметричен по двум последним индексам. Доказать, что он нулевой.

Задача 36.53

(1)(2)(3)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

Привести пример тензора типа $(0, 3)$ , для которого $a_{\left[ijk\right]} = 0$ , но не симметричного по трем индексам.

(2)

Привести пример тензора типа $(0, 3)$ , для которого $a_{(ijk)} = 0$ , но не антисимметричного по трем индексам.

(3)

Доказать, что для ненулевого тензора $a$ типа $(0, 3)$ возможно одновременное выполнение равенств $a_{(ijk)} = 0$ и $a_{\left[ijk\right]} = 0$ .

Задача 36.54

Доказать, что любой тензор типа $(0, 2)$ или $(2, 0)$ можно разложить в сумму симметричного и антисимметричного тензоров.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 36.55

(1)(2)(3)

Разложить в сумму симметричного и антисимметричного тензоров тензор типа $(0, 2)$ , заданный матрицей:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$\mathbf{A}_{49}$ . $\mathbf{A}_{49} = \left[\begin{smallmatrix} 4 & -3 \\ 12 & -8 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$\mathbf{A}_{16}$ . $\mathbf{A}_{16} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$\mathbf{A}_{234}$ . $\mathbf{A}_{234} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -2 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 36.56

(1)(2)

Из символа Кронекера с помощью тензорных операций получить тензоры:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

$\delta_{kl}^{ij}$ ;

(2)

$\delta_{j_{1} \ldots j_{k}}^{i_{1} \ldots i_{k}}$ (см. задачи $35. 18, 35. 20$ ).

Задача 36.57

(1)(2)(3)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(1)

Пусть симметричный тензор $a$ типа $(0, 2)$ имеет в некотором базисе матрицу ранга $r$ . Доказать, что существуют $r$ линейно независимых ковекторов $\mathrm{f}_{1}, \ldots , \mathrm{f}_{r}$ , таких, что $a = \sum_{\alpha = 1}^{r} \mathrm{f}_{\alpha } \otimes \mathrm{f}_{\alpha }$ .

(2)

Сформулировать и доказать обратное утверждение.

(3)

Квадратичная функция $\varphi$ в $\mathcal{L}_{2}$ задана матрицей $\mathbf{A}_{56}$ . Представить ее как сумму квадратов двух линейных функций. Единственно ли это представление? $\mathbf{A}_{56} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{smallmatrix}\right]$ .